книги из ГПНТБ / Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем

критерий, по которому можно сравнивать между собой работу моделей, имеющих различную структуру, то можно осуществить процедуру автоматического поиска наилучшей и по структуре и по параметрам математической модели. При этом необходимо все же задавать класс функций, в котором ищется математическая модель. Например, мо­ дель может быть задана в классе полиномиальных функций, а кон­ кретный вид полинома и его коэффициенты определяются алгорит­ мом поиска модели и поиска параметров модели. Критерием сравне­ ния моделей может служить, например, сумма квадратов отклоне­ ний от экспериментальных данных или отношение дисперсий. При осуществлении таких процедур следует задавать также критерий, по которому можно было бы осуществить остановку процедуры поиска.

Координаты, которые для данной системы считаются выходными, могут быть связаны между собой и со входными воздействиями за счет внутренних связей подсистем системы. Указанное обстоятель­ ство не влияет на выбор системы функций модели. Именно поэтому функциональная модель не может претендовать на раскрытие ин­ тимных механизмов, действующих в системе. Таким образом, для построения функциональной модели нет необходимости задумывать­ ся над сутью процессов, протекающих в системе. Важно лишь удач­ но подобрать функциональное преобразование входов в выходные координаты.

Функциональные модели используются при изучении различных типов биологических и медицинских систем, от детерминированных до вероятностных. Функциональные модели связаны с аппроксима­ цией качественных свойств и количественных данных изучаемых систем. Примером одной из таких моделей, аппроксимирующей экспериментальные данные и получившей мировое признание, мож­ но назвать модель ионных процессов возбуждения аксона нервной клетки, разработанную А. Ходжкиным и Д. Хаксли [10]. Эта в це­ лом аппроксимационная модель, учитывающая, однако, и некоторые элементарные электрические свойства мембраны нервной клетки, широко использовалась физиологами при изучении процессов воз­ буждения.

Преимущество функциональных моделей оборачивается их не­ достатком при попытках выйти за рамки условий тех экспериментов, на базе которых они построены. В 1965 г. [11] мы с сотрудниками построили функциональную модель потенциала действия нервного ствола, раздражаемого короткими электрическими импульсами. Форма потенциала действия хорошо описывалась решением следую­ щего дифференциального уравнения второго порядка:

где у — потенциал действия; и0— возбуждающий прямоугольный электрический стимул; т — время действия стимула; аг, а0, /г0 — коэффициенты пропорциональности и размерности.

20

Расширение модели для получения ряда свойств возбуждения нервного ствола, связанных с абсолютной и относительной рефрактерностью и с зависимостью амплитуды потенциала действия от амп­ литуды стимула, потребовало существенного усложнения первона­ чального варианта. Это усложнение связано с подбором функций специального вида, учитывающих указанные свойства. В результа­ те мы пришли к следующей функциональной модели [11]:

абсолютную рефрактерность; ф — свойство изменения амплитуды. Как видно, чисто функциональная модель каждый раз для уче­ та условий и результатов нового опыта, по которым она не строи­

лась, требует усложнения. Вместе с тем труд, затраченный на поиск специальных функций, осуществляющих преобразование входа в выход, часто может быть потрачен более продуктивно. Речь идет о построении структурно-функциональных моделей, которое обычно связано с предварительным изучением внутренних подсистем «черно­ го ящика».

Однако прежде чем перейти к рассмотрению особенностей этих моделей отметим еще одно свойство процедуры построения функцио­ нальных моделей. Функциональная модель системы строится на всем доступном массиве входных воздействий и выходных координат. Выходные координаты, которые являются переменными модели, доступны измерению. Координаты системы, которые влияют на вы­ ходные, но недоступны измерению, не принимаются в расчет. Это условие позволяет поставить в корректной форме задачу поиска коэффициентов модели, что очень важно для строгого математическо­ го решения задачи синтеза модели.

