
книги из ГПНТБ / Кондратьев, С. Л. Применение метода функционального моделирования для оценки помехоустойчивости систем связи
.pdfК ним относятся: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. Оценка |
по минимуму |
среднеквадратичной |
погрешности, |
||||||||
по которой |
оценка т* выбирается |
таким образом, |
чтобы |
||||||||
|
|
|
D (Д,) = j |
(т-Т*)2 Wa |
(T j ) |
rfT=min. |
(2.3.5) |
||||
При |
этом, |
как и ранее, |
а качестве оценки |
используется сред |
|||||||
нее |
Значение |
апостериорного |
распределения |
|
(2.3.6) |
||||||
|
|
|
|
1* = !г - Л ( т М | . . |
|
|
|||||
Выше было показано, что такая оценка является |
оптимальной |
||||||||||
при |
нормальном |
распределении. Убедимся, |
что эта |
обработка |
|||||||
удовлетворяет |
|
минимуму |
среднеквадратичной |
Погрешности, |
|||||||
Возьмем первую |
производную |
от |
дисперсии D (Д,) |
и прирав- |
няем нулю, а затем найдем вторую производную. Если вторая производная положительная, то действительно, такая оценка обеспечивает минимум среднеквадратичной ошибки. Читателю рекомендуется проделать это самому.
2.Вторая процедура основана на максимизации обратной (апостериорной) вероятности W(i,ju), т . е . на выборе такой оценки т*, которая доставляет максимум апостериорной ве роятности, или, что то же, In WYj/и).
3.Третья процедура основана на максимизации функции правдоподобия И^(и/т)=/(ч), т. е. на выборе такой оценки -f*, которая обеспечивает выполнение равенства:
max IT («/?) = max Щ и / г ) , |
(2.3.7) |
либо, так как логарифмирование не смещает максимум, вместо этого равенства можно записать:
max In W(и/г) = max In W(lift*). |
(2.3.8) |
Обе последние процедуры не единственные, |
более того, они |
не являются наилучшими, так .как не всегда обеспечивают несме щенность и эффективность оценки, а следовательно, и минимум среднеквадратичной погрешности. Это обусловлено тем, что помеха необязательно, является гауссовой и априорная вероят ность параметров W(y) необязательно равномерна. Однако в том частном случае, когда .процессы нормальны и априорную вероят ность можно полагать равномерной, оценки по этим критериям будут несмещенными и по крайней мере асимптотически эффек тивными. Так как на практике нас интересует получение мини мальных погрешностей, а это достигается большим отношением сигнала к шуму, то можно воспользоваться тем, что в данных условиях обе процедуры приводят к наилучшим несмещенным оценкам, совпадающим с оценками, полученными по критерию минимума среднеквадратической ошибки. Последнее обусловлено
60
тем обстоятельством, что в асимптотике (т. е. при очень боль шом отношении сигнал/шум) распределенияамплитуды, фазы и частоты близки к .нормальным. В частности, обобщенный закон Рэлея становится практически нормальным.
