Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Кондратьев, С. Л. Применение метода функционального моделирования для оценки помехоустойчивости систем связи

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
20.10.2023
Размер:
8.16 Mб
Скачать

К ним относятся:

 

 

 

 

 

 

 

1. Оценка

по минимуму

среднеквадратичной

погрешности,

по которой

оценка т* выбирается

таким образом,

чтобы

 

 

 

D (Д,) = j

(т-Т*)2 Wa

(T j )

rfT=min.

(2.3.5)

При

этом,

как и ранее,

а качестве оценки

используется сред­

нее

Значение

апостериорного

распределения

 

(2.3.6)

 

 

 

 

1* = !г - Л ( т М | . .

 

 

Выше было показано, что такая оценка является

оптимальной

при

нормальном

распределении. Убедимся,

что эта

обработка

удовлетворяет

 

минимуму

среднеквадратичной

Погрешности,

Возьмем первую

производную

от

дисперсии D (Д,)

и прирав-

няем нулю, а затем найдем вторую производную. Если вторая производная положительная, то действительно, такая оценка обеспечивает минимум среднеквадратичной ошибки. Читателю рекомендуется проделать это самому.

2.Вторая процедура основана на максимизации обратной (апостериорной) вероятности W(i,ju), т . е . на выборе такой оценки т*, которая доставляет максимум апостериорной ве­ роятности, или, что то же, In WYj/и).

3.Третья процедура основана на максимизации функции правдоподобия И^(и/т)=/(ч), т. е. на выборе такой оценки -f*, которая обеспечивает выполнение равенства:

max IT («/?) = max Щ и / г ) ,

(2.3.7)

либо, так как логарифмирование не смещает максимум, вместо этого равенства можно записать:

max In W(и/г) = max In W(lift*).

(2.3.8)

Обе последние процедуры не единственные,

более того, они

не являются наилучшими, так .как не всегда обеспечивают несме­ щенность и эффективность оценки, а следовательно, и минимум среднеквадратичной погрешности. Это обусловлено тем, что помеха необязательно, является гауссовой и априорная вероят­ ность параметров W(y) необязательно равномерна. Однако в том частном случае, когда .процессы нормальны и априорную вероят­ ность можно полагать равномерной, оценки по этим критериям будут несмещенными и по крайней мере асимптотически эффек­ тивными. Так как на практике нас интересует получение мини­ мальных погрешностей, а это достигается большим отношением сигнала к шуму, то можно воспользоваться тем, что в данных условиях обе процедуры приводят к наилучшим несмещенным оценкам, совпадающим с оценками, полученными по критерию минимума среднеквадратической ошибки. Последнее обусловлено

60

тем обстоятельством, что в асимптотике (т. е. при очень боль­ шом отношении сигнал/шум) распределенияамплитуды, фазы и частоты близки к .нормальным. В частности, обобщенный закон Рэлея становится практически нормальным.

Покажем связь между оценками по максимуму апостериор­ ной плотности и максимуму функции правдоподобия. Восполь­ зуемся для этого формулой Байеса. Функция плотности обратной (апостериорной) вероятности равна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

W(u)

 

 

 

(2.3.9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где

 

W(u/i)—функция

 

правдоподобия

(если.ее

рассматривать

как

функцию

параметра

т), W (и)

и

^(ч)—априорные

плот­

ности

указанных

величин.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Левая часть показывает распределение параметра при усло­

вии,

что на

входе

имеется

некоторое

значение

напряжения

и.

Следовательно, можем записать:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2.3.10)

 

Рассмотрим

два

случая:

 

7 = 7 , —постоянная величина,

 

 

а)

Пусть

f

есть

некоторая

а

поэтому

плотность

вероятности

W(f )

есть 8-функция. Тогда

W ( Y / w ) = £ I

^ ( И / Т ) . Т . е. если

априорное распределение

яв­

ляется' единичной функцией, то определение

оценки по

мак­

симуму

апостериорной

вероятности

 

 

 

 

 

и

функции

правдоподобия

отли­

 

 

 

 

 

чается

на

постоянный

множитель,

 

 

 

 

 

поэтому их использование дает одит

 

 

 

 

 

наковый результат.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

Пусть

априорная

плотность

 

 

 

 

 

вероятности

 

W(f)

равномерна

в

 

 

 

 

 

области

 

Г (f е Г).

Прономируем

 

 

 

 

 

область

Г к

единице:

^-

— 1;

Рис. 22.