Структурно-функциональные модели. Для биологических систем характерно внутреннее структурирование. Например, функцио­ нальные системы регуляции уровня сахара в крови или регуляции частоты пульса содержат внутренние подсистемы, представляющие органы, образованные в ходе эволюции организма. Такое естественное структурирование при построении модели трудно не учитывать. В этом случае приходится иметь дело не с системой типа «черный ящик», а с системой, содержащей несколько взаимодействующих между собой блоков. Если входы и выходы всех блоков системы из­ вестны и могут быть измерены, то применительно к каждому блоку может быть поставлена задача поиска функциональной модели.

21

При этом мы возвращаемся к уже рассмотренной задаче, а модель ■системы представим системой уравнений, описывающих функцио­ нальные преобразования координат в блоках. И здесь при решении вопроса поиска структур и параметров математических моделей блоков задача может быть поставлена в математически корректной форме.

Совсем другое положение создается, когда, с одной стороны, система распадается на очевидные, например, с точки зрения физио­ логии структурные подсистемы (блоки), а с другой, входы и выходы всех или части блоков не поддаются контролю и не могут быть изме­ рены. Здесь мы сталкиваемся с противоположными требованиями. Требования физиологии, чтобы математическая модель давала воз­ можность изучить не поддающиеся физиологическому контролю структурные блоки системы, с точки зрения математики, создают условия, в которых невозможно корректно поставить задачу поиска моделей блоков и их параметров. Для того чтобы удовлетворить этим противоречивым требованиям, приходится идти на компромисс. Для описания работы каждого блока можно применить минимальное ма­ тематическое описание. Такой путь позволяет получить систему уравнений, описывающих работу блоков моделируемой системы. Для определения коэффициентов системы уравнений имеется непол­ ная информация — известна только выходная координата либо вы­ ходная и некоторая часть промежуточных координат. Ясно, что в этом случае задача является в принципе математически некоррект­ ной. Для одних и тех же неполных экспериментальных данных мож­ но, очевидно, определить некоторое множество наборов коэффициен­ тов системы уравнений с примерно одинаковой точностью, удовле­ творяющих заданному критерию поиска коэффициентов.

Для уменьшения множества наборов коэффициентов должны быть в полной мере использованы качественные сведения физиоло­ гии. Эти сведения позволяют для выделенных блоков почти всегда определить направление и знаки связей с другими блоками. Такое качественное уточнение во многих случаях уменьшает неопределен­ ность выбора коэффициентов, приближая ее к нулю, а коэффициен­ ты — к единственно возможным значениям. Однако полностью быть уверенным в том, что данный набор коэффициентов является един­ ственно возможным, почти никогда нельзя. Чтобы укрепить уверен­ ность в правильности выбора структурно-функциональной модели системы, следует проверить ее работу в условиях, которые не были использованы в качестве базовых для определения коэффициентов. Если и в этих «новых» для модели условиях она дает качественное и количественное совпадение с опытом, то модель определена пра­ вильно.

И все-таки найденная при математически некорректно поставлен­ ной задаче структурно-функциональная модель имеет большое зна­ чение при относительных сопоставлениях. Так, по такой модели можно изучать возможные количественные сдвиги в работе блоков при нормальной и патологической работе системы. При этом количе­

22

ственные изменения коэффициентов и будут характеризовать раз­ личие между нормой и патологией.

Структурно-функциональная модель такого типа является фено­ менологической моделью системы по отношению к структурно вы­ деляемым блокам.

Математическая модель, построенная на основе основных физико­ химических законов. Коротко рассмотрим особенности таких моде­ лей. Конечно, самым трудным при их построении является опре­ деление закона, которому подчиняется система или ее блоки. Если же закон известен, то возникает задача нахождения опреде­ ленной математической трактовки закона применительно к данной системе и, конечно, с учетом особенностей и специфики ее работы. Удачно подобранную модель такого рода можно не без основания назвать теорией работы системы. К сожалению, физико-химические законы применимы к биосистемам в ограниченном масштабе и почти всегда требуют новой интерпретации. Что касается выбора парамет­ ров уравнений, определяющих работу системы, то при построении такой модели мы можем получить и математически корректную, и математически некорректную задачи. Это зависит от глубины модели и массива имеющихся экспериментальных данных. Пример построе­ ния такой модели рассмотрен далее в гл. 7.

