книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

~ \В\-Ы*\С\'1\

О

4 = А | 5 р /2 1С|-6/2,

о

т. е. h0= J A

f(Xt y)\fr(x, У)Г5'21 /Ж Л )Г } V * /« ,

/оВ={ т

у )| /ж ^ i1/2iw x>^ i"5/2}1/vi;e-

ft-

л

Т,

0 Ф

0

2 ( 5 + С)2 ’

Г Щх, у) IV.

Л _

и

0

Ып*+Гу*?\ ’

<Р(*о)=» —

\А(В+С)]21\

т.

е.

V 4

у

~

[/(*,

У )(/> (+ < /)+ /> (*, У ))]2'*«~ г^

Итак, нами доказана

Т е о р е м а

2.9.

Если плотность распределения f(x, у) в ок­

E

1

fix,

y)

4 " lA*£‘ (*»0) +

У)-!(х, y)]2=

4

- +

tihl

0 0

+ Pfr(x, У)?+о

( ±

-f (h*+lzf ) .

Vnhl

При дополнительном условии

у) /*а(х,

у ) > 0 ,

оптимальные

h0 и 10 равны

К =

fix, у)\ГАх, у)\-^\ГАх,

у) Г

j

V

1'6,

y)\ll2\f>{x,

У)Г5/2

j V

1/»

и

Яры дополнительном условии f'^ix,

y)+fl*ix, у)+0

ы равных h

и I оптимальное h0 равно

h =

f

9^ ’ У">_____ 11/бп-1/б

0

\2\ГАх, y)+f?ix,y)V)

и

Е Шх, У ) - fix, у )]2=

-1- у Г -1

[/2(х, y)(fe(x,

у)+

+

f? ix, у) )2]х'3 / г 2'3+ о (п-2/3).

R2

По теореме Фубини и соотношению (2.4.13)

JJ

Unix, у)-fix, y)fdxdy = J Е [/„(л:, у)-f(x, y)fdxdy=

R2

$

[Е fn(x, у)—fix, У) ]2dxdy=Dn+ E n.

£ п=

~ (Ли /Р + 2 Л 12Л2/2+ Л 22/4)-И [(Л 2+ /2)2],

где

Л„ =

[fx*(x,

y ) ] 4 x d y ,

Л12— JГх*(х, у)Гу*{х, у ) d x d y ,

(2.4.15)

*2 2 -

и [/>(*,

y ) ] 2d x d y .

Итак,

J

У ) ~ f i x , у ) } 2 d x d y = — —

Ш х '

4tihl

R2

+ 1 - ( Л ^ + г Л ^ Р + Л . Л + о Г -^ -

+ (/г2+ / 2)2].

(2.4.16)

Так же, как и при рассмотрении

меры локальной

состоя­

тельности, разберем два случая:

Ьф! и h= l.

Результаты оптимизации в обоих случаях вместе с

соотно­

шением (2.4.16) сформулируем в виде теоремы.

Т е о р е м а

2.10. Если частные производные f(x, у)

второго

Е

1

-Ь

У ) - f i x , у ) ] 2 d x d y =

4nhl

+

± (ЛцЛ*+2ЛмА*/*-Ми/*)+о

+(^2+ /2)2] ,

где Ац,

t, / =

1,

2,

определяются из соотношений (2.4.15).

Оптимальные h и I равны

(

А —5 / 4 4

1 / 4

V1 /

9

Л 1 1 Л

2 2

) V

1 / 6 ,

0

U

Н - Л ^ Л й ^ Л й 1 / 2

Г

-

/

9

Л и Р М г / ' 4

'

\ 1 «

/ 6

п - 1

0

U

И - Л ^ Л ^ Л г / / 2 ,

E

\fn(x,y)-f(x,y)]2dxdy=

Rz

= - 1

i / A

(AJI* А2ач*+А1а)Ч* п-*1*+о(п-Ч>).