 

 

 

 

 

 

 

- i - ->

+

1 .

 

Будем рассматривать случай, когда отношение

сигнала

к

 

шуму

велико,

но

тогда

функция

 

W(«/r)

очень

«узка»

(см.рис. 2.2), т.е. имеет

малую

дисперсию.

 

 

•Отсюда видим, что априорная плотность, если она равно­

мерна,

не

влияет

на качество

оценки,

т. е. все

определяется

функцией правдоподобия. Более того, если даже истинное рас­ пределение W(y) неравномерное, но изменяется медленно, то с хорошим приближением можно не считаться с неравномер­ ностью при условии, что дисперсия параметра и при данном у невелика (т. е. функция правдоподобия очень узка). Однако уже она будет тогда, когда отношение сигнала к шуму оченьвелико. В пределе, когда ^ ° с > ^ э „ , можем делать предположение,

61

что априорное распределение равномерное, так как функция правдоподобия «вырезает» лишь ее узкий участок.

Таким образом, если хотим получить хорошую оценку, а сле­ довательно малую ошибку, то при неизвестном априорном рас­ пределении вполне справедливо предполагать его равномерным (за это расплачиваемся большим с^У^п)-

Покажем теперь, что если функции правдоподобия являются нормальными, то можно воспользоваться всеми 'выводами ([I], гл. 6), т. е. для получения хорошей оценки необходимо использо­ вать те же алгоритмы обработки сигнала с помехой, что и для достижения минимальной вероятности ошибки.

Такими методами являлись обработка сигнала с Шумом согласованными .фильтрами или схемами корреляционной (ин­ тегральной) обработки. Действительно, аналогом выражения функции правдоподобия

Wn (Д„ Д2, .. . , d ^ - J ^ J Y ^ 2 4 ' 2 , (2.3.11)

если за /V считать число отсчетов по Котельникову. N=2FTn, будет функция правдоподобия, рассматриваемая как некоторая функция параметра т (при условии, что сигнал является по­ стоянным, а шум «белым» гауссовским):

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

 

 

Логарифм

этого выражения

 

 

 

 

 

 

(2.3.12)

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I n L

frMn(

i - a ) * )

-

Д - j * i u

W-c&

f ) l 2

^ -

( 2 - З Л 3 )

 

 

 

 

 

 

 

о

 

 

 

 

 

Взяв производную

по

исключим

I n ^ ( у ^ -

j/vjи

н а и

Д е м

значение оценки. Покажем это на примерах.

 

 

 

 

1.

Найдем

оценку

амплитуды

сигнала

при

условии, что

^ У ^ п

велико:

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u(t)=c(t,

 

т ) + » ( 0 .

 

 

 

 

Искомый параметр—амплитуда

а0. Запишем сигнал в виде

 

 

 

 

c(t, т )=а 0 с а (0>

 

 

 

(2.3.14)

где

( 0 = 1 -cos (о)^+<р)—сигнал

с единичной

амплитудой,

т. е.

пронормированный к единице по aQ=^AQ

и известной

фазе ».

Нужно

оценить а0,

наблюдая

напряжение и на интервале Т.

Воспользуемся

выражением

для функции правдоподобия:

 

62

Z ( a ) = A - e x p . - - ^ - | [ к ( 0 - а д ( 0 ] 2 ^ | - (2.3.15)

Возьмем логарифм и заменим истинное значение а0 его оцен­ кой а:

г

\nL(a)=\nk~-~r-^[u(t)-acl(t)Ydti

о

Найдем производную

г

д 1 п

д 1 а

{ а ) = 0 + - f i r J [«(0

-

(0]с ( О Л

и приравняем

ее

нулю:

 

 

 

 

г

 

 

 

~^u(t)cx{t)dt-?~^c*(t)dt=().

 

(2.3.16)

 

 

о

и

 

Отсюда получаем, вводя обозначение энергии единичного сигнала Есвыражение для оценки:

( О с , {t)dt,

(2.3.17)

которое, как и следовало ожидать, сводится к усреднению на интервале с весом. Схема обработки сигнала с шумом с целью получения оптимальной оценки показана на рис. 2.3а и пред­ ставляет собой известную корреляционную схему или эквива­ лентную ей схему с согласованными фильтрами.