Покажем связь между оценками по максимуму апостериор ной плотности и максимуму функции правдоподобия. Восполь зуемся для этого формулой Байеса. Функция плотности обратной (апостериорной) вероятности равна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W(u) |
|
|
|
(2.3.9) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
W(u/i)—функция |
|
правдоподобия |
(если.ее |
рассматривать |
|||||||||||
как |
функцию |
параметра |
т), W (и) |
и |
^(ч)—априорные |
плот |
|||||||||||
ности |
указанных |
величин. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Левая часть показывает распределение параметра при усло |
||||||||||||||||
вии, |
что на |
входе |
имеется |
некоторое |
значение |
напряжения |
и. |
||||||||||
Следовательно, можем записать: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.3.10) |
||
|
Рассмотрим |
два |
случая: |
|
7 = 7 , —постоянная величина, |
|
|||||||||||
|
а) |
Пусть |
f |
есть |
некоторая |
а |
|||||||||||
поэтому |
плотность |
вероятности |
W(f ) |
есть 8-функция. Тогда |
|||||||||||||
W ( Y / w ) = £ I |
^ ( И / Т ) . Т . е. если |
априорное распределение |
яв |
||||||||||||||
ляется' единичной функцией, то определение |
оценки по |
мак |
|||||||||||||||
симуму |
апостериорной |
вероятности |
|
|
|
|
|
||||||||||
и |
функции |
правдоподобия |
отли |
|
|
|
|
|
|||||||||
чается |
на |
постоянный |
множитель, |
|
|
|
|
|
|||||||||
поэтому их использование дает одит |
|
|
|
|
|
||||||||||||
наковый результат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
б) |
Пусть |
априорная |
плотность |
|
|
|
|
|
||||||||
вероятности |
|
W(f) |
равномерна |
в |
|
|
|
|
|
||||||||
области |
|
Г (f е Г). |
Прономируем |
|
|
|
|
|
|||||||||
область |
Г к |
единице: |
^- |
— 1; |
Рис. 22. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
- i - -> |
+ |
1 . |
|
Будем рассматривать случай, когда отношение |
|||||||||||||
сигнала |
к |
|
шуму |
велико, |
но |
тогда |
функция |
|
W(«/r) |
очень |
|||||||
«узка» |
(см.рис. 2.2), т.е. имеет |
малую |
дисперсию. |
|
|
||||||||||||
•Отсюда видим, что априорная плотность, если она равно |
|||||||||||||||||
мерна, |
не |
влияет |
на качество |
оценки, |
т. е. все |
определяется |
функцией правдоподобия. Более того, если даже истинное рас пределение W(y) неравномерное, но изменяется медленно, то с хорошим приближением можно не считаться с неравномер ностью при условии, что дисперсия параметра и при данном у невелика (т. е. функция правдоподобия очень узка). Однако уже она будет тогда, когда отношение сигнала к шуму оченьвелико. В пределе, когда ^ ° с > ^ э „ , можем делать предположение,
61
что априорное распределение равномерное, так как функция правдоподобия «вырезает» лишь ее узкий участок.
Таким образом, если хотим получить хорошую оценку, а сле довательно малую ошибку, то при неизвестном априорном рас пределении вполне справедливо предполагать его равномерным (за это расплачиваемся большим с^У^п)-
Покажем теперь, что если функции правдоподобия являются нормальными, то можно воспользоваться всеми 'выводами ([I], гл. 6), т. е. для получения хорошей оценки необходимо использо вать те же алгоритмы обработки сигнала с помехой, что и для достижения минимальной вероятности ошибки.
Такими методами являлись обработка сигнала с Шумом согласованными .фильтрами или схемами корреляционной (ин тегральной) обработки. Действительно, аналогом выражения функции правдоподобия
Wn (Д„ Д2, .. . , d ^ - J ^ J Y ^ 2 4 ' 2 , (2.3.11)
