книги из ГПНТБ / Мания, Г. М. Статистическое оценивание распределения вероятностей

Тп(х) - Е Т„(х)

Тп(х) -

f{x)

а

д -

е а

д

<*Jx)

а У f(x)

<

®п(*)

Тп(х)~ fix)

<

fix) -

е а д

+

а У fix)

<*п(х)

+

\Тп(х)Ч(х)\

У

fix) - ап(х)

(2.3.14)

aV f(x)

В силу теоремы 2.1 о равномерной сходимости

fn(x)

к f(x)

легко видеть, что \Tn(x)—f(x)\

ограничено с вероятностью еди­

ница равномерно относительно х и п. Далее,

принимая во вни­

мание (2.3.10)

и (2.3.11), из (2.3.14)

получим,

что с вероятно-

стью единица

.

, ^

Ь— а

„

|У]п |^

с22-------- . С другой стороны, для доста­

точно больших п согласно условию

nh logs

•0

при

п -V СО

разность

е

Ь—а

1— с2а Ф -а ) lsVnh

положительна. Следовательно,

е

| - » 0

при ц—>оо.

(2.3.15)

р |1 Vn 1> , y-fr

Утверждение теоремы следует из (2.3.15), поскольку

Р \ K n ^ ls+1,Xs

> Р

Кп’ < -^ +

(X — &)/1„

V hh

Vnh

дожить

s= B n “ ,

h= — ,

где А, В > 0 ,2 а + р > 1

и 0 < а < | 3 < ;1 .

С помощью

(2.3.13)

можно построить класс

доверительных

областей

Ga(k) с

заданным коэффициентом доверия а ( 0 < ! а < 1 )

выборки

(К (х) — функция,

удовлетворяющая

приведенным

выше условиям).

—2е-Ь

Пусть

Х = Ха — решение

=

а. Положим

уравнения е

га = (Л

+

— 1

}

■• Тогда

неравенство

\

/. 1

V nh

max

Тп(х)-П х)

K\u)du

1/2

а

v m

х£[а, Ь\

■означает,

что область

Ga(x), ограниченная кривыми

<ЛМ-7\,М + _

|/ тп(х) '

(2.3.16)

а д = В Д +

+ • „ j / Т Л х ) + 4 •

■с вероятностью сколь угодно близкой

к а покрывает на сегмен­

те [а, Ь] неизвестную

плотность f(x).

З а м е ч а й ие 1.

Если /С(х) = 0 при |х|^х0, 0 < х 0<Ссо, то

■теорема 2.4 упрощается в том смысле,

что условие en log s

О

ничивающими,

а именно

требованием,

чтобы с

ростом п удов­

летворялись соотношения

s <l08 s>S ^ n

(2.3.17)

п

S3

Условия (2.3.17)

выполняются, например,

если

положить

-s= 4 g , где Л > 0,

1/ 3< Р <

1.

З а м е ч а н и е

2.

Пусть

/(х) удовлетворяет условию Липши­

ца порядка у

на всей оси. Нетрудно

показать,

что

Е Тп(х)—

— f(x) = 0(hv)

и с г „ (х )-

f(x)

K 2(u)du

х 6

Д/, t = l , s .

— оо

nh log s

-О,

Л-v СО.

S2Y

*

„

nh log S

Исследуем теперь вопрос

об улучшении условия ------------

S2

I

^0

и К

, аналогичную по конструкции

на сегменте а +

2

b— -1

полигону частот,

2

следующим равенством:

т =

/ « ( “ л - y ) + / n

( а* +

т

+

л:—

- 7 n K - f

»

^А

^ ^А+1‘

fn[ah + ~~

КО L

Аналогично введем функцию

qn(x):

<7„М

Ф f «ft — y - j

+

Фп ( аА +

—

Х - О ь

К “

+

Фп ( ak +

y

) ~

Фп

hn

где

ф„о/ ) =

( - J - ( Ч 2

/ ( « ) d « xl/2:

со

на всей оси

и ^u?K{u)du <.<*>. Ввиду того, что

К(х)=К(—х),

----- со

можно убедиться

в справедливости

соотношений

^Tn(x)-f{x) = 0(hl), xe\tk, tk+1],

(2.3.19)

f(x) \K2(u)du

1/2

x £ [tk, tk+г].

