книги из ГПНТБ / Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем

Г л а в а 3. МЕТОДЫ СИНТЕЗА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

1.Синтез математических моделей одномерных систем

Алгоритм определения веса влияющих факторов. Исследование мно­ гомерной системы с помощью методов математического моделирова­ ния приводит к решению сложных математических задач. В связи с этим перед исследователем естественно возникает мысль о поиске методов упрощения математической модели без ущерба для основ­ ного содержания рассматриваемого явления.

Как известно, степень сложности математической модели в ка­ кой-то мере обусловлена степенями свободы рассматриваемой много­ мерной системы. Следовательно, уменьшение степеней свободы исследуемой системы является одним из источников упрощения мате­ матической задачи определения математической модели рассматрива­ емой системы. Вместе с тем, всякое снижение степеней свободы у ис­ следуемой системы приводит к ухудшению качества математической модели, т. е. модель становится неточной и не полностью отража­ ет реальность. Однако роль каждого фактора в процессе формирова­ ния исследуемого процесса различна, т. е. каждый фактор, который является отдельным элементом большой системы, по-разному воз­ действует на выходную функцию большой системы. Следовательно, критерий оценки веса каждого фактора должен строиться так, чтобы можно было получить количественный показатель оценки веса каж­ дого фактора в многомерной системе.

В природе большинство рассматриваемых многомерных систем обусловлено случайными процессами. Поэтому выдвигаемый крите­ рий оценки веса влияния каждого фактора должен быть построен на основе законов случайности, что сильно усложняет процесс выработ­ ки критериев.

Одной из распространенных в практике теорией случайных про­ цессов является теория корреляции. Сущность этой теории заключа­ ется в следующем. Пусть задан случайный процесс, описываемый случайной величиной Y, значения которой обусловлены влиянием случайных величин

X » Хя, х а, х п.

Будем считать распределения этих случайных величин извест­ ными и подчиненными нормальному закону. Взаимосвязь случай­ ных величин исследуем по принципу «черного ящика». Иными слова­ ми, на интегральное воздействие факторов, описываемых случайными величинами

61

«черный ящик» отвечает определенной реакцией, описываемой слу­ чайной величиной

Механизм организации реакции «черного ящика» на внешнее воз­ действие остается неизвестным. Задача состоит в раскрытии функ­ ционального механизма организации реакции «черного ящика» на внешние раздражения.

Пусть мы располагаем достаточной информацией, характеризую­ щей влияние факторов, а также значением выхода, который легко установить экспериментально. В этом случае по критерию оценки веса влияющих факторов можно выбрать коэффициенты корреля­ ции, характеризующие взаимоотношения каждого соответствующе­ го влияющего фактора с реакцией системы. Для описания методов корреляционного анализа предположим, что для изучения механиз­ ма организации реакции «черного ящика» на различные воздействия произведено т экспериментов при одинаковых условиях. Результа­ ты экспериментов сведены в табл. 10.

Т а б л и ц а 10. Результаты экспериментов

В первом столбце указаны номера опытов, во втором приведена соответствующая реакция «черного ящика», фиксированная в соответ­ ствующем эксперименте. В последующих столбцах помещены при­ даваемые каждому фактору значения раздражений соответственно в каждом эксперименте. Например, значение у является количест­ венным изображением реакции «черного ящика» на интегральное раз­ дражение влияющих факторов в /-м эксперименте, а х^ — количе­ ственным значением раздражения, вносимым і-м фактором в у'-м эксперименте.

Далее предположим, что все результаты эксперимента описыва­ ются случайными величинами и законы распределения их подчинены нормальному закону распределения. Из теории вероятности извест­ но, что если основные численные характеристики случайных вели-

62

чин подчинены нормальному закону распределения, то они опреде­ ляются проще:

Аналогично определяется среднеквадратическое отклонение

au = V D (у)

Приведенные показатели являются основными характеристика­ ми соответствующих случайных величин, однако они не могут харак­ теризовать взаимоотношения случайных величин.

Для изучения взаимоотношения исследуемых случайных вели­ чин необходимо рассмотреть другие характеристики, отличающиеся от указанных выше. Одной из таких численных характеристик яв­ ляется соотношение

тт

kyxi — ДГ £ Уі ~ ДГ S Уі Хі‘ ---- т £ ХП и ~ 1>я).

называемое коэффициентом корреляции. Эта величина в определен­

Однако с помощью коэффициента корреляции нельзя количест­ венно оценить силу или слабость корреляции этих случайных вели­ чин. Он указывает лишь на тесноту их связи. Коэффициент корреля­ ции — это показатель степени сложности законов зависимости меж­ ду двумя случайными величинами. Следовательно, он не может быть хорошим показателем для оценки веса влияющих факторов. Поэто­ му критерием оценки веса влияющих факторов необходимо вы­ брать другую численную характеристику. Для этого рассмотрим закон, устанавливающий взаимосвязь между двумя случайными

63

аi ß так, чтобы выражение

тт

ветствующим параметрам а и ß.

