книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

Alj(Q-,H)= \ at(x;

0 )a y(x;

9) Н(х; 9)dx.

(5.4.8)

Из этой

теоремы

следует

Т е о р е м а

5.7.

Если

5°

почти всюду

по х,

at(x\ t)

непрерывна по t

в С/0<е и

at(x; 9)

| ^ G(x;

9) £L2

1

при t б Я е>Е, i = l , т ;

А, е; 1 =

\а[(х-, Q)al(x; Q )-1 — dx, i,

/ = 1 , т , (5.4.9)

/(*; 0).

длг; 0)

то

Нш Р {¥ (0 )< и }= < 3 т («).

(5.4.10)

1

tqxq~x е~1Х,

*>о,

(5.4.11)

f(x; 0 = Г (q)

х^.0,

0,

то очевидно, что отсюда

при условии

1° *> (теоремы 5.5) выте­

кает соотношение

Нш

Р

Ф (0<'))<м = Fs*(u),

(5.5.1)

min п;

-*■ со

t=l

t

где F (и) —функция расгфеделения из

(5.4.1), a Fs* (и)

означает

s-кратную свертку распределения F (и) с самим собой.

В § 1 была

введена

статистика

Ф (0(1), ... , 9(s)),

получа-

ф (0(1) ,0> ))

= J h J h _

\fl{x)- J 2{x)Y dx.

«1+ «2

J

В работе [98] было доказано, что

при условиях теоремы

5.5 н

условии 3°

Р ( Ф ^ 1), '0<2))< a } = F(u),

lim

ОС

т. е.

при s = 2 замена

f(x)

в сумме Ф (0(1)) +

Ф (0(2))

функцией:

f (х)

приводит к понижению на 1 „степени свободы“

предель­

ного

распределения (5.5.1).

Это

явление привлекает

внимание

аналогией со следующим фактом:

в то время

как сумма

квад­

ратов независимых случайных величин с распределением N(0, 1)

имеет распределение f

с s

степенями свободы, то сумма

квад­

ческую,

имеет

опять-таки ^-распределение,

но с

s—1 степе­

нями свободы.

Упомянутый

результат о распределении Ф(9(1),

0(2))

сле­

дует из

теоремы

5.8 [70, 71], которая утверждает,

что

анало­

гичный эффект

понижения степени свободы

предельного расп­

ределения (5.5.1)

наблюдается и при s > 2.

Т е о р е м а

5.8. Fcau выполнены условия

1° (теоремы 5.5)

и 7°, то

')

Обозначения 1°— 6° сохраняются для условий из § 4.

lim P {Ф(0<1>)...,0(8))<ы} = Я5- 1)*(«),

(5.5.2)

i =

1

»= 1

S

я

2

M 7 - f ) 2-

-

2

м 7 - / )

» =

i

Итак, обозначив

tb

ос)=— , имеем

п

a

s

2

м 7 - / ) г=

2

“ ^ М Ь - Я

i= a

i

L‘ =

i

I

Пусть

U(x) = (U1(x),...r

U,(*))

—вектор с

компонентами

U,(x)=У~п7 [/ (х\"в ^ )-

f (х; 0')],

i= 1, s .

В этих

терминах

(если

| X |означает норму

вектора

X )

о

2

M 7 ( * W

W ) 2=

l f W

\

]

ctff/Д х)

( =

1

Существует

ортогональная матрица,

зависящая от

ns

В=\\ЪЦ\Г t, / = 1 ~ „

s

~]2

s — 1

Г

s

2

«</,<*>

= 2

' ^ i b4 Ui ^

t =

1

t =

i

L/ = i

Согласно (5.4.3),

с

вероятностью

s

P {0^ £ £/0>g}, стремящейся

i= l

по условию

7° к

1

при m in ^ -^ o o ,

верно соотношение

s— 1

s

2

2

w

*

»