(2.3.20)

- qn{x)=0{h%),

Рассмотрим

величину

Мп— max

^ fп(Ю

1<&<S

Фя(^й)

Из теоремы

2.2 следует

Т е о р е м а

2.5. Если en logs-^-0,

—°^ Sl

■->-0

при п->-со,

то

nh

Р

max

Ш

- е Ш

^ / , + ty /.)

~ 2е~к

<

■* r-=!

Н - » е

^0

, ^0

V nh

Д+—,

о— —

2

2

(2.3.21)

е.„ l o g s - О,

<

! £

лз

- О,

i

^

S i

-

0

,

(2.3.22),

* £

mo

nh

s4

Нш P

max

ш

- т

. к +

УК

о

\

=

-

2e~%

v m

. —

£

n— со

[ л £ [a, b\

a =

K\u) du

Условия (2.3.22)

выполняются,

например,

если

положим:

s— Ana, h=An~$, где

Л > 0 ,

5 > 0 , 4 а + р > 1

и 0 < а < < (3 < < 1 .

Доверительные области для f(x) и в этом случае определя­

ются теми

же

кривыми

Ux(x) и U2(x)

(2.3.16),

но только Тп(х)'

заменена на fn(x).

Пусть К(х) определена так,

как

в

замечании

2

к

теореме

2.2. Тогда

h0 = 2h и fn(x)

тождественно

совпадает

с

полигоном■

частот <ps*(x) (см. [58]). Из теоремы 2.6, как

следствие,

полу­

чаем обобщение теоремы 3 Н. В. Смирнова [58].

Т е о р е м а

2.7. Пусть f(x)

удовлетворяет

условиям теоре­

мы 2.6 и

К{х) = — . при ' х\ 5^

1, K(x)ss 0 при

1л: |> -1 . Еслш

2

при возрастании п

s( l ogs )3

0

п logs

то

п

’

S3

I

lim

Р

max

4>!(x)— f(x)

^

/3+ X//.

=

—2е~х

в

п—°о

*6 [а, Щ v m

„

теореме условие

lim

s3(log s)3

из

[58]

заменя­

В этой

.

L.

< ; со

П —+0О

tX

lim

s (log s f _ n

f t —* СО

n

b

что же

касается

условия

j* f(x)dx=l—а < 1,

которое исполь-

а

зуется

в [58],

оно здесь отсутствует.

Некоторые

примеры

ядра К(х) приводятся в следующей

таблице:

К(х)

J

K2(x)dx

- СО

1/2.

|х|<1

1

0.

1*1 >1

2

1 -1 *1 .

1х| <1

2.

о .

|х|>1

8х2+ 8|х|3,

\х\

- М ) 3.

1

0,96.

2 <

0

1

_ 1_

1

Г

*S1

у 2-я

ехр

(— }

У2к

1

1

y e x p j - ■1*1}

~2

1

1

1

я

1+Х'2

я

1

Зя

0 ,5 4 + 0,46 cos тех,

|х|<1

3

о

.

и >1

1

7 п ( х ) = - 0р - ,

(2.4.1)

2п

где S„(x)—эмпирическая функция распределения

выборки. Оче

видно, что (2.4.1) соответствует

выбору

ядра

1

1.

* „ (* )=

2 ’

'

I

0 ,

| х | >

1.

Критерием локальной и глобальной

точности

оценки fn(x)

Розенблатт выбрал

и соответственно

Е [?»(*)- /(*) ]2

Е

[fa(x)-f(x)\*dx.