5. Общий алгоритм построения функциональных моделей

Рассмотрим вначале обобщенный алгоритм построения математи­ ческих моделей.

1.Анализ объекта исследования. Выявление причинно-след­ ственных отношений в объекте. Определение систем независимых и зависимых переменных, входов и выходов объекта. Определение пере­ менных, зависящих от времени. Формулировка цели моделирования.

2.Эксперимент. Постановка и проведение экспериментов по вы­ явлению изменений зависимых переменных от независимых, снятие динамических кривых входов и выходов. Составление таблиц экспе­ риментальных данных, снятие осциллограмм.

3.Статистическая обработка данных эксперимента. Определение математического ожидания выходной величины, дисперсии и сред­ неквадратичного отклонения. Для динамических переменных — по­ строение динамики изменения этих вероятностных показателей. Построение гистограмм распределения отклонений от математиче­ ского ожидания, в том числе для различных фиксированных момен­ тов времени.

4.Определение степени сложности и организации системы вход­ ных и выходных переменных. Вычисление чисел состояний, в кото­ рых могут находиться входы и выходы объекта. Вычисление уров­ ня организации входных и выходных переменных, в том числе для различных фиксированных моментов времени. Анализ получен­ ных результатов. Отнесение системы входных величин и объекта

23

исследования по уровню организации к одной из трех групп: детер­ минированные, детерминированно-вероятностные и вероятностные. Отнесение входов и выходов объекта к одной из трех групп: про­ стые, сложные, очень сложные.

5. Выбор класса модели. В зависимости от уровня организации объекта выбирается класс математической модели: линейная, нели­ нейная, вероятностная. Класс модели во многом определяет матема­ тический аппарат, наиболее подходящий для описания работы мо­ дели.

6.Выбор вида модели. В выбранном классе определяется вид модели. Переход от класса к виду неоднозначен. Существует мно­ жество видов математической модели, принадлежащих одному клас­ су. Так, к классу нелинейных моделей могут быть отнесены полино­ миальные, нелинейные дифференциальные уравнения и т. п.

7.Синтез оптимальной модели. Использование ЭЦВМ позволяет осуществить автоматический синтез оптимальной модели выбранно­ го вида. Критерием оптимальности может служить, например, наи­ меньшая абсолютная ошибка, наименьший разброс относительно среднего значения и т. п.

8.Синтез параметров модели. Для определения параметров моде­ ли используются данные опытов. Обычно критерием наилучших зна­ чений параметров модели может быть минимум средней квадратичной ошибки или минимум интеграла от квадрата ошибки. Для опреде­ ления параметров модели, удовлетворяющих данному критерию, составляется и решается система уравнений, получаемая из частных производных подынтегральной функции критерия по параметрам модели или осуществляется процедура спуска в пространстве пара­ метров модели. Оба варианта вычисления параметров удобно реали­ зовать на ЭЦВМ.

Для пояснения некоторых моментов, связанных с синтезом мате­ матических моделей, рассмотрим различные варианты постановок задач.

1.Единичный одномерный случай. Пусть выход объекта у зави сит от входной величины, принимающей только одно значение х. Пусть над объектом п раз проведено испытание, в результате которо­ го получены значения выходной координаты уъ ..., уп. Предвари­ тельная статистическая обработка позволяет определить среднее значение выходной величины г/ср. Если принять гипотезу о том, что распределение выходной величины подчиняется нормальному зако­ ну, то можно определить среднеквадратичное отклонение и найти степень отклонения фактического распределения от нормального. Не накладывая никаких ограничений на фактическое распределение,

для отклонений от среднего значения (уі — уср, і — 1, п) с учетом точности измерения Ау можно построить экспериментальную гисто­ грамму распределения выходной координаты.