4

( /

2

Яры равных h и l оптимальное Л0 равно

K =

9

(Ли + 2 Л 12+ Л 22)

V i / «

Е j j

[?„(*, У) - f ( xг у) ]2dxdy=

Rг

i

/ -

i

(Лп + 2Л12+ Л 22)1/3 tt'2/3+ o (п~213).

4 V

4

Поскольку

2

( Л ^

Л221/24-Л12) ^ ЛП+ 2 Л 12+ Л 22г

то коэффициент

при н~2/3 для

одинаковых Л и / больше,

чем

при разных.

Поэтому выбор разных Л и /

лучше учитывает осо­

бенности, которые

возникают при оценке

двумерной плотности

распределения.

Очевидно, что

(2.4.4) является частным случаем статистики

1

'x - X t y~ Y t'

f(x,y) =

nhl

h

’

(2.4.17)

/

при

K{x, y)=K 0(x) К0(у).

Для общего класса ядер К(х, у)

оценки типа (2.4.17)

для

многомерных плотностей изучены

Э'. А. Н а д а р а я [46, 50],

К а-

к о у л о с о м

[72], В.

А.

Е п а н е ч н и к о в ы м . [7] и др.

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В СЛУЧАЕ ДВУХ НЕИЗВЕСТНЫХ

МЕР

При решении

непараметрических задач

статистической

классификации, т. е.

при проверке статистических гипотез, ког­

да информация о неизвестных альтернативных

распределениях

приходится оценивать

плотность одной

неизвестной

меры отно­

сительно

другой

неизвестной меры.

Точнее,

по

результатам

Х х,..., Хп и Уг, .

Yт независимых в совокупности наблюдений

над 6-мерными

случайными

величинами X и Y с

неизвестными

распределениями

Р и

Q в 6-мерном

евклидовом

пространстве

dp

(2)

меры

Р относи-

Rh необходимо оценить плотность f (2) = —

dQ

тельно меры Q. Подобные оценки встречаются в работах Ф и к с а

и Х о д ж е с а [80],

Л.

Д. М е ш а л к и н а [45],

К ь ю с е н б е р -

ри и Г е с с и а н а

[92].

Настоящее изложение следует в основном

работам

К. В.

М а н д ж г а л а д з е

и Р. Я.

Ч и т а ш в и л и

[19—22].

При

построении оценок функции

/ ( 2)

используется

метод

Пусть Р, Q—одномерные вероятностные меры,

У1, . ..Ym—упорядоченные по возрастанию

результаты

наблюде­

ний над случайными величинами X и F,

распределенными по

S1=

{ г : — оо <

z

YLl},

S2 = {.z ;F. < - z < F .

. ),

f5,= ,{z :Yii+ ... + /r _ i< ^

< oo).

В качестве

оценки

для

непрерывной функции плотности

/(z)

в [19] предложено выражение вида

7„m(z)

=

--(^

,

26.S,,

(3.1.1)

ч

тде

l(Sl)='ln(S,) —количество

Х-ов

из

выборки

X !,..., Х „, по­

павших в интервал S,-.

Исследуем .сначала состоятельность оценки (3.2.1) в смыс­

ле

метрики

:E ^{sup|

fnm( z ) - f m ,

(3.1.2)

I г 1<Л

п

т

где ££$ 'означает усреднение

по

мере

Р-ПРХП Q, являю-

1

1

щейся прямым произведением мер Р и Q, в пространстве р п+т.

Т е о р е м а

3.1. Если Q

имеет

непрерывную

положитель-

мую плотность то лебеговой мере, то при выборе 1{

так, чтобы

Ч,

л

:т

л

при

п,т-+<х>

шах —

0, шах —

О

i

га

т

/|

оценка

(3.1.1)

равномерно

состоятельна

в смысле

критерия

(3.1.2).

Д о к а з а т е л ь с т в о

проведем в два этапа. Сначала най­

дем условия, при которых статистика (3..

