книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

Теперь доказательство теоремы следует

из непрерывности f(z)

и следующего простого неравенства.

Для любых случайных величин

р,-,

v,-,

х,-, i=\,r,

(Е {max |р,—V,-) 2})1'/2 < (Е {max |р, -

х,-] 2})г^ +

i

i

(3.1.8)

Действительно, для доказательства

нужно

перейти

к р*,.

V * ,

X * , где

|р*—у* |= max |р,— V,-1

и

х* - ж-

i

при р* = р;

и использовать

неравенство

треугольника. Примене­

ние

(3.1.8)

к оценкам

(3.1.3), (3.1.4),. (3.1.7) завершает доказа­

тельство теоремы.

Для усредненного

критерия

EQ ^пт\Тпт iz)— f (z) Р>

(3-1.9)

где

Е^ означает усреднение (по z) по мере Q, верна

Т е о р е м а

3.2.

Если мера Q абсолютно

непрерывна по

лебеговой мере,

f(z)<^H, то в условиях теоремы 3.1 на п,

т, /,

оценка fnm(z) состоятельна в смысле критерия

(3.1.9).

,

Д о к а з а т е л ь с т в о ,

как и прежде,

проведем в два

эта­

лись лишь ограниченностью

плотности

/(г), так

что в рассмат­

риваемом случае непосредственно имеем

р (St)

■0.

Е«Е£ fr.m (%)

Q (S{)

Для доказательства второй части теоремы разложим

Е*Е&

Р (St) 2

т -

Q (Si)

на два слагаемых,

соответствующих условиям

max Q(S-)<<5 w

max Q(S') > 5 . Для

второго

слагаемого

i

имеем оценку:

EQE«

p )

P(St) 2

Q(st)

/ {maxQ(Si) > 5 } ^

i

^

c(m )— 4 Я 2с3 max

-Л -.

(3J . 10)

i

mo?

В первом

слагаемом разобьем

область интегрирование по Q на.

множества G и Gc, где

G=

z :z £ S

и из

Q (5) <

3 следует P(S)

Q(S)

Для области

G имеем оценку

Е«ЕЧ

f(*Y

P(St)

1 п<г2

(3.1.11)

<HSt)

Очевидно,

что

Q(Gc)—>-0

при

5->0

(3.1.12)

Е« Е£

/(*)-

Р (St) ^ 4 Я 2 с3 max

-+ е 2+ 4

Я 2 Q(GC).

Q (S,)

mo2

Для

завершения доказательства теоремы 3.2 нужно восполь­

зоваться

(3.1.8).

При доказательстве теорем 3.1

и 3.2 была использована

связь меры

Q с

мерой Лебега. Однако в задачах,

подобных рас­

когда P=Q

и Q сингулярна

относительно лебеговой

меры,

убеждает, что достаточно потребовать равномерную

го г

сходи­

мость

^ | U / ( 2)

при

Q(S)-+ о

(3.1.13)

(S —интервал,

содержащий точку z)

без привлечения лебеговой

меры.

Т е о р е м а

3.3.

Если выполнено условие (3.1.13)

и / (г) ин­

тегрируема с

квадратом,

то оценка (3.1.1)

состоятельна в

смысле критерия (3.1.2).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как

и при доказательстве

теоремы

3.2, оценка (3.1.3) проверки не требует.

Докажем,

что

EQ Eg

P(St)m

P(St)

(3.1.14)

и

k

Q (St)

E« EQ P($t)

- m

(3.1.15)

Q (Sd

т

Разобьем область интегрирования по

мере №

на события

| 2

1

Q (Sj) т

Q(S^ т

,

Ym) : max

h

}

h

t — I, г, для (3.1.14)

и на события

ляются из (3.1.6), будем иметь оценки

P(St)

PA S1 - m

< 4

+ / (2).

(3.1.16)

Q (Sd " s

Q (Si)

0

а на множестве (JAtBLимеем

i

P(St) •/(2) < e .

sup

(3.1.17)

z£Si

Q(St)

Доказательство теоремы 3.3 завершается,

если

учесть

(3.1.16)

и (3.1.17) в оценках (3.1.4) и (3.1.7),

а также

интегрируемость

/(г ) с квадратом.

При рассмотрении случая k "> 1

возникают

специфические

трудности: одна лишь

малость Q(5),

где

5 —/fe-мерный

парал-

лелепипед, может не

повлечь за собой близости

р /£)

к f(z).