Следующим этапом является определение сложности и уровня организации исследуемого объекта по отношению к выходной коор­ динате. Сложность определяется по формуле (1.16), а относительная

24

организация по формуле (1.12). Если величина относительной орга­ низации лежит в пределах 1—0,3, то преобразование объектом вход­ ной координаты можно считать детерминированным. В этом случае считаем, что объект преобразует входную величину в среднеарифме­ тическое значение выходной координаты. Постоянный коэффициент

такого преобразования определяется достаточно просто:

ѣ,

Если величина относительной организации меньше 0,3, то пре­ образование входного сигнала объектом нельзя считать детермини­ рованным. Здесь математической моделью объекта может считаться преобразование входной величины в среднеарифметическое выход­ ной координаты с непременным учетом статистических особенностей разброса реальных значений выходной координаты относительно средней.

2. Многозначный одномерный случай. Пусть на вход объекта по­ ступает я значений входных величин. Для каждого из этих значений

проведено т{ (і = 1, я) испытаний. Необходимо определить вид ма­ тематической модели. Для каждого конкретного значения входной величины имеем mt значений выходной координаты. Применительно к каждому значению входной величины на массиве /л, значений выход­ ной координаты с учетом точности измерений можно построить ги­ стограмму распределения отклонений от среднеарифметического, определить сложность и величину относительной организации. За сложность объекта следует принимать максимальную оценку слож­ ности по всем сечениям входной величины. Если уровень относитель­

сительносреднеарифметических величин выходной координаты, т. е.

Усрі — > i — 1, я. (1-23)

Таким образом, рассматривается преобразование объектом

Xi (і = 1, я) в усрі (t = 1, я). Оператором преобразования — функ­ циональной математической моделью — может быть любой линей­ ный или нелинейный полином:

Параметры полинома ищутся обычно, исходя из минимизации критерия среднеквадратичного отклонения экспериментальных зна­ чений выходной координаты и точек, задаваемых моделью (операто­ ром) при тех же значениях входных величин:

25

Условия минимизации функционала часто позволяют получить систему уравнений для определения параметров оператора — мате­ матической модели.

Используя тот или иной критерий наилучшего приближения к аппроксимации экспериментальных данных и задаваясь классом опе­ ратора L, можно построить алгоритм выбора минимальной струк­ туры оператора в данном классе. Такие методы применительно к классу степенных нелинейных полиномов (уравнения регрессии) изложены в гл. 3.

Если величины относительной организации не укладываются в пределы 1—0,3, то объект не может считаться детерминированным. В этом случае необходимо учитывать не только преобразование объектом входных величин в среднем, но и статистические законо­ мерности разброса реальных значений выходной величины относи­ тельно средних.

3. Многозначный многомерный случай. Пусть выходная коорди­ ната объекта зависит от N входных величин. Пусть также для неко­

набор совокупностей N входных величин «срезом» для mt значений выходной координаты, определяем значение среднеарифметическо­ го, строим гистограмму отклонений от среднего, определяем слож­ ность и степень относительной организации. Если объект может быть отнесен к классу детерминированных, то задаваясь классом преобразований входных величин в выходную координату — мате­ матической моделью и критерием наилучшего приближения — можно поставить и решить задачу определения структуры и конкретных значений параметров математической модели. Метод такого поиска математической модели в классе многомерных линейных и нелиней­ ных уравнений регрессии приведен в гл. 3.

В случае недетерминированного объекта его модель может быть представлена описанием многомерного случайного процесса.

4. Динамический многозначный одномерный случай. Пусть вход­ ная координата, воздействующая на объект, изменяется во времени, а при одном и том же входном сигнале записывается выходная коор­ дината объекта. Число испытаний примем равным п. Тогда записи выхода объекта молено трактовать как реализации некоторой слу­ чайной величины.

Первым этапом синтеза математической модели, как и раньше, является определение сложности и степени организованности объек­ та. Для этого можно выбрать некоторые фиксированные моменты времени и для них определить математическое ожидание (средне­ арифметическое) координаты выхода объекта, с учетом точности из­ мерения построить гистограммы разброса относительно средней, определить сложность и относительную организацию. Если для вы­ бранных моментов времени (а выбирать следует характерные моменты

26

по тем или иным соображениям) величина относительной организа­ ции будет лежать в интервале 1—0,3, то объект можно считать детер­ минированным. Математической моделью объекта, описывающей изменение во времени среднеарифметической выходной координа­ ты, может служить линейное неоднородное дифференциальное урав­ нение. Порядок дифференциального уравнения определяется из взаимного рассмотрения записи входной координаты и средней вы­ ходной координаты, однако он всегда должен быть минимально воз­ можным.