-

i= l

/ = 1

s—1

s

m

=

2

2

'A ' 2

м *

0<*' ^

и1"<

*= i

/ =

i

1=1

Учитывая, что

m

dx=

/= i

/ =

i

m

s

2

a<(*; e ) 2

ьч щ

dx=

1= 1

/ =

1

<?(«)=П Щ

2

b v

“«)=

/=1

\д=1

= 1 1

| 6ХР

hi ич +

/ = I

Jr rn).\

^

i bqj Uq

Ввиду ортогональности

В

s

Г s

Т

Г

s

“I

V

V

bqj uq

С

Х \ ьд, ия =

/ =IL - ?=I

J

9=1

J

s

s

s

= ^

S bHbr iu‘ Cup=

1

Z,p=l

/= 1

74 bPi~~

= V

М/С Ир §гр = 2

«? C “ ?•

/,р=1

р=1

где Ъ1р—символ Кронекера.

Стало

быть

lim

<p(u) = TT exp

( — i -

ugCuq )

min Л; —00

"ITj

l

^

J

Теорема 5.8 доказана.

Это же доказательство

с

несущественными изменениями

можно было

провести для сравнения предельного при min пг-> оо

распределения статистики

2

ni ^ { У ) ~ т ? Н ( х ;

Q)dx

i =

1

с предельным при п —>- оо

распределением статистики

п \\f(x)— f(x)\2H(x-,Q)dx,

при

выполнении

условия

7°

(теоремы 5.6) вместо условия

2°

(теоремы 5.5). Первое окажется

(s— 1)-кратной

сверткой распре­

деления FH(u) из

(5.4.7).

внести и в Н(х; 0).

Более того, случайность можно

Пусть

Н(х\ t)

определена для t ££/е,е

и выполнено

условие

8° почти всюду по х,

^

Х’

*-^ .Н 0(х) и Н(х; t) непрерывна

no^t

в t/0>e.

Я ( х; 0)

Обозначим

-1

-^-[Я (х;0О )]-1

Я (* ) = { ^

п

и

Ф(0<1),...,0<5);;Я )= 2

П,-

[/^(JC)— /(^ )]а Я(АГ) Лс.

(5.5.3)

/ =

1

Очевидно, что при

условии 8°

р lim Н (х)=Н (х) *>

min щ — со

и, если

0(() 6 Я0,е,

i = 1, s,

что

при достаточно большом

min

щ

верно

со

сколь угодно большой вероятностью, то

i

Н(х)

< Я 0(х).

Я (х; 0)

Пусть выполнено условие

9°

почти всюду по

х,

| аг(х;

t) \^ G(x;

0) £ L2 (Я Я 0)

и

х; t) непрерывна по t

в t/e_E,

i =

l,m,

и 0* 6 ^ 9,е причем р lim

0* = 0.

m in п,- —

оо

Поскольку

|а{(х; 0*) а, (х; 0*) Я (х ) | < G2(х; 0)

Я(х; 0) <

Я (х ;

0)

М ; ‘. ■ И,

■г ' ” -

Г Л А В А VI .

! ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА ПЛОТНОСТИ

НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Конкретизация тех свойств

параметрической

оценки

плот­

ности распределения,

которые

в общих

чертах

изучались в;

гл. V, наиболее интересна для плотности

нормального распре­

деления. Надо отметить, что результаты

гл. V

возникли

как.

обобщения соответствующих результатов для нормальной

плот­

ложение

которой существенно

упрощается систематическим*,

использованием обозначений и теорем из гл. V.

В

первых работах по тематике гл. VI изучались моменты

и с. к.

п.

параметрических

оценок

плотностей

одномерного*

[27, 28,

30]

и двумерного [29,

33,

34]

нормального

распределе­

распределением с.

к.

п. Это

утверждение оказалось

верным и:

для двумерного нормального распределения [67].

Предельному

распределению

с. к. п.

оценок

плотности*

многомерного

нормального

распределения

посвящены работы

[37 — 43], а их моментам — работа

[69].

Теорема

5.8

из гл. V о соотношении

между предельными*

распределениями [с.

к. р.

Нескольких параметрических ’[оценок,

плотности, и с.

к.

п.

впервые

была

доказана в [44]

для одно­