если за /V считать число отсчетов по Котельникову. N=2FTn, будет функция правдоподобия, рассматриваемая как некоторая функция параметра т (при условии, что сигнал является по стоянным, а шум «белым» гауссовским):
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
Логарифм |
этого выражения |
|
|
|
|
|
|
(2.3.12) |
||||
|
|
г |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I n L |
frMn( |
i - a ) * ) |
- |
Д - j * i u |
W-c& |
f ) l 2 |
^ - |
( 2 - З Л 3 ) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Взяв производную |
по |
исключим |
I n ^ ( у ^ - |
j/vjи |
н а и |
Д е м |
||||||
значение оценки. Покажем это на примерах. |
|
|
|
|
||||||||
1. |
Найдем |
оценку |
амплитуды |
сигнала |
при |
условии, что |
||||||
^ У ^ п |
велико: |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(t)=c(t, |
|
т ) + » ( 0 . |
|
|
|
|
||
Искомый параметр—амплитуда |
а0. Запишем сигнал в виде |
|||||||||||
|
|
|
|
c(t, т )=а 0 с а (0> |
|
|
|
(2.3.14) |
||||
где |
( 0 = 1 -cos (о)^+<р)—сигнал |
с единичной |
амплитудой, |
т. е. |
||||||||
пронормированный к единице по aQ=^AQ |
и известной |
фазе ». |
||||||||||
Нужно |
оценить а0, |
наблюдая |
напряжение и на интервале Т. |
|||||||||
Воспользуемся |
выражением |
для функции правдоподобия: |
|
62
Z ( a ) = A - e x p . - - ^ - | [ к ( 0 - а д ( 0 ] 2 ^ | - (2.3.15)
Возьмем логарифм и заменим истинное значение а0 его оцен кой а:
г
\nL(a)=\nk~-~r-^[u(t)-acl(t)Ydti
о
Найдем производную
г
д 1 п |
д 1 а |
{ а ) = 0 + - f i r J [«(0 |
- |
(0]с ( О Л |
и приравняем |
ее |
нулю: |
|
|
|
|
г |
|
|
|
~^u(t)cx{t)dt-?~^c*(t)dt=(). |
|
(2.3.16) |
|
|
|
о |
и |
|
Отсюда получаем, вводя обозначение энергии единичного сигнала Ес„ выражение для оценки:
( О с , {t)dt, |
(2.3.17) |
которое, как и следовало ожидать, сводится к усреднению на интервале с весом. Схема обработки сигнала с шумом с целью получения оптимальной оценки показана на рис. 2.3а и пред ставляет собой известную корреляционную схему или эквива лентную ей схему с согласованными фильтрами.
Следовательно, чтобы получить оценку амплитуды, а затем использовать ее при выборе оптимального порога (р=Ропт). нужно иметь аппаратуру корреляционного приема,или согласо ванный фильтр. Покажем, что в этом случае оценка оказывается несмещенной,' а дисперсия оценки совпадает с той, которую могли получить, используя критерий минимума среднеквадра тичной ошибки.
Смещение |
оценки |
Ь=а0-~а: |
т |
|
|
|
|
т |
\ |
|
|
а=МЧ |
l~ |
|" и (t) с, (t) dt = -gr- j * [aoc, \t)+n |
(t)\ ct (t) dt= |
||
|
|
о |
j |
o |
|
_}_ |
г |
- |
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
- j |
aoc, (if) c, (t) dt+^-^n |
(t) c, (0 dt=a9, |
6=0 . . |
63
Выражение для дисперсии оценки получим, воспользовав шись ранее найденным выражением (2.3.1):
V = M ( Т * - 1 ) 2 = М ( т * ) 2 - 2 о 0 * + а 0 2 = у И ( т * ) 2 - « о 2 ;
а)
|
|
Схема |
|
} \* |
1 |
отсчета. |
|
|
|
||
c,(t) |
|
|
|
5) |
|
|
|
-А |
|
|
|
uCt) |
|
Схема |
|
|
сравне |
Og |
|
|
|
||
|
|
ния |
|
|
|
Рис. 2.3. |
|
|
|
|
|
м ( т * ) 2 = Л 1 ( а ) 2 = | - 1 - ^uV)ctV)dt\ |
= |
|
|
|||||
1 |
|
1 |
/ Т |
|
\ |
= |
|
|
= ~Ща<?Е1 + -щ |
I j |
я (*) -с, {t) dtj |
|
|
||||
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 2_ |
^0 |
|
|
|
(2.3.18) |
|
|
|
|
|
2ЕС |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т. е. дисперсия |
оценки |
пропорциональна спектральной |
плот |
|||||
ности мощности |
шума |
и |
обратно |
пропорциональна |
энергии |
|||
сигнала. Учитывая, что Ec—EClae2, |
|
получаем |
- в 2 |
- |
1 |
|||
|
= — . |
Очевидно, чем больше дисперсия амплитуды в момент отсчета, тем больше вероятность получить ошибку обработки.