Далее, раскрывая систему (3.3), получим систему линейных не­ однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных

64

При этих обозначениях (3.2) перепишем в виде

Решая систему (3.5) относительно неизвестных а и ß, получим

R = А~1Ь,

Внося найденные значения в приближенное уравнение регрес­ сии (3.2), получим

Оценим степень приближенности уравнения регрессии (3.6); вы­ числим дисперсию, т. е. усредненное суммарное значение квадрата отклонений точек от найденной прямой:

где I — степень свободы (в данном случае I — 2).

Введем в рассмотрение показатель силы корреляции, являющий­ ся количественной характеристикой коррелированное™ исследуе­ мых случайных величин:

Если значение £ близко к нулю, то можно сделать вывод о том, что между случайными величинами Y и X,- существует сильная корре­ ляционная связь, в противном случае, если £ ->■ 1, то между ними су­ ществует слабая корреляционная связь. Это и есть основной критерий оценки веса влияющих факторов. Из сказанного ясно, что примене­ ние приведенных методик для выделения основных факторов с боль­ шим весом влияния сопряжено с определенной трудностью в вы­ числениях. Поэтому изложенные алгоритмы мы запрограммировали для решения на современных ЭЦВМ.

Синтез однопараметрической математической модели. Описание закономерностей влияния случайной величины на формирование другой случайной величины с помощью линейной аппроксимации достигается не всегда с желаемой точностью. Однако степень точ­ ности аппроксимации можно повысить последовательным услож­ нением математической модели [14 J. С этой целью вначале рассмат­ ривается самая простая аппроксимационная математическая модель

где by, by — неизвестные коэффициенты.

Приближенное уравнение регрессии находится методом наимень­ ших квадратов, который сводится к определению элементов обрат­ ной матрицы А~1, т. е.

Ъ= Л '1 С,

Далее, подставляя найденные значения Ьг и Ь2 в приближенное уравнение регрессии, получим простейшую математическую модель исследуемого явления. Для определения степени точности аппро­ ксимации изучаемого процесса с помощью полученной простейшей

i=1

Если найденные по формуле (3.9) численные значения дисперсии будут лежать в пределах ошибки, то это является достаточным основанием для заключения о том, что наилучшим описанием иссле­ дуемого процесса есть описание с помощью простейшей линейной модели.

Опыт многочисленных исследователей показывает, что явления, описываемые случайными величинами, не всегда молшо достаточно точно аппроксимировать с помощью линейной модели. Внутренняя организация взаимосвязи этих случайных величин довольно слож­ ная, и поэтому для раскрытия механизма ее необходимы более слож­ ные аппроксимационные математические модели.

Известно, что последовательным усложнением аппроксимацион­ ной математической модели изучаемый случайный процесс можно описать с требуемой степенью точности. Вместе с тем, последова­ тельное усложнение модели требует выполнения непрерывно нара­ стающего количества вычислительных работ.

Алгоритмы поиска наилучшей аппроксимационной математиче­ ской модели можно построить по принципу: от наиболее сложной модели к наиболее простой с учетом степени точности описания. Одна­ ко такой алгоритм был бы неэкономичным в смысле объема вычисли­ тельных работ.

Поэтому если линейная модель не достаточно точна для описания

66

В этом случае количество неизвестных коэффициентов прибли­ женного уравнения регрессии становится больше, чем в линейной модели, что приводит к усложнению решаемых математических за­ дач, связанных с матрицей третьего порядка

Далее проверяется точность аппроксимации с помощью диспер­ сии

Аналогично принимается решение о применимости данной мате­ матической модели для описания исследуемого случайного процес­ са, если численное значение дисперсии D2 заключено в пределах ошибки опыта. Если же последнее превышает заданную ошибку, то аппроксимационная математическая модель усложняется введением в нее нового нелинейного члена в виде

Данная уточненная модель требует определения еще большего количества неизвестных коэффициентов приближенного уравнения регрессии. Задача отыскания этих неизвестных коэффициентов ста­ новится более сложной, чем в предыдущей модели и требует исполь­ зования матрицы четвертого порядка

‘С,

Далее, внеся найденные значения коэффициентов приближенного уравнения регрессии Ьъ Ь2, Ь3, 64 в уравнение (3.13), получим мо­ дель исследуемого процесса. Для оценки точности аппроксимации

X = 1

Продолжая таким образом процесс последовательного усложне­ ния математической модели изучаемого случайного процесса с тре­ буемой степенью точности, приходим к модели, которую в общем ви­ де можно представить так:

Задача определения коэффициентов blt b2, Ьа, ..., Ьп, Ьп + 1 приближенного уравнения регрессии (3.14) требует уже проведе­ ния операции с матрицей п -f- 1-го порядка

Ь = А-'С,

где

Сп

_ Сп+1_

= 1, л -f- 1; 8 — 1, п).