——-

Q(S)

Sh

Поэтому для обеспечения суживания случайных

областей

при п, т -> с о

приходится разбивать пространство

Rh по

всем

k

направлениям координатных осей.

Пусть X имеет распределение Р, a Y—Q и

Xi (Х-ц,

X^f,...,

Хм),

Yi = (Yy,

Yhf), /= i7 m ,

—независимые

выборки

из X и Y соответственно.

Предположим, что первые координаты F -ов упорядочены в

порядке возрастания УП< У 12

Образуем

теперь

^-мерные

цилиндры Sk{ ,

разбивая Rk

и проходящими через точки, первые

координаты которых име­

ют номера

»i=i

Таким образом, вместе с точками на граничных гиперплос-

костях цилиндры Sih содержат ровно

точек, тг—количество та­

их

возрастания: У21 <

У22< ... < У2т. В каждом цилиндре

S*

образуем цилиндры

проводя гиперплоскости, перпен­

in — 1, г,2'

Гг

h1г2’

2

^*1 ^*2

^*1

^2 —1

Продолжая последовательно процесс

разбиения, получим ци-

k

содержащие

i%ik

точек,

причем

линдры Si i ik,

= 1,

i

11 12 ■ ’ lk—1

8. Г. М. Мания

113

Q

( s

, Н У , , . - . П/)е

h = H K

имеют бета-распределение с параметрами

hxг'а .... ih »

^'l к ■■■ —1~~^'1к

<A

^‘

При сделанном

выборе

случайных

областей

S'j

,•

,-й , если,

например,

Q имеет непрерывную

положительную

плотность по

лебеговой

мере

в

Rk, то

Р

(Si

,

и )

будет

равномерно близ-

--------1

2'' ~.

-

^ . .

ik

)

/ ( 2г,...,

i\i%

ко

к плотности

zft)

в ограниченном цилиндре

|ггК Л ,

£ =

1,/г. Имеет место следующая

Т е о р е м а

3.4. Утверждения теорем 3.1 и 3.2 остаются

в силе, если дополнительно потребовать,

чтобы при

п, т->

с о ,

шах

т

■О,

max

ml: :

■ 0 ,

h is... ih

к.....-4i /. .

h. h ...... ik

li1 i3 ...ih -i

,

кi2 .•-th

max l;

;

i\ 12•■•ih

*!> •••,ih

< c (/i),

h= 1, k .

min

»i>

к..... Чь

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Разобьем

область интегрирования

на

множества

D

- h =

{(У,,, Г 2/,..., YhI):Q(SiJ<*lf

Q ( s j i2)

ni\

< S 2,...

Q ( < )

« д а м , . . . / » )

< 3 ft

5* .

•

ti ta ..• ik

Доказательство теоремы 3.4 следует из оценок

Р 1ВС, . .

< р { 0 ( 4 ) > б 1} + р \ ^ ъ ^ >

ьг } + . . . +

* *1

*2 •••Lk

•

1

Q(5ft)

+

р

Q(S,h h ■■■ik

Q(Si±

<

SM

<

+

... « ^ Г

"*

1

I

г2 ^*'i ig~^~

+

‘ t'l г’а ... tfe

(^'i

ta ... ik +

0

(//'i+ 1 ) ( / ‘i + 2 ) s *

i ^h

... ik +

m

l i 2 . . . ; k

+ 2 ) 5 i

Исследуем теперь

асимптотическое

поведение распределе­

ния

оценки fnm(z). Ограничимся сначала

случаем k— l

П о определению

?

( * ) = / ( 5 ) -

/ nm \со)

—-— »

здесь

l(S) ~ количество

точек из

выборки

попавших

вал (20

20+fl), где

а —расстояние от г0 до

/-Й

ближайшей к

г0 точки из

выборки

у

Следо вательно, случайная

величина I (S)

распределена би­

номиально

со случайным параметром-вероятностью успеха"

т. е.

в принятых

нами

обозначениях для

усреднения а

имеем

*<'• л* Р ) ~ Ы ( ' - Р Т - 1

Р { l(S) = i} = Egb(l, п, P(S)).

(3.2.1)

Q(S)= J*

g(z) dz=2g(z0)a + g'(zQ) j ( z - z 0)dz-|-O(a3).