Следовательно, чтобы получить оценку амплитуды, а затем использовать ее при выборе оптимального порога (р=Ропт). нужно иметь аппаратуру корреляционного приема,или согласо­ ванный фильтр. Покажем, что в этом случае оценка оказывается несмещенной,' а дисперсия оценки совпадает с той, которую могли получить, используя критерий минимума среднеквадра­ тичной ошибки.

Смещение

оценки

Ь=а0-~а:

т

 

 

 

т

\

 

а=МЧ

l~

|" и (t) с, (t) dt = -gr- j * [aoc, \t)+n

(t)\ ct (t) dt=

 

 

о

j

o

 

_}_

г

-

 

г

 

 

 

 

 

 

- j

aoc, (if) c, (t) dt+^-^n

(t) c, (0 dt=a9,

6=0 . .

63

Выражение для дисперсии оценки получим, воспользовав­ шись ранее найденным выражением (2.3.1):

V = M ( Т * - 1 ) 2 = М ( т * ) 2 - 2 о 0 * + а 0 2 = у И ( т * ) 2 - « о 2 ;

а)

 

 

Схема

 

} \*

1

отсчета.

 

 

 

c,(t)

 

 

 

5)

 

 

 

 

 

 

uCt)

 

Схема

 

 

сравне­

Og

 

 

 

 

ния

 

 

 

Рис. 2.3.

 

 

 

 

м ( т * ) 2 = Л 1 ( а ) 2 = | - 1 - ^uV)ctV)dt\

=

 

 

1

 

1

/ Т

 

\

=

 

 

= ~Ща<?Е1 + -щ

I j

я (*) -с, {t) dtj

 

 

 

г

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 2_

^0

 

 

 

(2.3.18)

 

 

 

 

С

'

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т. е. дисперсия

оценки

пропорциональна спектральной

плот­

ности мощности

шума

и

обратно

пропорциональна

энергии

сигнала. Учитывая, что Ec—EClae2,

 

получаем

- в 2

-

1

 

= — .

Очевидно, чем больше дисперсия амплитуды в момент отсчета, тем больше вероятность получить ошибку обработки.

64

'

2. Оценка

неэнергетических

параметров.

Неэнергетичеокимй

параметрами

являются время

задержки

прихода сигнала tm

фаза ф, частота /. Покажем ход решения при оценке задержки

прихода

сигнала. Поскольку

время

прихода

сигнала каждого

импульса

определяет

момент

отсчета

t0

= t„+kT

в

схемах

опти^

мальнрй

обработки,

то плохая

оценка

tn

приводит

также

к воз-

растанию ошибок решения. Выше было показано, что функция

правдоподобия

равна

 

 

 

 

U (

T ) = f t + ^_

j [ и ( t ) - c (t,

tH)f d?j ,

 

где U (f)—логарифмическая

функция

правдоподобия,

k'=\nk,

а Т— интервал, в пределах

которого

должен появиться

сигнал.

Взяв производную, получим уравнение

правдоподобия:

т

Следовательно, в любом случае необходимо производить корреляционную обработку или обработку согласованными фильтрами. А это означает, что следует ожидать той же за­ висимости дисперсии оценки времени прихода tH от опреде­ ляющих параметров, какая была ранее получена для дисперсии оценки амплитуды. Поэтому имеем [16]:

а 1 = Т ^ Г '

( 2 - З Л 9 )

где (^—коэффициент ширины спектра огибающей радиоим­ пульса, зависящий от формы импульса. Если импульс дли­ тельности тн имеет гауссову форму, то

Р2 =2,8/ти 2 , а при прямоугольной (вернее, близкой к прямоугольной)

 

P 2 ~ 2 F / T H ;

здесь F—полоса

идеального фильтра, через который необхо­

димо пропустить строго прямоугольный импульс, чтобы полу­ чить реальную его форму.

Поскольку время задержки может принимать дискретное значение, оптимальная схема будет иметь вид рис. 2.36.

Если параметр tB непрерывен, что имеет место в реальных

системах,

то необходима напрерывная

система

синхрониза­

ции, т. е.

систему динамической оценки,

которая

выбирала бы

смещение и обеспечивала задержку начала интегрирования каж­ дого импульса, а кроме того, позволяла уменьшить «дрожание»

5 Зак. S02.

G5

момента отсчета на каждбм такте работы, т. е. при обработке каждого импульса.

