книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

что эквивалентно выбору

длин

интервалов

вида

--------

п_1/5.

/(*)

В случае нормальной плотности для отношения среднеквад­

ратических ошибок

в средней точке получим

выражение

4

(18 Y 2 л;а54-а5)

ст4 (144 + л2 а5)

(а2—дисперсия),

минимум которого по а при а =

1 приблизитель­

но равен

1,2.

Правда,

это отношение

стремится

к нулю при

удалении от средней точки.

Мы неоднократно

использовали

тот факт, что случайные

величины

Q(S)

имеют

бета-распределение

с

параметрами I и

m—l-f-1.

Это частный случай более общего утверждения,

принад­

лежащего

Т ь ю к и

[102].

Пусть

Yu...,Y m —выборка из Y с рас­

пределением Q в R\

Пусть <р1от,...,

ym_i, т —заданные в Rk числовые функции

такие, что

Q{z:^ij(z) = a) при

всех

i,

/ и a^R1

(3.3.1)

образуют множества

^ l m = I ^ • Ф'Гт

• •• > Ф т -Zi т

ml ’

где а1т определены

последовательно

следующим образом:

й 1 т = ш а Х Ф г т ( *0) = Ф 1 т ( ^ < 1 > ) .

i

® “ 2 т Г П 2 Х ф 2 т ( ^ ( )

Ф 2 т ( ^ г ( 2 ) ) ’

г =£ г'(1)

х

P{Q (SlJ < x } = —

J - —

Г

В (/,

т - 1 - (-1)

.]

0

Этот факт впервые был обнаружен

У и л к с о м [63] в од­

номерном случае с функциями Ф, равными

тистически эквивалентных

блоксв“ Slm=Sri\j(S2l~ S u)\J ... я

*покрытия“

Q(Sa — 5 г. 3, г) =

блоков

имели

равномерное

распределение на симплексе с т-f 1 вершинами.

Можно было с самого начала

брать общие

упорядочиваю­

щие функции,

однако на область

Slm пришлось

бы

наложить

одно характерное требование: из

того, что

D (Slm) > D >

0

дол­

жно следовать существование

детерминистического

множества

с

<3(Л);>0 (здесь

D —диаметр).

Это необходико для того, чтобы получить оценку

Р {D (S Im) > d K P { Q ( S ini)> Q C 4 )}~

(3.3.2)

т2 Q2(A)

Отсюда очевиден путь обобщения доказанных теорем.

Требования

(3.3.1), (3.3.2)

всегда могут

быть

удовлетво­

рены для

всякой

заданной

ст-конечной меры

Q в Rk. В

дейст­

вительности, для всякой линейно

упорядоченной

по включению

системы 2

областей Sa в Rh с

непрерывными

граничными

ги­

области Slm из семейства 2. Это можно

показать, полагая <р

постоянной на границах а и

ф(zx)<cp (г2)

при

zx£ ах,

г2£а2 и

Sa c S

Bj. Нетрудно

видеть,

что <p(z) непрерывно продолжается

на все

Rk.

Итак, можно говорить о системе областей вместо системы

функций, например, о системе подобных

кубов с центром в z0.

После соответствующего поворота координатных осей

а-конеч-

ная мера Q не окажется сосредоточенной

на границах

системы

кубов.

Для этого

достаточно указать,

что

с-конечные меры

функции нормального распределения.

Пусть случайная величина X

имеет распределение N(a, а2),

т. е. функция распределения X равна

■F(x) = F(x\a, ог)= 4 - + Ф 0 (—

)

2

\ or

где

v k

I ехр {- т)

о

Произведем выборку Хь г =

1, п, из генеральной совокупности

А й в качестве оценок параметров а и с т рассмотрим выбороч­

i= i

^/■2

Функция

»•=1

F(x)=F(x\a, ст)= —— + Ф 0

х— а ~ + Ф 0 X—X

является

параметрической, оценкой функции нормального распре­

деления.

'

,

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Свойства

F(x)

изучены Н.

В.

С м и р н о в ы м

в работе [59].

Ниже мы приводим результаты из [59].

Некоторую ориентировку

о

характере

приближения

F(x) к

F(x) дают математическое ожидание и дисперсия

F(x).

Оказа­

лось, что

Е F(x) = F(x) +

f —

U -

х —т

Фп

п—1 ф '

х —т

Е [F(x)-F(x)]* = .

+

2п2

Отсюда

(4-1-1)

Е F(x)= F(x) +

Ф'?

^

+ 0 f 1

4п

П

D F(x) — 1

ф :

_ 1 ф ; «

- т

+ <МЛЬ

причем константы,

фигурирующие в определении символа О, за­

висят от х.

Из (4.1.1) следует также, что

Е I

[F(x)—F(x)]2dx:

8 К я

п

Для описания допустимых

пределов

расхождения

между

F(x) и F(x) Н.

В. Смирновым была введена статистика

L(x, s)= max |F(x) —F(x) j=

max

x — x

x —a

Ф о

-Ф»

x^R1

x£Rl

=

max

x — x—a

Ф„

s/a

-%(x)

(4-1-2)

x£Ri

Пш />П(Х) = Р(Х),

Х > 0,

(4.1.3)

п->■°о

где

Pn( X ) = p k ( x , 8)

< -

Ы

\

и

1

у

п

Р(Х)=1 - —

Гехр

cos29

do>,

(4.1.4)

тс

.)

(

|

О

причем переменная ш связана с 9 соотношением

тс

.

/'sin и

9 = —

— arcsin

—= -

приведена в приложении (табл. 3).

