книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

" я ш г К "

7СГ

, „ _ 1 \

/ m _ 1 \

__

^

- ___l )

Г — - - ) Vnm

XJ]TI -

'

(21 + Z2 + t? + T|)

dz-^dz^ dx^dx^

DnmQ-)

где

D'nm(/~) определяется

неравенствами

nm L

1— '1-

]/m

} Г

гл-fmb nm\j/ n ’

]/2 n

]/2 m

(4.3.7)

К я

> 0 .

Обозначим

]/m

c„„ = 2

т

Г

(

7

Г ^

1

; >

vmn

и Г

(n ~ 1-)

Г (n^ )

Vnm

По формуле Стирлинга

получим

1

Итак,

°тп

2л2 ( 1~1~ °(у п т /

PnmW

2к2

ехр |— — (тЦ - х*+ z\+zl) | dxxdx2 dzxdz2.

-

(4.3.8)

Преобразуем

] /

nm

Lnm(xx, x2, sx, s2).

Из

(4.2.9)

(случай

a >

0)

имеем

V

пг+п

Vm

= Ф ( а -ч У О \ _ ф _ ( a r - V D

—Ф0

1 - Г 2

/

V

1 - Г 2

Г

где а,

у и D определяются соотношениями (4.2.3) и (4.2.7).

Обозначим

ссу - V D

= а

Тогда

‘ ‘

%

I

1 - Т 2

1 _ у 2

где

h— a ~f~ V P

<

В терминах хг, x2, s1; s2

1+T

„= (x t-x ^ s ^ s l VD

e2_c2

h—

5i + S2

D

где

D

(Xi

x2f

I 2

sa

*2

( x-l—x2)2+ 2(s1- s f )

In —1- =

Z)°,

S«

D°—(x1- x

2)2+ 2 (s ? - s l)

In ^ 1 .

(4.3.9)'

Итак,

S2

n—(•*+

- ^ /l

SzVD0

(4.3.10)

s f - s 2i

h = X\~~ X2~VVD°

(4.3.11).

S1+"S2

nm

a-f Л

(4.3.12)

/

«+ - m Lnm

V2k V

n+m

\ PXP {

2 1 dL

Запишем а я h в терминах т15 t 2,

zx,

z2:

a =

—

/

z.

1

/z !

- 1

V 2

] / n 2 \ m

11 i r = - ! 7 M x

1 V У n.

у m

* "

+

y k

1+

V2m J

V

V m

1 +

+ 2

/ 2

xjVn

‘ 2 | + -L ('Z1

2"

W

z2 ■

\

Vm )

2 \ m

n

V

2 \ V n

V m )

1/2

1

?=

+

+ 0 ( — ■ + -

У2 / zi _

п т

У п У т .

\У п

У т

+

2 { - % = -

I/2

\У п

V т

п

У тУ)

=

-,/1 т :-77—

------ {{(V tn x ^ -V П х%г +

у

2 (У mzx—y

п z2)

+ 2 ( / т

г х-

] / n z2)2]1/2— ( У т г !— l^nt2)}..

(4.3.13)

/ г - f 2 4— ^ = 4 — ^ i= X-1 ( Tl

T* + 2 (

.+

У 2n

У 2m)

I У а

У m

V m

+ 0 i — 4 - —

1/2)

i

___

___

___

~ - 7=

{. [ (У tn xx- V

nx2f + ( f mzx

n

m

у nrn

- У т ^ + С У т х г - Упхг)}.

(4.3.14)

Обозначим

“ 1 = 1 /

n+m

Ti - } / ■

2r

У

У

n+m,

v-,

=

Г _mт _

г

m+n

V

tl+tn

V

u2 =

1

n+m■Ti +

1 n+m

(4.3.15)

У

”■= V : n-\-m

2 i+

1 /

——---■^2-

\

n+m

Заметим, что в области D'n(k) иу>0.

В этих обозначениях (4.3.13)

и (4.3.14)

примут вид

[ ( « ! + 2.v{)ll2- u 1],

(4 .3 .16>

'V 2v1

h=

Т ] / ~ Y

Y

U«J + 2^ )1/8+ iI“-

(4-ЗЛ7>

Правую

часть (4.3.12)

представим

по формуле

Тейлора

с

точностью

до

0(h2)

пт

~ I т-

пт

exp

h—

V п+ т

т+п

“ у

[(u21+2v21)V2-l-u1lexp

1

[(« ; +

•

Так как преобразование (4.3.15) ортогонально,

то

согласно

'(4.3.8)

~

2 ^

|

J

ехрY (и{' + ”и‘1+

+

du2^«1^1dv2,

^nmW

где Д(А)—область, определенная неравенствами

- р = - ~

[(« !+ г

^

+ ^

ехр

{ - i ^

[(иг +

г о ? )!/* -^ ]* ! < я,

ых >

0.

Приняв обозначение Д'(Х)

для области

Д(л) с

дополнитель­

ным условием ^ > 0 , имеем

РптМ

ехр

1

d «1du1=P(X).

71

(“ i + ° i ) [

Д'М

Обозначим

R =

V “! + 2vt+u1

1

2

р =

]/u * + 2о*—

(4.3.18)

Тогда

2

2

Ri R%~uv>

Отсюда

} /r2R1R2 = v1.

u\+v\= R\+R\.