64 |
' |
2. Оценка |
неэнергетических |
параметров. |
Неэнергетичеокимй |
параметрами |
являются время |
задержки |
прихода сигнала tm |
фаза ф, частота /. Покажем ход решения при оценке задержки
прихода |
сигнала. Поскольку |
время |
прихода |
сигнала каждого |
||||
импульса |
определяет |
момент |
отсчета |
t0 |
= t„+kT |
в |
схемах |
опти^ |
мальнрй |
обработки, |
то плохая |
оценка |
tn |
приводит |
также |
к воз- |
растанию ошибок решения. Выше было показано, что функция
правдоподобия |
равна |
|
|
|
|
U ( |
T ) = f t + ^_ |
j [ и ( t ) - c (t, |
tH)f d?j , |
|
|
где U (f)—логарифмическая |
функция |
правдоподобия, |
k'=\nk, |
||
а Т— интервал, в пределах |
которого |
должен появиться |
сигнал. |
||
Взяв производную, получим уравнение |
правдоподобия: |
т
Следовательно, в любом случае необходимо производить корреляционную обработку или обработку согласованными фильтрами. А это означает, что следует ожидать той же за висимости дисперсии оценки времени прихода tH от опреде ляющих параметров, какая была ранее получена для дисперсии оценки амплитуды. Поэтому имеем [16]:
а 1 = Т ^ Г ' |
( 2 - З Л 9 ) |
где (^—коэффициент ширины спектра огибающей радиоим пульса, зависящий от формы импульса. Если импульс дли тельности тн имеет гауссову форму, то
Р2 =2,8/ти 2 , а при прямоугольной (вернее, близкой к прямоугольной)
|
P 2 ~ 2 F / T H ; |
здесь F—полоса |
идеального фильтра, через который необхо |
димо пропустить строго прямоугольный импульс, чтобы полу чить реальную его форму.
Поскольку время задержки может принимать дискретное значение, оптимальная схема будет иметь вид рис. 2.36.
Если параметр tB непрерывен, что имеет место в реальных
системах, |
то необходима напрерывная |
система |
синхрониза |
ции, т. е. |
систему динамической оценки, |
которая |
выбирала бы |
смещение и обеспечивала задержку начала интегрирования каж дого импульса, а кроме того, позволяла уменьшить «дрожание»
5 Зак. S02. |
G5 |
момента отсчета на каждбм такте работы, т. е. при обработке каждого импульса.
Реальные системы тактовой синхронизации дают ошибки, что приводит к резкому возрастанию ошибок регистрации каждого импульса. Кроме тактовой, необходимо иметь цикловую синхро низацию. Если даже будем правильно определять момент от счета на каждом импульсе, то это не означает правильное вос произведение сообщения. Действительно, если по каким-либо причинам, например при сильных помехах, произойдет смещение на один такт, то тактовая синхронизация будет работать с этим смещением, что приведет к неправильной выдаче кодовой ком бинации, состоящей из элементов двух соседних комбинаций. Поэтому даже при сколь угодно малой ошибке по импульсам вероятность искажения сообщений резко возрастет. Для того, чтобы правильно воспроизводить кодовые комбинации, тре буется синхронизация по циклам. Поскольку тактовая и цикло вая синхронизация работают во времени совместно и связаны между собой,4 их называют системой синхронизации передаю щего и приемного устройств.
Приведем теперь постановку задачи и окончательные резуль таты решения по определению передаточной характеристики k(jo) линейной цепи, обеспечивающей минимальную среднеквадратическую погрешность оценки сигнала (фильтр Винера — Колмогорова).
