книги из ГПНТБ / Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем

хц — результат і-го опыта для /-го управляющего фактора в момент / = t6\ Уі — результат г-го опыта для управляемого фактора в мо­ мент времени t = t§. Анализируя полученные нелинейные математи­ ческие модели для дискретных значений времени / = /0; I — tx;

Следовательно, исследуемая нами сложная многомерная система является динамической и поэтому математическое описание данного процесса с помощью приближенного уравнения регрессии с постоян­ ными коэффициентами не соответствует реальности. При помощи полученных последовательных приближенных уравнений регрессии с постоянными коэффициентами можно приближенно описать от­ дельные дискретные состояния рассматриваемой многомерной систе­ мы. Что касается полного математического описания динамического процесса, то здесь необходимо изучение системы неизвестных функ­ ций (3.33).

Для исследования системы неизвестных функций (3.33) можно использовать метод интерполирования, заключающийся в следую­ щем. Под интерполированием понимается отыскание значений функ­ ции, соответствующих промежуточным значениям аргумента. Иначе говоря, речь идет об отыскании аналитического выражения для мно­ гочлена, принимающего в заданных точках заданные значения функ­ ции. Такую задачу называют задачей параболической интерполя­

82

Как известно, этот многочлен можно представить в виде суммы многочленов (интерполяционный многочлен Лагранжа)

которая после преобразования примет вид

K = 0 П (**-*„)

1 = 0

ции, описывающей неизвестные коэффициенты динамической модели, можно представить в виде многочлена (3.36):

Итак, полученная математическая модель может характеризо­ вать исследуемый сложный многомерный процесс во времени. За­ даваясь дискретными значениями t = t0, t = ..., t — U, как частный случай, можно получить последовательные модели, описы­ вающие дискретное состояние исследуемого процесса.

84

Полученная сложная многомерная динамическая модель имеет большое практическое значение. С ее помощью можно предсказать последующие состояния сложной многомерной информационной си­ стемы.

Если изменение состояний многомерной информационной систе­ мы обусловлено не изменением времени, а некоторым изменением параметра, то совершенно аналогично можно построить математиче­ скую модель, учитывающую изменения данного параметра. В этом случае математическую модель, описывающую состояние многомер­ ной информационной системы, будем называть параметрической.

4.Автоматический синтез наплучшей математической модели многомерных систем

В§ 1 данной главы показано, что при монотонном нарастании степе­ ней свободы математической модели при применении метода ее по­ следовательных усложнений все более существенной становится погрешность, вносимая размерностью модели. Легко заметить, что скорость нарастания оценки погрешности, вносимой степенью свобо­ ды, прямо пропорциональна скорости роста степени свободы матема­ тической модели изучаемого объекта.

При моделировании многомерных сложных систем с помощью метода последовательного усложнения математической модели ошиб­ ка аппроксимации растет быстрее, чем точность аппроксимации. Поэтому область применения метода последовательного усложнения математической модели для описания сложных многомерных систем весьма ограничена. Следовательно, разработка метода определения этой области при исследовании сложных многомерных информацион­ ных систем приобретает большое теоретическое и практическое зна­ чение. Метод поиска адекватной модели в случае многомерных систем может базироваться, так же, как и для случая моделирования одномерных систем, на критерии Фишера.

Вначале рассматривается линейная многомерная модель

С целью сопоставления при помощи метода последовательных усложнений модели строится более сложная модель исследуемого процесса

у » = й4,, + *і,,х 1+ ••• + ь " )х п + ь?)х \ + ьЧ)х \ + ... + é M

Выбор лучшей из этих двух последовательных моделей произво­ дится при помощи критерия Фишера

<р .

Dn

Вслучае удовлетворения критерию Фишера последняя более сложная модель считается лучшей, а предыдущая — худшей. Затем рассматривается следующая, еще более сложная модель

Аналогично эти две модели сопоставляются при помощи критерия Фишера, т. е.

D ,

D < -Г і-г5.

Процесс продолжается до тех пор, пока не обнаружатся наруше­ ния критерия Фишера, после чего процесс усложнения модели оста­ навливается и предпоследняя модель считается наилучшей. Эта модель и принимается в качестве математической модели исследуе­ мой многомерной системы.

Процесс поиска наилучшей математической модели для описания сложных многомерных систем в общем виде можно представить так. Рассматриваются две последовательные модели

/ _1) = ь0 + 2 т а + 2 т а * . . . + 2

86

Г л а в а 4. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

1.Синтез динамической модели одномерной системы

Впредыдущей главе изложены методы моделирования одномерных систем, базирующиеся на теории случайных величин. Описаны так­ же методы автоматического поиска наилучшей модели для описания сложных одномерных процессов, а для учета изменения состояний исследуемой системы во времени предложены методы параболиче­ ской интерполяции.

Наряду с достоинствами изложенные методы исследования слож­ ных одномерных систем имеют ряд недостатков, связанных с точ­ ностью аппроксимации.