Для оценки степени точности аппроксимации получим алгоритмвычисления дисперсии в общем виде:

Легко заметить, что каждое последующее усложнение матема­ тической модели приводит к увеличению порядка системы неодно­ родных алгебраических уравнений, составленной при помощи ме­ тода наименьших квадратов, относительно неизвестных коэффи­ циентов уравнений регрессии. Из последовательности алгоритмов вычислений очевидно, что процесс усложнения аппроксимационной модели получается при помощи почти однообразных алгоритмов вы­

68

числений. Сохранение однородности структуры алгоритмов полу­ чения все более усложняющейся модели является одним из основ­ ных преимуществ данного метода моделирования сложных процес­ сов. Однородность алгоритмов построения модели и ее доступность матричному описанию позволяет широко внедрять современные ЭЦВМ для изучения самых различных сложных случайных про­ цессов.

Наряду с названным выше достоинством описанный метод по­ иска закономерностей исследуемого явления имеет и недостаток. Дело в том, что в алгоритм вычисления дисперсии (3.15) входит параметр I, указывающей на степени свободы системы. В процессе последова­ тельного усложнения математической модели этот параметр увели­ чивается и поэтому соотношение т — I все более приближается к

нулю. Следовательно, множитель стоящий перед суммой, бу­

дет стремиться к бесконечности. При этих предельных значениях дисперсия обратится в бесконечность:

в том, что с математической точки зрения последовательные усложне­ ния модели должны были бы обеспечить монотонное понижение по­ следовательных значений дисперсии, т. е.

Dl< D 2< D 3< . . . < D „.

Однако монотонное увеличение параметра I приводит к увеличе­ нию дисперсии. Такое несоответствие, как указано ниже, вполне устранимо.

Итак, последовательное усложнение математической модели для описания исследуемого процесса имеет определенный предел, обу­ славливаемый параметрами т и /.

Алгоритм синтеза адекватной математической модели. Непре­ рывное увеличение степеней свободы модели приводит к монотон­ ному снижению качества оценки точности аппроксимации. Наличие данного недостатка метода не позволяет непрерывно улучшать точ­ ность аппроксимации изучаемого процесса и вынуждает нас огра­ ничиться процессом усложнения модели для определенного преде­ ла параметра I. Это связано с тем, что вносимая параметром I погреш­ ность в оценке точности аппроксимации до определенного значения не превышает заданного предела ошибки. Иными словами, это озна­ чает, что при I С Іг дисперсия

может служить приемлемым критерием оценки точности данной ап­ проксимации.

69

Если I > Zj, то дисперсия становится непригодным критерием оценки точности аппроксимации. Так, в данном случае вносимая в критерий погрешность от увеличения параметра I становится сущест­ венной и выходит за пределы допускаемой ошибки.

Определение предельного значения параметра /, обуславливаю­ щее пригодность критерия оценки точности аппроксимации, являет­ ся одной из трудных задач построения модели. В настоящее время в математике существует ряд способов оценки предельных значений этого параметра. Одним из наиболее часто используемых является способ критерия Фишера [7].

Используя критерий Фишера, можно разработать алгоритм поис­ ка адекватной (наилучшей) математической модели для описания сложных случайных процессов.

Пусть проведено достаточное количество экспериментов над ис­ следуемым объектом и получены данные, характеризующие его дея­ тельность:

Y — Y {Уіг У2! - ■• 1 Ут}>

Xj = X j {X/i, Хуо, . . . , Xjin} (І ~ 1) Д ■

Алгоритм поиска адекватной математической модели с использо­ ванием критерия Фишера состоит в следующем.

Вначале рассматриваются математические модели с соответствую­ щими оценками точности аппроксимации:

k=\

Затем определяется степень улучшения математической модели. Для этого сравниваются полученные численные значения диспер­ сий Dx и Z)2.

Если D2 < Dx, то это свидетельствует об улучшении модели пос­ ле введения в модель аппроксимации нелинейного члена; если же Dj < D2, то необходимы дополнительные исследования по выяс­ нению причины нарастания дисперсии. Как известно, источником нарастания дисперсии является погрешность, вносимая параметром Z, и ухудшение качества аппроксимации. Поэтому наиболее обосно­ ванным критерием принятия решения об адекватности последующих математических моделей есть критерий Фишера. При его использова­ нии составляется отношение двух дисперсий и сравнивается с числом

F\—r'

(3.16)

70