Имеет место

Т е о р е м а 2.8. Если f(x)

имеет непрерывную

вторую про­

изводную в окрестности х, то

Е

[ f ' W + 0

( 1 - +

(2.4.2)

к =

Г У у*

2

\Пх)]*

Е [ Ш

- / ( * ) ] 2= - ^ - 2-4/59~4/3 /(л;)4/5|Г(х)|2/5 п -4/5

= _ 2-4/® 9-1/5

j № ) ] 2<к 1/5д- 4/5+ 0 (л-*/5).

4

В качестве ее оценки по выборке

2 г = (Х „

Yt), i= lT n ,

(2.4.3)

рассмотрим статистику [32]

Тп(х, y) = ^ l M ^ l J l ,

(2.4.4)

ml

где S„(x, у)— эмпирическая

функция

распределения

выборки

(2.4.3), равная относительной частоте

тех значений Zt,

для

ко­

торых Х ,< х и Y,<Cy, a h= h{n) и 1 — 1(п)—положительные

чи­

сла, стремящиеся к нулю при п-*-оо,

причем

nhl-+ оо.

(2.4.5)

7. Г. М. Мания

S7

Пусть

X

У

F(x, у) = Р{Х<х,

Y<y)

f (и, v) du dv.

-00

---- 00

Поскольку nSv(x,

у)

имеет

биномиальное распределение с

параметрами п и F(x, у), то

Е S„{x, y) = F(x,

у)

(2.4.6)

D Sjx,

1

F(x, y)[l-F(x, у)},

(2.4.7)

у) = —

п

Нетрудно подсчитать также, что

1

F (min (х, х'), min (у, if))—

Е Sjx, у) Sn(x\ y')*=—

п

-

OlZ.1 F(x, у) F(x',

у’),

откуда

соv(Sn(x,y),

Sn(x'

у')) =

= — [F(min (х, х'),

min (у, y'))—F(xt

у)

F(x',

у%

(2.4.8)

п

Из (2.4.6), (2.4.7),

(2.4.8)

получим

Е /„(*,

1

М / Л * ,

У),

(2.4.9)

y) = -ju -

1

ш

(2.4.10)

D /„(*, у)= 16 nhH2 1

у) -

у)]2

Предположим, что f(x, у) имеет непрерывные

производные вто­

рого порядка в окрестности (х, у).

Поскольку

x+h

у+1

А /А Л *.

У)=

j*

[

/ К

v) dudv=

х—h у—l

1

1

— М j

J

f(x+hu,

y + lv)dudv,

—1 - 1

AiAhF(x, y) = 4hlf(x, y) +

+ ~3 hl lh*fe(x,

y) + Pf>(x,

y)]+o[h*l+Ph).

Отсюда, согласно (2.4.9)

и (2.4.10),

будем иметь

E /nC*>

y) = f(x,

у)

+

+

yg- ih2f>(x,

y)+Pfy(x,

y)] + o(h2+B),

(2.4.11)

Поскольку

-

i

A

+

° {

i i ) -

<2-4-12»

E [fn(x,

y)—f(x, y)]2= D f n(x,

y)+[YL fn(x,

y)—f(x, y)}2,

(2.4.13)

из (2.4.11) и (2.4.12) имеем

E lfn(x,

y)- f(x, y)\2= _

^

+

_ L

[h2fXx,y)+l2fXx,y)\2 +

+

о i y ~

+ (Л2+ / 2)2|

_

(2.4.14)

р {!/»(* - y)~f(x,

г/) |> s)

= О ( у =

+

(Л2+ /2)j .

Для поиска оптимальных Л0, 10 в (2.4.18)

минимизируем по

Л и / функцию

ф(Л,

l ) = ~

+(Bh2+Ct2)2,

где

>(x’ У)

А = f { x ’ у )

в =

У)

г -

f

4п ’

6

6----- '