книги из ГПНТБ / Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем

Число Fi_r берется из специально разработанных таблиц по за­ данному уровню значимости и степени свободы.

Если удовлетворяется условие (3.16), то последняя математи­ ческая модель считается лучше предыдущей, поэтому принима­ ется решение оставить последнюю модель как лучшую аппроксима­ цию по сравнению с предыдущей. Далее разрабатывается более сложная модель с соответствующей оценкой точности аппроксима­

Эта модель анализируется аналогичным образом по критерию Фишера

В зависимости от выполнения или невыполнения этого неравен­ ства принимается решение о выборе данной модели. Поиск адекват­ ной математической модели продолжается до тех пор, пока отноше­ ние дисперсий не выходит за пределы критерия Фишера. В общем случае критерий Фишера применяется для двух соседних моделей:

Появление отклонения отношения последующих дисперсий от критерия Фишера свидетельствует о том, что последующие услож­ нения математической модели не приводят к цели. В таком случае последующее увеличение степени свободы математической модели выводит ошибку из области допустимых значений. Поэтому адекват­ ной для описания исследуемого процесса принимается k-я матема­ тическая модель, а последняя k + 1-я модель отбрасывается как худшая чем предыдущая.

Из сказанного очевидно, что применение метода последователь­ ного усложнения математической модели целесообразно в тех слу­

71

большим и выражение т — I будет медленно стремиться к нулю. Следовательно, при малом количестве экспериментальных данных этот метод не позволяет получить математическую модель с тре­ буемой степенью точности аппроксимации.

2.Синтез линейных и нелинейных математических моделей многомерных систем

Постановка задачи. Исследователи часто сталкиваются с явлениями, которые абстрактно можно представить в виде сложной взаимосвя­ занной многомерной системы. Изучение подобных многомерных си­ стем методами математического моделирования представляет боль­ шой интерес и является весьма перспективным.

Пусть требуется исследовать сложный процесс, описываемый взаимодействиями некоторых факторов, и в общем виде зависящий от времени и параметра. Предположим, что механизм организации взаимодействия неизвестен, известны лишь состояния управляющих и управляемых факторов. Не касаясь сложных механизмов органи­ зации взаимосвязи управляющих и управляемых факторов, пред­ ставим их взаимоотношения при помощи «черного ящика».

Пусть известны значения управляющих факторов

Дискретные состояния управляемых факторов

Выходные значения системы формируются вследствие интеграль­ ных воздействий управляющих факторов. Пусть механизм взаимо­ действия выхода и входа системы описывается некоторым пока не­ известным оператором L:

Оператор L может быть выбран из любого класса операторов в зависимости от природы исследуемого процесса. Что касается управ­ ляющих и управляемых факторов, то они в общем виде могут зави­ сеть от времени и от различных других параметров.

В последующем изложении попытаемся описать функционирова­ ние данной многомерной системы в некоторых предположениях. Здесь мы рассмотрим некоторое фиксированное дискретное состоя­ ние управляющих и управляемых факторов:

при t = tk

Как легко заметить, в этих предположениях динамическая зада­ ча сводится к статической. Таким образом, сложная динамическая задача вначале разрешается в более простом варианте — статике.

Рассмотрим определение оператора L, взятого из некоторых классов.

72

Моделирование многомерных систем с помощью линейных опе­ раторов. Здесь мы не будем рассматривать взаимодействие управ­ ляющих факторов, так как в предыдущем параграфе изложены ме­ тоды исследования взаимных влияний отдельных факторов. Однако описанные алгоритмы не позволяют изучить одновременное влияние управляющих факторов на выход системы. Далее будем предпола­ гать, что дифференциальное влияние управляющих факторов мож­ но рассматривать как пропорциональное и одновременное влияние всех управляющих факторов, и тогда интегральный выход системы в первом приближении представим в виде

Таким образом, линейный оператор, описывающий дискретное состояние сложной многомерной системы, имеет вид линейного при­ ближенного уравнения регрессии.

Для определения неизвестных коэффициентов приближенного

уравнения регрессии bt (I = 0, п) воспользуемся методом наимень­ ших квадратов, который требует минимизации функционала

(3.19)

Как известно из теории вариационного исчисления, это условие минимизации функционала достигается при

Раскрывая систему (3.20), получим систему неоднородных ли­ нейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэф­

фициентов bt (і = 1, п) приближенных уравнений регрессии (3.18). Запишем эту систему в матричной форме:

73

Далее, для определения неизвестных коэффициентов воспользу­ емся одним из численных методов. Тогда получим

Ъ= A~ld.