Распределением Р(Х)

можно пользоваться

при

проверке ги­

потезы о том, что случайная величина X с нормальным распре­

делением имеет среднее

значение

а и дисперсию о2. Имея оцен­

ку F(x),

найденную по

выборке объема п из

генеральной

сово­

купности X , критическую

область

уровня а для

проверки

этой

гипотезы

устанавливаем

неравенством

L(x,

s) >

,

У п

где Ха—корень уравнения

Р(Ха) = 1 —а.

п,

Согласно (4.1.3), при

достаточно больших

вероятность

того, что неизвестная функция распределения

попадет в полосу

Аа плоскости (х, у), определенной

неравенствами

F ( x ) - - ^ < y < F \ x ) +

(4.1.5)

У п

У п

Пусть

имеются две независимые

выборки

X[*>, i = l , п, и

X f}, / — 1,

т, из генеральной

совокупности

X

с распределением

N(a, а2), на основании которых построены две

параметрические

оценки

Fln(x)^F(x\a^, ? '> )= _L

+ Ф0

J

r = 1, 2,

2

V

ст<')

Для сравнения оценок FO>(x) и Я 2)(х) введем статистику

[31,

36]

Lmn = Lmn(x1,*2; S1,s2) = max 1? s<1>(jc) —

|,

x £ R l

нок F<r).

Ниже мы изучим некоторые свойства Lmn.

Положив

в формуле

Lmn=

щах

(t)

IX

Х-\

- ф „

X — Xr

(4.2.1)

^*0

i

x^R1

x—x9

У-

получим

-mn

max j Фп I- — - | —Ф0(y)

(4.2.2)

I

0

\

*

где

y£R* i

ft.—X1

t_

si

(4.2.3)

Г

So

Выражение (4.2.2) имеет вид

статистики L(x, s),

но к и у

отличаются от

случайных величин

из (4.1.2).

Из (4.2.2) и (4.2.3) очевидно,, что Lmn не зависит от аист.

Таким образом, без

ограничения общности можно предположить

Обозначим

а = 0,

o = L

(4.2.4.)

Фпт(^)

Ф<)

х —V а

-

ф

0(*)

I

и дЛя исследования фпт(х)

на экстремум рассмотрим уравнение-

= -

ехр

х*

ехр

х*

(х -а )2

- r j = °>

yV2rt

~2

Т

2у2

которое приводится

к

квадратному

уравнению

(у2— 1) х2+ 2 « х —(а2-|-2у21пу) = О

(4.2.6)

с неотрицательным дискриминантом

ГД6

Y2 [а2 +

2(y2— 1) In y] = y2D ^

О,

D = a2+ 2

(y2 — 1) In y ^

0.

(4.2.7),

Если

и ^2—корни уравнения (4.2.6), то

-ань у VD

Предположим,

что s ,< s 2,

т.

е.

y <-'^

Тогда

5х_ a —7

VD

с

_

a + y V D

(4.2.8),

S2—

----:------5------

1 —y2

Из (4.2.5) и (4.2.6) имеем

Ф™(*)<°

ПРИ*<£i и *>&>■

Флт(*)>°

ПрИ ^ < Х < § 2.

Следовательно,

в

точке

имеется

отрицательный минимум-

- и » ,

Г) = Ф0

-Ф о(?х),

(4.2.9)'

а в точке ^ —положительный максимум

U * ,

Т )= Ф 0 ( —

7

) -

Ф«(Ь)

(4.2.10)'

\

/

£ nm = max {!,(« ,

f),.

L2(x,

y)}.

(4.2.11)

При a = 0 , в силу

(4.2.8),

g2 =

—§г;

поскольку Ф0(х)—нечет­

ная функция,

то (4.2.8)

и (4.2.10) дают

и

1,(0,. Г) = Т2(0,

y)

Tnw= ix(0,

y)-

(4.2.12)

dLx _

1

{ —

й

)

> 0.

(4.2.15)

------

А— ехр

—

дх

V 2tz

\

2

Аналогично

дЪг

ехр

-

« 1

<

0 .

(4.2.16)

да.

V2iz

Для случая « < 0

Lnm = U « ,

Г)-

(4.2.17)

Lnm = L,(a,

у).

(4.2.18)

Учитывая (4.2.9)

и (4.2.10),

из (4.2.17) и (4.2.18), при у > 1 ,

будем иметь

■фя- и = 1 VD

-ф„

, й>0,

Т'ПШ

'

1 —у2

(4.2.19)

ф ^ « Г + 1 ^ ) _ ф 0 ( ^ + l K D _ ) , « < 0 .

При

у > 1 (4.2.19)

остается

в силе,

т. к. в этом

случае,

изменяя нумерацию

выборок, мы приходим к рассмотренному

случаю.

Итак, (4.2.18) верно при любом у^ 1 .

Анализируя

(4.2.19),

обнаруживаем

следующие

свойства

■статистики X „m = Lnm(es,

у):

1° Lnm(0, 1)=0;

2°

Xnm( -a ,

y) = L nm(a, у);

4°

Urn Lnm(rx,j)~— при фиксированном a;

у —» со

2

'5°

lim

Lnm(a,

y) = - L - | - Ф0( |a |) при фиксированном a;

у—0

2

6°

lim

Lnm(a,

у) = 2Ф0 ( -—

j при фиксированном a.

7-1

V 2

/

« откуда вытекает

3°.

а>0 (случай а<0

Для доказательства свойств 4°—6° при

сводится к случаю а > 0 согласно чётности

Lnm(a, у) и нечёт­

ности Ф0(х)) рассмотрим функции

«,<«,

Г) П » - Г К « 3 + 2 (Т !-1 )1 П Г ,

1 —у 2

&(«,

у) д « Г - К « Ч - 2 ( у * - 1 ) 1 Пу .

Т е о р е м а 4.1. Если min (п,

т)-+-оо, то

Р , м = Р { ] / Е Е .

< х ) - » Р(Х),