Далее ставится задача определения коэффициентов дифферен­ циального уравнения модели. Часто коэффициенты можно с успехом определять путем минимизации функционала

где T — время наблюдения; уср (t) — среднеарифметическая выход­ ной координаты; х (t) — входная координата; L — линейный диф­ ференциальный оператор.

Получить разрешимые относительно коэффициентов дифферен­ циального оператора L уравнения из условия минимизации функ­ ционала удается лишь в частных случаях. Чаще же приходится при­ менять процедуру спуска в пространстве параметров модели по гра­

где ас — коэффициенты дифференциального уравнения; пг — поря­ док дифференциального уравнения.

В качестве инструмента определения параметров модели исполь­ зуются цифровые или аналоговые вычислительные машины. В этом случае существует опасность попадания в локальный минимум в про­ странстве параметров модели, что необходимо учитывать.

Более строгий, но и более трудоемкий переход к определению коэффициентов модели состоит в следующем. По записи выходной ко­ ординаты во времени часто можно судить о характере корней харак­ теристического уравнения дифференциального уравнения модели объекта. Если известен вид общего решения однородного дифферен­ циального уравнения и входная координата является сравнительно простой функцией времени, то молено написать решение дифферен­ циального уравнения и осуществлять процедуру спуска примени­ тельно не к коэффициентам дифференциального уравнения модели, а к корням характеристического уравнения, входящим как парамет­ ры в некоторую функцию (решение дифференциального уравнения).

Вобщем случае это почти всегда приводит к многошаговому решению систем трансцендентных уравнений.

Если относительная организация объекта ленсит в пределах 0,3— 0,1, то объект можно отнести к вероятностно-детерминированным.

Вкачестве математической модели можно использовать нелинейные

27

Г л а в а 2. МЕТОДЫ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ БОЛЬШИХ ИНФОРМАЦИОННЫХ МАССИВОВ

1. Перекодировка исходного информационного массива

Рассмотрим несколько приемов обращения с исходным информа­ ционным массивом, подлежащим введению в ЭЦВМ и дальнейшему анализу. Для конкретности рассматриваемых здесь методов сжатия информации будем ориентироваться на методики медицинского об­ следования населения.

Применение кибернетических методов в медицинских исследова­ ниях в процессе решения трудоемких задач, связанных с большим количеством расчетов, с обработкой учетных и отчетных медико-ста­ тистических документов, немыслимо без широкого внедрения совре­ менной вычислительной техники. При этом необходимо разработать системы алгоритмических языков, обеспечивающие ввод медицин­ ской информации в ячейки памяти ЭЦВМ и ее математическую обработку. Так как память современных ЭЦВМ весьма ограничена, то разрабатываемые методы ввода медицинской информации должны позволить сэкономить оперативные ячейки памяти ЭЦВМ. Это, однако, вызывает усложнение процесса составления и отладки про­ грамм.

Итак, разработка оптимальных алгоритмических языков для ввода медицинской информации в ЭЦВМ является довольно слож­ ным и ответственным моментом.

Проанализировав любой медицинский документ, легко заметить, что он насыщен разнообразной (качественной и количественной) информацией.

Рассмотрим структуру медицинских анкет, содержащих медицин­ скую информацию, характеризующую состояние здоровья населе­ ния. Известно, что каждая анкета состоит в основном из трех частей.

1. Фактическая часть. В этой части анкеты содержится информа­ ция, характеризующая степень использования населением системы обслуживания типа поликлиники, куда в первую очередь обращают­ ся за медицинской помощью. Медицинская анкета состоит из следую­ щих данных.

1.Паспортная часть: а) национальность;

б) пол; в) возраст;

г) общественная группа. 2. Посещение поликлиники:

а) нозология (диагноз), т. е. болезнь, по поводу которой пациент обратился за медицинской помощью в систему обслуживания;

29