Алгоритм определения динамических характеристик случайного процесса. Изучение случайного процесса на основе законов случай­ ных величин является приближенным и не дает никаких представ­

лений о состоянии системы во времени. Всякий случайный про­ цесс — это сложный динамический процесс, для описания которого, как нам кажется, целесообразно пользоваться понятием случай­ ных функций, более широким, чем понятие случайной величины. Теория случайных функций с успехом применяется для описания сложных динамических процессов в технике, физике и т. д. [15].

Рассмотрим случайный процесс, подчиняющийся законам теории стохастических процессов. При изучении динамики весьма важен анализ отклонений, аналогичных отклонениям в процессах управле­ ния, неизбежно возникающих в условиях непрерывно воздействую­ щих случайных возмущений. По своей природе они являются слу­ чайными функциями. Для того чтобы рационально выбрать кон­ структивные параметры воздействия на выход системы, необходимо изучить ее реакцию на случайные возмущения. Предположим, что значения параметров в данный момент времени изменяются во вре­ мени как случайная величина, а ход процесса — как случайная функция. Пусть в течение определенного промежутка времени произ­ ведено п независимых испытаний над определенным процессом и в ре­

Таким образом, каждое испытание обращает исследуемый процесс

ние случайной функции можно с некоторым приближением заменить

88

рассмотрением динамически изменяющейся системы случайных вели­ чин. По мере увеличения количества испытаний над исследуемой системой замена становится все более и более точной.

Нетрудно заметить, что для случайной функции можно построить некоторые вероятностные характеристики, аналогичные законам распределения. Однако практическое использование в качестве ве­ роятностных характеристик функций распределения многих пере­ менных становится неудобным. Поэтому закон распределения слу­ чайной функции многих переменных целесообразно записать чисто формально в какой-либо символической форме, а для решения прак­ тических задач лучше всего пользоваться числовыми характеристи­ ками случайной функции.

Аппарат числовых характеристик — весьма гибкий и мощный, он позволяет сравнительно просто решать многие практические задачи. Числовыми характеристиками случайных функций в общем случае являются не числа, а функции.

Математическое ожидание случайной функции X (t) определяется

Таким образом, математическим ожиданием случайной величины X ( у называется неслучайная функция тх (t), которая при каждом значении t = tk равна математическому ожиданию соответствую­ щего сечения случайной функции. Аналогично, дисперсия случайной функции

Dx(t) = D[% (/)].

ох (0 = ± V D x(i).

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются важными характеристиками случайной функ­ ции, однако для описания основных особенностей этой функции их недостаточно. Действительно, изменения случайной функции во времени зависят от предыдущих состояний, т. е. значения случайной функции X (t) = X (t = у зависят от значения X (t) — X (t — tk - 1). С помощью изложенных выше численных характеристик подобные зависимости оценить невозможно. Следовательно, кроме этих необ­ ходимо ввести в рассмотрение другие численные характеристики для того, чтобы выявить закон зависимости между переходными состояниями. Одной из подобных характеристик является корреля­ ционная функция, характеризующая степень зависимости между сечениями случайной функции

Х(/ = У =Д [ Х (/ = /,_,)];

89

Числовые значения корреляционной функции определяются так:

Кг (4, 4+1) = М {[X (4) — гпг (4)] [X (4+і) — ni%(4+i)]} •

Если в этом соотношении положим tk — 4+ 1, то получим

Кг (4- 4) = М {[X (4) - тг (4)] [X (tk) - тг (4)1} =

= /И {[X (4) тг (4)]2} = Ог (4),

где

Кг (4. 4) = D%(4).

т. е. корреляционная функция обращается в дисперсию. Следова­ тельно, дисперсионную функцию можно не вычислять как отдельную численную характеристику случайной, а ограничиться вычислением математического ожидания корреляционной функции случайной функции. Что касается дисперсионной и среднеквадра­ тической функций, то их легко вычислить из полученной корреля­ ционной функции:

К>г (4-) = Кг (4> 4)>

°х (4) = ± V K x (tktk).

Итак, корреляционная функция является универсальным чис­ ленным показателем для случайной функции. Вместо корреляцион­ ной на практике часто пользуются нормированной корреляционной функцией вида

Kx (tk, 4+0

гг (4. 4+0 = аг (4) <4 (4+0

Синтез динамической модели. Принцип детерминации модели системы состоит в следующем. Пусть выход системы описывается не­ которой случайной функцией, заданной в виде канонического разло­ жения [15]

Пусть также выход системы изменяется под действием некоторой входной случайной функции, заданной своими каноническими разло­ жениями в виде

i=i

где V(, wt — случайные величины с нулевыми математическими ожи­ даниями; ф, (t), 4 (t) — координатные функции.

В этом случае корреляционная и дисперсионная функции опре­ деляются следующим образом:

90

то корреляционная дисперсионная функция определяется проще.

Следовательно, зная каноническое разложение случайных функ­ ций %(і) и г] (/), можно непосредственно определить их корреляци­ онные и дисперсионные функции.

Определим взаимосвязь выхода системы со входом через опера­ тор L:

где L — некоторый оператор, подлежащий определению. Подставляя каноническое разложение случайной функции щ (1)

91