Пусть на вход линейного устройства оценивания (фильтра) поступает напряжение uBX(t)=c(t)-\-n(t), причем сигнал и по меха являются стационарными случайными процессами с извест ными корреляционными функциями /?с {t) и Rn(t) и функцией взаимной корреляции Rc„{t), не зависящей от начала отсчета времени.
Задача заключается в таком подборе k(jm) или соответ ствующей импульсной переходной функции
|
h(t)=-£- |
A(/m)e/*'do>, |
(2.3.20) |
чтобы напряжение на выходе |
uBblx(t) удовлетворяло |
условию |
|
Нт |
(*[«.« (0-*(01"Л=ё^)=т1п. |
|
Если не ограничивать решение условием физической реали
зуемости (h(t)=0 при *<С0), а помеху и сигнал полагать ста
тистически . независимыми, то фильтр, обеспечивающий наи-
66
лучшее (в указанном смысле) воспроизведение сигнала, доЛ; жен иметь:
<ЛН+Сп(ш)
где Oc (UJ) и С?п ((о)—энергетические спектры сигнала и шума соответственно, получаемые преобразованием Винера —Хин- чина из /?с(^) и R„(i). Среднеквадратическая ошибка при этом равна
Г" Oc (o))Gn (") - dm-. |
(2;3.22) |
2я J C?c (u))+On w |
|
Так как физически реализуемый фильтр может разве что уве личить ошибку, то соотношение (2.3.22) определяет ее принци пиальную границу.
В заключение данного параграфа рассмотрим возможность использования отношения правдоподобия для нахождения оценки случайной величины и та ким образом установим прямую связь между теорией оценивания и теорией обнаружения.
Можно показать, что:
1.Среднее отношение правдоподобия можно выразить только через оценку по минимуму дисперсии.
2.Наоборот, в случае оценки произвольного сигнала, искажённого адди тивным гауссовым шумом, оптимальная оценка по минимуму дисперсии есть линейное преобразование логарифма градиента среднего отношения правдо подобия.
3.Отношение правдоподобия для произвольного сигнала c ( t ) , искажен
ного белым гауосовским шумом, «можно выразить в виде
Л = е х р ^ с* {() v(t)dt—y | с*з(г) dt\ , |
(2.3.23) |
где с* (t)—оценка с (t) по минимуму дисперсии при наблюдении u(t) на ин
тервале 0-5-Тн (полагая, |
конечно, что сигнал присутствует), а |
специальный |
стохастический интеграл |
(интеграл Ито). |
|
Таким образом, отношение правдоподобия для оценки случайных сигна |
||
лов имеет тот жевид, что и при оценке известных сигналов, |
если вместо не- - |
наблюдаемых сигналов подставить их оценку. При этом сама оценка в (2.3.23)
совсем не 'Случайна, поскольку процесс оценивается на всем интервале |
и при |
|||||||||
всех возможных значениях наблюдаемого -напряжения к. |
наблюдается |
сигнал |
||||||||
|
Поясним |
сказанное |
на простом |
примере. Пусть |
||||||
и (t, |
7), |
где |
f—случайная величина, |
наблюдаемая совместно с гауссовским |
||||||
шумом |
М {n{t)}=Q, a |
D (п)=ап-. |
При этом априорная |
вероятность |
тоже |
|||||
гауссовская (N(a, |
аа2) |
со средним |
а и дисперсией <т02). |
|
|
|||||
|
Найдем оценку |
*=а*. Так как среднее отношение правдоподобия |
может |
|||||||
быть получено в |
виде |
|
|
|
|
|
||||
7 |
|
|
|
|
|
|
Л= — го
е Х Р ( - - 2 ^ Г " 3 )
6?
fd, взяв логарифм Д> а затем производную, получим
J_ dA _ g03 + an°a _ а* |
где л * = |
(2.3.24) |
||
Л du |
~ W + a 0 ! ! ) ^ ~ " i 7 ' |
|||
|
|
что и подтверждает сделанные выше выводы, справедливые не только для одномерного представления,
Проведенное рассмотрение позволяет сделать ряд необходи мых выводов:
1. Критерии подобия могут быть получены как при извест ных уравнениях для каждого ФЭ, на которые разбита модели руемая система! так и при неизвестном уравнении, но известной (достаточной) априорной информации.
