книги из ГПНТБ / Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем

Последовательно решая эти системы, находим все неизвестные коэффициенты:

Внося эти коэффициенты в систему (7.3), получаем динамиче­ скую модель, описывающую влияние метеорологического фактора х2 (7) (влажность воздуха) на развитие эпидемического процесса:

298,94mXt (t) — 233,08щх, (t) + 265,06mx„ (t) = mx, (t),

Исследуя найденные уравнения, имеем полное представление о мере влияния фактора Хг (0-

Аналогично изучается влияние на возникновение и развитие эпидемии каждого из факторов среды. Практически наиболее важ­ ное значение имеет моделирование эпидемических процессов с учетом одновременного воздействия многочисленных факторов среды. Всякий эпидемический процесс представляет собой чрезвы­ чайно сложное явление. Чтобы смоделировать такой процесс, нужно представить его в виде сложной взаимосвязанной много­ мерной динамической системы и предположить, что функциониро­ вание та-кой системы характеризуется взаимодействием некоторых факторов, описываемых случайными функциями.

Для иллюстрации применимости методов, изложенных в гл. 4,

176

где %(t), т]і (t), т|2 (f) — соответствующие случайные функции, описывающие эпидемию и факторы окружающей среды (случайные функции здесь характеризуют математические ожидания); ац (і =

= 1 , 3 , / = 1,3) — неизвестные коэффициенты, требующие опреде­ ления по результатам наблюдений случайных функций.

Система (7.4) интегрируется при начальных условиях

Определяя все неизвестные коэффициенты (7.4) а2;- (і = 1, 3; ==1,3) при помощи метода, изложенного в гл. 4, получим

Умножив матрицы на векторы, получим все неизвестные коэффициенты:

что результаты теоретического подсчета достаточно хорошо согла­ суются с результатами наблюдений.

178

2.Моделирование женской стопы

Впоследнее время в научно-исследовательских работах в области антропологии выводы и заключения делаются на основе ре­ зультатов статистической обработки данных. При помощи основных вариационных показателей делаются заключения о существенных различиях между возрастными группами и антропологическими

признаками людей, живущих в различных географических районах

СССР. В связи с этим важное значение имеет изучение и установле­ ние закономерностей, связывающих между собой признаки стопы. Такие закономерности могут использоваться при разработке формы

иразмеров обуви массового производства.

Вработах многих исследователей определяются типичные признаки стопы и корреляционная связь между различными при­

основу рекомендаций по массовому выпуску обуви. Исследователям, однако, известно, что на изменение отдельных

признаков стопы влияет не один какой-либо признак, а несколько, т. е. при изменении некоторых признаков изменяются и другие признаки. Следовательно, найденная связь по парной регрессии не дает возможности сделать вывод о существовании закономерно­ стей, которым подчинено изменение размеров по отдельным призна­ кам стопы, она фиксирует факт существования связей между от­ дельными признаками и выражает их в виде уравнений. Для по­ строения колодок обуви этого еще не достаточно. Если строить серию обуви по изменениям только двух признаков, то остальные, быть может существенные, признаки остаются без взаимосвязи. Следовательно, необходимо построить формы и размеры обуви с учетом наибольшего числа существенных признаков.

Решение изложенной выше задачи требует глубокого обследова­ ния населения. Сотрудниками Узбекского научно-исследователь­ ского института травматологии и ортопедии проведено обследование стоп 5868 женщин-хлопкоробов и для получения сравнительных данных—■стоп 1196 женщин-текстильщиц. В обоих группах обсле­ дование проводилось с применением методик и аппаратуры, рекомен­ дованных отделом стопы и рациональной обуви ЦИТО. При по­ мощи методов, изложенных в гл. 3, мы провели анализ результатов обследования женской стопы.

Ввод исходных данных в ЭЦВМ. Вследствие того, что информа­ ционный массив очень велик, воспользуемся комбинированным методом. Вначале рассмотрим, какую часть данного материала будет охватывать наш метод обработки. Выше показано, что для ввода исходного материала в МОЗУ ЭЦВМ были использованы три разно­ разрядных восьмеричных кода. Данным анкетной части присво­ или одноразрядный код, возрастным группам — двухразрядный,

числовым данным — трехразрядный. Далее для каждого кода при­ меним наш метод. Одноразрядный восьмеричный код был присвоен данным анкетной части всего по 19 признакам. Итак, в одну ячейку можно разместить (/гкод = 1)

признаков. Следовательно, для 19 признаков анкетной части меди­

ячеек. Это означает, что если бы обрабатывали только анкетную часть без возрастных признаков,то вместо 134 216 воспользовались

Для нашего статистического материала /г может изменяться в преде­ лах I •< k <С 1,5. На рис. 8 изображена графическая зависимость k от переменного &код (AFBCD означает область применимости ме­ тода для анкетных данных, кроме признака возраста).

Двухразрядный код был присвоен данным из анкетной части только возрастной группе. По указанной методике в одну ячейку можно разместить (£код = 2)

45

3 • 2 min = 7

кодовых чисел. А для 7064 анкетных данных медицинской карты необходимо

N2 = 7064 = 1009-^-: 1010

ячеек. Областью применимости данного метода для ввода призна­ ков возраста является область FBCE.