Zq d

Zq~—(Z

Производяпростые

преобразования в (3.2.2)

и подстав­

ляя выражение для 2 а,

получим:

а

P(S)=/(z0)Q(S)+/'(z0)g(zo) J* zdz4-f'(z0)g'(z0)

z2dz+

•a

I

—а

разложения Р (S)

из (3.2.3),

получим взвешенное биномиальное

распределение со

случайным

параметром f(z0)Q(S),

где Q (S),

как отмечалось выше, имеет

бета-распределение с параметрами

/, т—1+ l . Фактически это есть распределение

количества

/(S J , Х -ов,

попавших в случайную

область

Sl5

имеющую ве­

роятность

f(z0)Q(S):

P {/(S 1) = i} = EQb(j,

/, f(z0)Q(S)).

Здесь

означает уже усреднение по распределению

Q

Р { Q ( S ) < Q } = B '1(/, m - l + 1) j

О

Производя

интегрирование, окончательно п о л уч и м

1

P{/(S1)=i} = C‘ B-1(/,

Ш - 1+ 1)х

х

j

[tf (г0)У [ l - t f (z0)]n~l t™ (1

=

О

- [ /( г ,) ] '

pm+1 pi

m + i+ l,

/ W

) ,

(3.2.4)

^n+m

где В (a, p)—бета-функция, а

I

F(oc,p,

r ,

=

0

— гипергеометрическая функция.

Далее,

f(z0)Q(S) имеет среднее f(z0) —L-. и дисперсию

т+ 1

P {/(S 2) = i} = &

( i,

п, f(z0) —L—)

(3.2.5)

V

т-1-1/

для^ количества

/(S 2), Х -ов,

попавших в область

S2 (неслучай­

ный интервал с

центром в z0) с

вероятностью

т

нако для упрощения записи положим просто п= т.

Распределение сумм

т

т

т

/ = 1

/=1

/= i

где llmj,

l*mj, I3nj, / = l,m ,—последовательности независимых оди­

наково распределенных величин,

причем Zj^, Z^, Z^t представ­

ляют собой индикаторы событий

S, Slt S2 соответственно, зада­

ции распределения обозначим F}„(x),

Ffn(x), F3m(x)

и пусть

Щ) —

распределение

случайной величины

£,

а яд=]Х Dig.

В силу независимости испытаний

Х 1,..., Х п от

Ym

(т. е. в силу

того, что 11т и Z зависят от К ^ ...,

Ym лишь

пос­

редством S), условные распределения примут вид

F'mixW^ Y2......

y

j = F M *lS ),

F2m(x\Yv Y2,...,

Ym)= F*m(x\S).

Т е о р е м а 3.5. При — - > 0

и Z ->oo распределения

m

sup \Flm(xa Z^+E/jj,)—Ф (х)|^ сг( т ,

Z)-~

cF) Z-1/,

i = 1 3.

(3.2.6)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Докажем сначала утверждение, со ­

т

sup

|/*

( х < + Е /» ,) - Ф ( х ) | <

_ А _ V

Е ] / ^ - Е Рт,\*.

(3.2.7)

x~Rl

z%i

/= 1

Для Е |l^j—El3mj |3 получим

/

3

—

E\l3ml-EPmir = [ l ^ f ( z 0)

/ Ы

m-f- 1

m-f- 1

+ /С о)

1 —/( г 0)

l

/

/ /2

m -f

1

/(г« ) - 4 т + 0 Л

m + 1;

m-f- 1

Vm2

Непосредственно имеем также

Eft,

,m

lf(z0)= f(z0)l + O (-L

, ,

m-f- 1

\m

o2l3m= tnf(z0)

l

/

m-f- 1

l - / ( z e) m-f- 1 /

— f ( zo) ^ 1 + 0

( “

] ]

•

(3-2.8)

Остается подставить эти приближения в (3.2.7).

Для

доказательства

(3.2.6)

при

i — 2

применим оценку

нормального приближения для

подынтегрального выражения в

правой

части неравенства

sup

[ Р ^ ( х а /^ + Е 4 ) - Ф ( х ) К

x^R1

< Е &

sup

]F|,(xa/^4-E/|t1 5 )-0 (x )| .

x^R1

(Мы иногда опускаем индексы при операторе

усреднения,

нап­

ример,

Е l*m= Е%Е& {12т15) ).

В силу условной независимости l2mj при условии S

sup

\Ргт(ха1гт+ El*,)—Ф (х)|<

jc^R1

m

< E S i 3 ( F T s ) 2 j E||!" ' _E<" ,|,|S|'

<3’2'9)