Подставляя найденные значения коэффициентов bt (і = 0, п) в приближенное уравнение регрессии (3.18), получим математическую модель исследуемой системы.

Точность аппроксимации исследуемой системы оценивается сте­ пенью разбросанности (дисперсией) экспериментальных точек отно­ сительно данной гиперплоскости (см. формулу (3.18))

где I — степень свободы исследуемой системы.

Как известно, при моделировании многомерных систем прихо­ дится оперировать различными факторами, имеющими разные единицы измерения. Поэтому целесообразно определение безразмер­ ной математической модели, так как она легко анализируется. Мож­ но также вывести рекуррентные соотношения, позволяющие пере­ ход от безразмерной модели к размерной. С этой целью вместо компо­ нент исходных факторов вводятся централизованные (безразмерные) компоненты в виде

(3.23)

где

т т

т

2[Ух — Му?

т—I

Вэтих централизованных компонентах уравнение приближен­ ной регрессии имеет вид

74

Для определения неизвестных уравнений регрессии ß/ (J — 1, п) также воспользуемся методом наименьших квадратов, который при­ водит к минимизации функционала вида

Условия минимизации следующие:

Раскрывая их, получим систему линейных неоднородных алгеб­ раических уравнений относительно неизвестных коэффициентов

Внося найденные неизвестные коэффициенты в приближенное уравнение регрессии (3.24), находим безразмерную математическую модель для описания исследуемой многомерной системы. Здесь также для оценки точности аппроксимации примем меру рассеянности экспериментальных точек относительно гиперплоскости, описывае­ мой уравнением (3.24)

Итак, моделирование многомерных систем с помощью линейных операторов в классе регрессионного анализа приводит к составлению и решению системы неоднородных алгебраических систем уравнений

75

п-го порядка. Однако линейная аппроксимация многомерных слож­ ных систем с помощью линейных операторов не всегда дает требуе­ мую степень точности аппроксимации. Поэтому необходимо разра­ ботать алгоритмы, позволяющие получить математическую модель исследуемой многомерной системы повышенной точности.

Алгоритм моделирования многомерных систем с помощью нели­ нейных операторов. Функционирование многомерных информацион­ ных систем обуславливается сложными дифференциальными и ин­ тегральными взаимодействиями управляющих и управляемых фак­ торов. Поэтому линейные операторы часто не в состоянии отразить всю полноту сложных взаимодействий факторов, и для раскрытия особенностей исследуемого явления необходимо использовать до­ вольно сложные нелинейные операторы. Поиск нелинейных опера­ торов для описания сложных многомерных информационных систем требует разрешения ряда сложных математических задач. Нелиней­ ный оператор в общем виде можно представить так:

Для оценки точности аппроксимации можно принять критерий

где b\b), ßij, Cluj — неизвестные коэффициенты приближенного уравнения регрессии.

Далее, для определения неизвестных коэффициентов прибли­ женного уравнения регрессии воспользуемся методом наименьших квадратов, который требует минимизации функционала

i<l<l=3

(3.28)

76

Из условия минимума функционала (3.28) получим систему линейных неоднородных алгебраических систем относительно неиз­

ft=l

Далее, решая систему (3.29) с помощью численных методов, получим

77

78

80

Компоненты вектора б вычисляются при помощи приведенных выше соотношений. Используя найденные численные значения ко­ эффициентов приближенного уравнения регрессии (3.24), по­ лучим математическую модель исследуемой сложной многомерной информационной системы.

3.Введение времени или параметра в модель многомерных систем

Вприроде почти нет явлений, свободных от элемента динамичности. Всякий исследуемый процесс, особенно для многомерных информа­ ционных систем, в определенной мере также содержит элементы ди­

намичности. Математическое моделирование динамических процессов имеет ряд трудностей. Из-за сложности исследования в основном приходится ограничиваться изучением динамических процессов в отдельные (дискретные) моменты времени. Получив таким образом некоторое представление для фиксированного момента времени, мы стараемся сделать обобщение для последующих моментов.

Достоверность обобщений необходимо подтвердить эксперимен­ тально. Как известно, предсказание на базе предыдущих результа­ тов часто опровергается экспериментальными проверками. Поэтому разработка методов получения динамической модели для описания сложных многомерных динамических систем представляет большое теоретическое и практическое значение.

Пусть над исследуемой многомерной системой произведено до­ статочное количество испытаний в каждое дискретное значение мо­ мента времени,'и при помощи описанных выше методов моделирова­ ния получен ряд математических моделей для описания состояния многомерной системы в соответствующие моменты времени:

для момента времени t — t0