Реальные системы тактовой синхронизации дают ошибки, что приводит к резкому возрастанию ошибок регистрации каждого импульса. Кроме тактовой, необходимо иметь цикловую синхро­ низацию. Если даже будем правильно определять момент от­ счета на каждом импульсе, то это не означает правильное вос­ произведение сообщения. Действительно, если по каким-либо причинам, например при сильных помехах, произойдет смещение на один такт, то тактовая синхронизация будет работать с этим смещением, что приведет к неправильной выдаче кодовой ком­ бинации, состоящей из элементов двух соседних комбинаций. Поэтому даже при сколь угодно малой ошибке по импульсам вероятность искажения сообщений резко возрастет. Для того, чтобы правильно воспроизводить кодовые комбинации, тре­ буется синхронизация по циклам. Поскольку тактовая и цикло­ вая синхронизация работают во времени совместно и связаны между собой,4 их называют системой синхронизации передаю­ щего и приемного устройств.

Приведем теперь постановку задачи и окончательные резуль­ таты решения по определению передаточной характеристики k(jo) линейной цепи, обеспечивающей минимальную среднеквадратическую погрешность оценки сигнала (фильтр Винера — Колмогорова).

Пусть на вход линейного устройства оценивания (фильтра) поступает напряжение uBX(t)=c(t)-\-n(t), причем сигнал и по­ меха являются стационарными случайными процессами с извест­ ными корреляционными функциями /?с {t) и Rn(t) и функцией взаимной корреляции Rc„{t), не зависящей от начала отсчета времени.

Задача заключается в таком подборе k(jm) или соответ­ ствующей импульсной переходной функции

 

h(t)=-£-

A(/m)e/*'do>,

(2.3.20)

чтобы напряжение на выходе

uBblx(t) удовлетворяло

условию

Нт

(*[«.« (0-*(01"Л=ё^)=т1п.

 

Если не ограничивать решение условием физической реали­

зуемости (h(t)=0 при *<С0), а помеху и сигнал полагать ста­

тистически . независимыми, то фильтр, обеспечивающий наи-

66

лучшее (в указанном смысле) воспроизведение сигнала, доЛ; жен иметь:

<ЛН+Сп(ш)

где Oc (UJ) и С?п ((о)—энергетические спектры сигнала и шума соответственно, получаемые преобразованием Винера —Хин- чина из /?с(^) и R„(i). Среднеквадратическая ошибка при этом равна

Г" Oc (o))Gn (") - dm-.

(2;3.22)

2я J C?c (u))+On w

 

Так как физически реализуемый фильтр может разве что уве­ личить ошибку, то соотношение (2.3.22) определяет ее принци­ пиальную границу.

В заключение данного параграфа рассмотрим возможность использования отношения правдоподобия для нахождения оценки случайной величины и та­ ким образом установим прямую связь между теорией оценивания и теорией обнаружения.

Можно показать, что:

1.Среднее отношение правдоподобия можно выразить только через оценку по минимуму дисперсии.

2.Наоборот, в случае оценки произвольного сигнала, искажённого адди­ тивным гауссовым шумом, оптимальная оценка по минимуму дисперсии есть линейное преобразование логарифма градиента среднего отношения правдо­ подобия.

3.Отношение правдоподобия для произвольного сигнала c ( t ) , искажен­

ного белым гауосовским шумом, «можно выразить в виде

Л = е х р ^ с* {() v(t)dty | с*з(г) dt\ ,

(2.3.23)

где с* (t)—оценка с (t) по минимуму дисперсии при наблюдении u(t) на ин­

тервале 0-5-Тн (полагая,

конечно, что сигнал присутствует), а

специальный

стохастический интеграл

(интеграл Ито).

 

Таким образом, отношение правдоподобия для оценки случайных сигна­

лов имеет тот жевид, что и при оценке известных сигналов,

если вместо не- -

наблюдаемых сигналов подставить их оценку. При этом сама оценка в (2.3.23)

совсем не 'Случайна, поскольку процесс оценивается на всем интервале

и при

всех возможных значениях наблюдаемого -напряжения к.

наблюдается

сигнал

 

Поясним

сказанное

на простом

примере. Пусть

и (t,

7),

где

f—случайная величина,

наблюдаемая совместно с гауссовским

шумом

М {n{t)}=Q, a

D (п)=ап-.

При этом априорная

вероятность

тоже

гауссовская (N(a,

аа2)

со средним

а и дисперсией <т02).