2.Критерием достаточности является такое количество ин формации,, которое обеспечивает получение автомодельности избранной структурной схемы разбиения. Заметим, что здесь под информацией понимается то количество сведений, которое опре деляется информационной мерой Хартли, зависящей от числа состояний моделируемого ФЭ.
3.При определении критериев подобия на. основании экспе риментальных данных можно осуществлять статистическую обра ботку наблюдений каждого из параметров (входящих в данный критерий), с последующим определением и использованием функ ций распределения самих критериев. Такой путь не является обязательным, поэтому предпочтительней критериальная обра ботка, т. е. выдача результатов непосредственно в виде избран ных критериев. Поскольку таковыми могут быть обобщенные критерии, например АЧХ и ФЧХ, или вероятность ошибки Р и другие, то их и следует подвергать процедуре оценки.
Если имеются обоснованные предположения о нормальности распределения ошибок, то наилучшей стратегией моделирования, позволяющей получить наименьшие среднеквадратические по грешности, является усреднение результатов наблюдения, а сле довательно, и использование средних частных или обобщенных критериев подобия.
Если такой уверенности нет (а ее можно получить и с по мощью специальных моделей обработки) * ) , то необходимо ис пользовать оценки самих критериев, получаемых, например, по функциям правдоподобия или апостериорным плотностям их распределения. При использовании, быстродействующих ЦВМ следует применять в моделях сами функции распределения кри териев, так как в этом случае обеспечивается строгое, а не услов ное статистическое подобие.
*) Интересные результат» в указанной области получены Ю. А. Бухарцевым, разработавшим алгоритм определения частотных характеристик при наличии случайных отклонений первичных элементов схем (так называемый АСМЭЦ). •
Г Л А В А 3
МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КАНАЛА СВЯЗИ
В главе представлены модели лишь некоторых функциональ ных блоков системы связи, выбранных исходя из необходимости:
1)возможно краткой иллюстрации принципов построения моделей ФЭ;
2)освещения тех сторон моделирования канала связи, кото рые по тем или иным причинам не были представлены ранее [2].
Программы моделей из-за громоздкости ,не приводятся,' а об суждение алгоритмов осуществляется по укрупненным функцио нальным схемам.
§3.1. Моделирование сигналов и помех
Впервой главе было показано, что для обеспечения подобия •процессов, происходящих в функциональных элементах (ФЭ) си стемы связи, необходимо обеспечить подобие не только электри ческих цепей, но и проходящих через них сигналов и помех. Мно
гообразие форм и нестационарность сигналов я помех делают эту задачу особенно сложной. Если подобие модели сигнала мо жет быть достигнуто подобным отображением формирующего их тракта передатчика, среды и др., то обеспечение подобия помех различного типа (дискретных и непрерывных) возможно осу ществить лишь по их параметрам, определяемым в точке при ема. Поэтому в дальнейшем при моделировании помех буйем иметь дело с условным или даже приближеннымподобием. Од нако и в этом случае целесообразно найти такую модель, кото рая позволила бы использовать однотипный алгоритм получения как сигналов, так и помех на входе приемника. Моделирование сигналов и помех необходимо осуществлять с учетом особенно стей, положенных в основу создания моделей ФЭ системы.
3.1.1. Представление сигналов и помех при функциональном моделировании
В общем случае задача выбора модели сигналов и помех мо
жет быть сформулирована следующим образом. |
|
Необходимо найти такую модель сигнала sM(t), чтобы |
при |
выбранной функции Q оценки близости ее к оригиналу s0(t) |
зна- |
69