Так как

Якобиан

преобразования (4.3.18) равен

R\ +

Ri

то

V 2R1R%’

Р(Х )=

_

jj ехр

- T

(Rl+Rt)

Ri~hRi

dR1dRi,

(4.3.19)

V ‘lR j?2

^exp J - ^ - J

< X V 2 n .

В полярных координатах Rx = p cos <р,

Р 2 = р sin ср

формула

(4.3.19) представится в виде

Р (\ )= ±

ф

Л ( 9 )

£_ pdpdy,

[

(cos T+ s in T) f

ехр

( _

то

,)

]/ sin2<p

о

I

Где

О

__

Х"/2л;ехр |-L tgcp

m

= ------------------

L ?—

Отсюда

cos

op

jc/4

n/>v

2

f

X2 to e'sф

f

cos op + sin op

exp

P(X)=

_

\ —

-T-

-

dop =

to

J

]/s in 29

cos2 <p

0

■k/2

\2тоеЧ* . .

=1 -

exp ( -

----------------\doo,

TO

cos2Op

0

причем в последнем

интеграле

переменная

со связана с

ср соот­

ношением

то

/ sin со

ср= — —arcsin

—т = -

4

1 / 2

10. Г. М. Мания

145

, Ж, Ре)

самого

на себя.

Допустим, что

случайный вектор

Х

распРеделен с плотностью /(*)= /(*;

0)

и

Х„

i= 177Г

явля­

ется выборкой объема п из

генеральной

совокупности X.

Как

о ычно, под

оценкой

параметра 0 понимается

m-мерная век­

торная функция 0=

(01.....Х„) 0Т ВекТоРов вы-

pji, а под параметрической^оценкой плотности f (х;

0)— функ-

циnJ(x)=f(x;Q). От^оценки 0

естественно

требовать,

чтобы

ностькх ~ 1’

Т°ГДа

^ Х'

с

вероятностью

]

является

плот-

Определение

1.

Статистика

Ф (0)= и

j [ f ( x)-f(x)\2dx

*>

называется

средней

квадратической

погрешностью

(с. к.

п.)

оценки

f(x)

плотности f(x).

В связи с с. к. п. следует обратить внимание на возмож­

ность

оценки

расстояния по

вариации [ 11]

меры

Рт

от

меры

рц

В

иаш*“

условиях

р.н

с

вероятностью

1

является

аб-

П е р ™ н Т т ь ю Т ° Й СЛу,айной

веР°ятностной герой.

Тогда с

4 “! ,' рТ<Л) - />е(У1)|=1 J 1ГМ-/М1 dx

И если Т(X)

по вероятности

стремится

к

f(x)

почти всюду по

то по теореме Шеффе [100] левая часть этого соотношения

стремится к 0 по вероятности. Согласно неравенству Коши,

т

f v w -

f w

idx < ~ r= - [ф Ш 11*

о

2. V

п

Р

1< 4 - j / i } > F ( U).

Определение 2. Статистика

Y (0) = n

dx

Н.Х)

тью (с. к. о.

п.) оценки f(x)

плотности fix).

С. к. о. п. привлекает внимание аналогией со статистикой

Пирсона, а ее

название исходит из того,

что

¥ (9 ) = п Г

/ ( х ) - / ( х )

’ dP0.

fix)

случае с. к.

п.

квадрат

погрешности

усредняется

по

мере

Лебега.

X извлечено

Пусть

теперь из

генеральной

совокупности

s,

s ^ 2 , независимых выборок

Х(-\ / = 1 , п г, t =

l,

s, на основа­

нии которых построены

оценки 0(‘-)= 0 w(Х{'\..„

ХЦ> ), i =

l , s ,

Т с

/

i

параметра 0, принадлежащие

вероятностью

1.

Соответст­

венно имеется s

оценок

Д .(х)= /(х ;

9ll))

плотности

f(x),

взве­

шенную среднюю

которых обозначим f(x):

s

f(x) =

У ]

nJiix).

i = 1

Для описания взаимного расхождения

оценок ft(х)

друг от дру­

га

введем

статистики,

получаемые

из сумм

^

Ф(в1'>) и

д

t =

1

^

^ (9(1))

заменой /(%)

функцией /(х ).

i = 1

Статистика

О п р е д е л е н и е 3.

Ф(0(1),...,0 « ) =

[fl { x ) - f i x ) r d x

i = 1

оценок fi(x), £—1, s,

плотности f(x).

О п р е д е л е н и е

4. Статистика

¥ ( 0 « , ....

Г [// ( х ) - /( х ) Р ■dx

fix)

Предельные распределения с. к. п. и с. к. о. п. изучают­

ся

в

§ 4,

а предельные распределения с. к. р. и с. к. о. р.—в

§

5.

Сказывается,

что в некоторых

условиях

предельное

при

min пг-> со

распределение

с. к. п. совпадает

с

распределением

/

некоторой

квадратичной формы от нормального

случайного век­

тора

[68],

а распределение

с.

к. о. п.—с

распределением

х 2 с

т

степенями

свободы [71].

Что

касается

предельных

при

min

распределений

с.

к. р.

и с.

к.

о. р., то

они

»

являются

(s—- 1)-кратными

свертками предельных распределений

с. к. п. и

с. к.

о.

п., соответственно [68,

70,

71].

, ц ,..., tr= l , m , r = l , 4 .

(5.2.1)