180

Трехразрядный код был присвоен числовым данным медицин­ ских карт. Следовательно, для записи их в одну ячейку ЭЦВМ мож­ но ввести

числовых данных в кодовом обозначении. Всего для 7064 анкет

чайных величин, описывающих некоторые измерения женской сто­ пы. В качестве случайных величин примем 23 различных измерения стопы для различных возрастных групп, а также подробно проана­ лизируем этот показатель для следующих возрастных групп: 25—29 лет, 40—44 лет, 70 лет и выше. Для возрастной группы 25—29 лет объем выборки больше (п = 808), чем для возрастных групп 40—44 лет и 70 лет и выше. Поэтому значение параметра нормального закона распределения в первой возрастной группе ближе к истинному значению нормального закона, чем во второй и третьей группах.

Величины асимметрии и эксцесса в первой возрастной группе очень незначительны (кроме 30, 36, 40 признаков) и составляют значение меньше 0,1. Эти показатели еще не определяют точного различия между теоретическими и эмпирическими кривыми. Поэто­ му были исследованы численные значения и вероятность согла­ сованности эмпирического закона распределения этих случайных величин с законом нормального распределения. Численные значе­ ния вероятности согласованности по всем признакам стопы близки к единице (р = 0,9) г. При помощи описанного алгоритма определе­ ны коэффициенты корреляции со стандартными ошибками и пока­ зателями достоверности, значения силы корреляции, параметры па­ рных уравнений регрессии со стандартными ошибками и их досто­ верностями. С целью уточнения зависимости между сегментами стопы нами вычислены параметры для 23 различных сегментов по всем возрастным группам. Таким образом, количество результатов по 12 возрастным группам следующее:

181

Продолж. табл. 24

Если подсчитать количество всех результатов, то получим

ружного пучка xs, обхват в голеностопном суставе х.,.

Методом, изложенным в гл. 3, получены адекватные линейные и параболические модели стопы для всех возрастных групп, устанав­ ливающие зависимости основных сегментов стопы друг от друга. Результаты моделирования сведены в табл. 24, где функцией вы­ брана длина стопы, а аргументами (влияющими факторами): хг — ширина правой стопы в пучках, х2 — высота до сгиба стопы, х3— обхват на уровне наружного пучка, х4— обхват в голеностопном суставе (через пятку).

В табл. 24 приведены линейная и параболическая модели. Ана­ лиз дисперсии показал адекватность параболической аппроксима­ ции. Приведенные модели позволяют вычислить длину стопы через основные сегменты, что является практически важным при состав­ лении стандартов женской стопы.

Из табл. 24 следует, что наилучшей для всех возрастных групп является параболическая модель. Что касается влияния сегментов стопы на изменение ее длины, то степень влияния каждого фактора изменяется от возраста к возрасту.

Модели табл. 24 не могут описать изменение степени влияния сегментов стопы на формирование ее длины. Для того чтобы в мо­ дели стопы учитывались изменения степени влияния каждого сег­ мента в зависимости от возраста, она должна быть динамической.

Далее мы приводим динамическую модель стопы женского насе­ ления, полученную при помощи метода, описанного в гл. 3.

186

Определяя функции &,-(/), получим обобщенную динамическую модель женской стопы в виде

Y (і) = b0 (t) -j- b{(/) Х х 4- (0 ^2 + &з (0 Хз + (О Х4+

+ö5 (t) X] -j- bti (t) X'2-|- by (t) Хз -f- ba (t) X\.

Вэтой модели учитываются влияния всех сегментов стопы на формирование ее длины в зависимости от возраста.

Втабл. 25 приведены значения коэффициентов этих функций.

3.Система управления уровнем сахара в крови

Постановка задачи управления и своеобразие построения модели. Система управления уровнем сахара в крови является одной из самых сложных функциональных систем живого организма.

Выходом ее служит текущее значение уровня сахара в крови. Внешними управляющими сигналами могут быть различные препа­ раты, важнейшими из которых являются глюкоза (сахар) и инсу­ лин. Введение в организм глюкозы производится естественным об­ разом с пищей, или внутривенно. Инсулин обычно вводится при по­ мощи внутримышечной инъекции. Введение глюкозы способствует повышению текущего значения уровня сахара в крови, а введение инсулина — снижению этого показателя. Таким образом, глюкоза и инсулин являются аналогами внешних управляющих сигналов раз­ личного знака. Максимальным значением, соответствующим уров­ ню релейного управляющего сигнала в этом случае, является по­ стоянное значение скорости всасывания глюкозы в кровь воротной вены и постоянное значение разноса инсулина по организму при кровотоке. Таким образом, для этой физиологической системы мо­ жет быть поставлена и решена задача оптимизации времени переход­ ного процесса, причем, как и обычно, неизвестными будут моменты переключения знака управляющего сигнала, означающие в этом случае момент введения в организм глюкозы или инсулина. Оче­ видно также, что время интервала при постоянстве соответствующей скорости (всасывания глюкозы или разноса инсулина) определяет дозу введенного препарата. Расчет моментов переключения, мини­ мизирующих время переходного процесса для этой системы, будет одновременно и расчетом доз внешних управляющих воздействий

[26, 27].

Физиологические системы управления, в том числе и уровнем сахара в крови, от технических систем отличаются некоторым свое­ образием. Это своеобразие состоит прежде всего в том, что и физи­ ологической системе трудно отделить собственно объект управления от системы управления. Так, практически любой орган физиоло­ гической системы представляет собой и объект управления и управляющий орган. Поэтому уравнения, характеризующие ра­ боту каждого отдельного органа в системе и системы в целом, нужно

187