1. 1) сходится к слу­

чайной

величине

P(St) а затем изучим

сходимость

P(St)

Q (Si)

"

Q(St)

личины Q(S;)

(по

построению

S{)

имеют бета-распределение с

параметрами

m—lL—\ (см. § 3).

На первом этапе доказательства требуются следующие не­

равенства:

FPQ

sup

I (S')

max

l (S')

nP(St) l2

*~пт

h \

z\<A

i

^ V

ppo \l (Si)

nP(S')

|2_ c0 'V P ( 5 f) ( l- P ( S ())n^

e ™ \— ,

— | - e " ^ j

Ц

*

<

m ax—

Eg V

P(St)-=max

”

(3.1.3)

i li

i

i

h

m

где

Eg

означает

усреднение

по

мере | |

Q в

пространст-

ве

Rm.

3

Первое

неравенство

следует

из того, что по

построению

оценка (3.1.1) постоянна на областях St.

Второе неравенство вытекает

из следующего

простого ут­

верждения: для любых.случайных

величин §(-

*)

с(-), ci

i > 0, />!1—положительные константы, зави­

В самом деле

2 '

Е т а х Й = У ]

Щ1 {£| = тах£?}

1 ] ееI»

i

i

P(St)( l - P ( S t))

.рР I

l(St)

- P(St)

(Y*

Ym)

,

'

|

где Eg означает усреднение

по

мере II Р в пространстве Rn.

1

Как следствие того, что непрерывная плотность f(z) огра­

ничена сверху

при \г\<А постоянной

# < о о ,

а случайные -

величины Q(S,)

имеют

бета-распределение со

средним

^

/г( т - / , . + 1)

т - И

и дисперсией

имеем следующую

оценку:

(.т+ 1)2( т + 2 )'

Р (Si) т

P(St)

Eg, !

sup

I z\<A

h

Q (St)

=Е & (

sup

(IP (S,)\* Q (S f)m

li2i</i\Q (St)

l,

= E&

max

P(St) y

Q (S{) m

i

\Q (St)

h

2 j Eg

Q (S,) m

1

1

Я 2

m‘

<

> , ----------

--------------<

> Y .

i

h

^

lt(m-f l )

(m + 2)

< Я 2 _ m

m ax------------------------- Я 2 max

m

(3.1.4).

m i n /£

;

/г( т + 1 ) ( т + 2 )

;

/?

i

Для доказательства сходимости

EQ

sup

p (St)

-f(*)

•-ЧЛ

г\<A

Q(St)

заметим, что

из условий

теоремы

вытекает,

равномерная по>

z (] z | < Л < оо)

сходимость

P (S )

f (2) при

Q(S)->0.

(3.1.5)

= E& { max

sup

рЛ ‘! - М

i \z$st

« № )

\z\<A

Разобьем теперь область интегрирования на события

Вг={(Уг,

у 2.......

Ут) : Q(S;)< 5 }, i =

l ~

(3.1.6)

Используя (3.1.5), подберем 5 > 0

так, чтобы

P(S)

-/(*)

<3 S

Q S)

при Q (S )< § равномерно по г, |г|<Л. Тогда на множестве

(]Bt

i

подынтегральное выражение будет меньше е2.

На дополнитель­

ном множестве

шах sup

P(S,)

< 4 Я 2,

i

z^ Si

Q (S,)

E £ / = P { B < } = P { Q № ) > § ) <

М У Н )

53(m -j-l)(m -f 2)

(по неравенству Чебышева).

Окончательно имеем оценку

Е£

| шах

sup

С

< е 2+ 4 Я 2

( ^ + 1)

52 (m + l)(m + 2 )

^ е 2-|-4Я2 шах

(lt+ 1) /и

i

(m -Ь 1 )(/п + 2) 52

Iе2+ 4 Я 2с3 шах

(3.1.7)