 

 

 

Найдем оценку

*=а*. Так как среднее отношение правдоподобия

может

быть получено в

виде

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

Л= — го

е Х Р ( - - 2 ^ Г " 3 )

6?

fd, взяв логарифм Д> а затем производную, получим

J_ dA _ g03 + an°a _ а*

где л * =

(2.3.24)

Л du

~ W + a 0 ! ! ) ^ ~ " i 7 '

 

 

что и подтверждает сделанные выше выводы, справедливые не только для одномерного представления,

Проведенное рассмотрение позволяет сделать ряд необходи­ мых выводов:

1. Критерии подобия могут быть получены как при извест­ ных уравнениях для каждого ФЭ, на которые разбита модели­ руемая система! так и при неизвестном уравнении, но известной (достаточной) априорной информации.

2.Критерием достаточности является такое количество ин­ формации,, которое обеспечивает получение автомодельности избранной структурной схемы разбиения. Заметим, что здесь под информацией понимается то количество сведений, которое опре­ деляется информационной мерой Хартли, зависящей от числа состояний моделируемого ФЭ.

3.При определении критериев подобия на. основании экспе­ риментальных данных можно осуществлять статистическую обра­ ботку наблюдений каждого из параметров (входящих в данный критерий), с последующим определением и использованием функ­ ций распределения самих критериев. Такой путь не является обязательным, поэтому предпочтительней критериальная обра­ ботка, т. е. выдача результатов непосредственно в виде избран­ ных критериев. Поскольку таковыми могут быть обобщенные критерии, например АЧХ и ФЧХ, или вероятность ошибки Р и другие, то их и следует подвергать процедуре оценки.

Если имеются обоснованные предположения о нормальности распределения ошибок, то наилучшей стратегией моделирования, позволяющей получить наименьшие среднеквадратические по­ грешности, является усреднение результатов наблюдения, а сле­ довательно, и использование средних частных или обобщенных критериев подобия.

Если такой уверенности нет (а ее можно получить и с по­ мощью специальных моделей обработки) * ) , то необходимо ис­ пользовать оценки самих критериев, получаемых, например, по функциям правдоподобия или апостериорным плотностям их распределения. При использовании, быстродействующих ЦВМ следует применять в моделях сами функции распределения кри­ териев, так как в этом случае обеспечивается строгое, а не услов­ ное статистическое подобие.

*) Интересные результат» в указанной области получены Ю. А. Бухарцевым, разработавшим алгоритм определения частотных характеристик при наличии случайных отклонений первичных элементов схем (так называемый АСМЭЦ). •

Г Л А В А 3

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КАНАЛА СВЯЗИ

В главе представлены модели лишь некоторых функциональ­ ных блоков системы связи, выбранных исходя из необходимости:

1)возможно краткой иллюстрации принципов построения моделей ФЭ;

2)освещения тех сторон моделирования канала связи, кото­ рые по тем или иным причинам не были представлены ранее [2].

Программы моделей из-за громоздкости ,не приводятся,' а об­ суждение алгоритмов осуществляется по укрупненным функцио­ нальным схемам.

§3.1. Моделирование сигналов и помех

Впервой главе было показано, что для обеспечения подобия •процессов, происходящих в функциональных элементах (ФЭ) си­ стемы связи, необходимо обеспечить подобие не только электри­ ческих цепей, но и проходящих через них сигналов и помех. Мно­

гообразие форм и нестационарность сигналов я помех делают эту задачу особенно сложной. Если подобие модели сигнала мо­ жет быть достигнуто подобным отображением формирующего их тракта передатчика, среды и др., то обеспечение подобия помех различного типа (дискретных и непрерывных) возможно осу­ ществить лишь по их параметрам, определяемым в точке при­ ема. Поэтому в дальнейшем при моделировании помех буйем иметь дело с условным или даже приближеннымподобием. Од­ нако и в этом случае целесообразно найти такую модель, кото­ рая позволила бы использовать однотипный алгоритм получения как сигналов, так и помех на входе приемника. Моделирование сигналов и помех необходимо осуществлять с учетом особенно­ стей, положенных в основу создания моделей ФЭ системы.

3.1.1. Представление сигналов и помех при функциональном моделировании

В общем случае задача выбора модели сигналов и помех мо­

жет быть сформулирована следующим образом.

 

Необходимо найти такую модель сигнала sM(t), чтобы

при

выбранной функции Q оценки близости ее к оригиналу s0(t)

зна-

69

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