книги из ГПНТБ / Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем

Далее, преобразуем вторую строку табл. 11. Для этого преобра­ зованную строку (5.41) умножим на элемент—а21 и почленно сло­ жим со второй строкой. Получим преобразованную строку в виде

Из преобразованной строки (5.44) легко получить рекуррент­ ное соотношение

Аналогично продолжая процесс, из третьей строки (см. табл. 11)

Из преобразованной строки (5.46) легко написать рекуррент­

Таким образом, продолжая процесс исключения последующих переменных, получаем последовательные рекуррентные соотношения

132

Итак, для вычисления корней системы уравнений (5.35) полу­ чаем следующие рекуррентные соотношения:

Рп = е

Подставляя рп в предпоследнее соотношение системы (5.51), легко вычислить /?„_і = b„-i — ßn-і.п bn]; подставляя p„_i в

предыдущее соотношение, вычисляем рп—2и т. д.

Отметим, что изложенный способ решения подобных систем уравнений удобно проиллюстрировать при помощи формальных схем. В табл. 12 показана последовательность получения рекур­ рентных соотношений (5.51) для вычисления корней исследуемой системы (5.34).

Из изложенного легко убедиться, что описанный способ вы­ числения всех корней системы (5.34) содержит почти идентичную последовательность операций, а это чрезвычайно важно для приме­ нения современных ЭЦВМ. Кроме того, указанный способ позволя­ ет сэкономить оперативную память ЭЦВМ, так как почти не требует рабочих ячеек для хранения промежуточных результатов. Все это дает определенное преимущество при решении подобных систем уравнений высокого порядка на современных ЭЦВМ.

Отметим разнообразие рекуррентных соотношений (5.51), позволяющее разработать адаптирующиеся программы на ЭЦВМ. Описанный выше алгоритм реализован нами на ЭЦВМ «Минск-22» и ЭЦВМ «М-220». С помощью этих алгоритмов решен целый ряд практических задач.

3. Построение модели многомерной информационной системы

и метод прогнозирования ее работы

При планировании мероприятий здравоохранения в настоящее время преимущественно опираются на детерминистические расчет­

В результате этого реальная потребность населения в квалифици­ рованной медицинской помощи не соответствует плановым предположениям. Поэтому любое мероприятие системы здравоох-

133

Т а б л и ц а 12. Схема вы числен ия корней системы

Р п = Ь <2>

1.34

ранения должно планироваться на основе вероятностно-статисти­ ческих методов и оценок. Некоторые модификации классической мар­ ковской модели приводят к алгоритму, позволяющему определить многие важные вероятностные характеристики процесса медицин­ ского обслуживания. Располагая набором таких вероятностных ха­ рактеристик, вычисленных для всех возможных вариантов органи­ зации обслуживания, нетрудно выбрать наиболее целесообразные варианты организации процесса обслуживания.

Оптимизация управления реальными органами здравоохранения, как правило, представляет собой комплексную проблему, исследо­ вание которой проводится поэтапно. Основными этапами исследо­ вания являются следующие [2 1 , 2 2 ].

1. Формальное содержательное описание системы и задач управ­ ления.

2.Построение формализованной модели системы и формальная постановка задачи управления.

3.Разработка метода решения поставленной задачи.

4.Оценка эффективности предлагаемого метода.

стемами медицинского обслуживания является задачей первостепен­ ной важности, во многом определяющей успешное завершение все­ го комплекса исследований по проблеме оптимизации управления в системах здравоохранения.

При решении ряда практических вопросов, связанных с изу­ чением и оптимальным управлением работы поликлиники, необхо­ димо рассматривать ее как систему массового обслуживания слож­ ной структуры с несколькими типами потоков пациентов. При этом нужно учитывать группы заболеваний, цели посещений, время ожи­ дания начала обслуживания, частичную потерю пациентов и т. д.

Систему медицинского обслуживания можно рассматривать как состоящую из взаимосвязанных элементов: врачей (среднего и млад­ шего медицинского персонала), медицинского оборудования и дру­ гих ресурсов, которые под влиянием различных факторов взаимо­ действуют с обслуживаемым населением. Для решения задач пла­ нирования, прогнозирования и оптимизации процесса обслуживания можно построить математическую модель этой системы.

Элементы такой системы здравоохранения можно сгруппировать в подсистемы, состав которых будет зависеть от критериев, поло­ женных в основу этого группирования.

Такими подсистемами могут быть, например, первичное меди­ цинское обслуживание (первое обращение к врачу), обслуживание врачами-специалистами (амбулаторное отделение поликлиники), лечение в больницах общего типа, лечение в специализированных клиниках, отделениях со специальным оборудованием для обслужи­ вания пациентов и т. д. Подсистемы рассматриваемой системы ме­ дицинского обслуживания можно определить значениями перемен-

135

иых величин, описывающих ее элементы, например относительной частотой некоторого конкретного заболевания, количеством мест в больницах и т. д., а также характеристиками процесса преобразо­ вания в системе, в результате которого входные данные преобразу­ ются в выходные.

Входные данные для каждой подсистемы — это численность пациентов или другие условия, которые определяются действитель­ ным или предполагаемым спросом на медицинское обслуживание. Параметры, выражающие эти входные данные, будут зависеть от критериев, используемых для описания таких состояний и свойств, как болезнь, нетрудоспособность и неблагоприятные условия внеш­ ней среды.

Выходные данные для каждой подсистемы — это полученные результаты, определяемые, например, числом выздоровевших, про­ должающих болеть, умерших.

Переходные данные характеризуют движение потока пациентов внутри системы медицинского обслуживания и динамическое соот­ ношение между различными ее подсистемами и элементами. После­ довательность переходов каждого пациента внутри системы медицин­ ского обслуживания отражает его опыт использования системы. Характеристика переходов для всей системы в целом определяется как интегральное перемещение всех пациентов.

Изложенный метод изучения функционирования систем медицин­ ского обслуживания и построение перспективного планирования требуют знания внутренних соотношений между частями системы, следовательно, необходима информация о ее статистических и дина­ мических характеристиках. Такая математическая модель базиру­ ется на теории марковских процессов и теории случайных функций, которыми обычно пользуются при анализе систем медицинского обслуживания.

При данном подходе постулируются подсистемы или состояние системы медицинского обслуживания, а количество пациентов, на­ ходящихся в различных состояниях в течение рассматриваемого периода времени, определяется вероятностными переходами из одного состояния в другое, которое определяется переходными ве­ роятностями.

Здесь принято предположение, что каждый представитель дан­ ного географического района в любой момент времени принадле­ жит к одному и только одному из нескольких взаимоисключающих состояний системы медицинского обслуживания.

На рис. 3. показана примерная схема моделируемой системы медицинского обслуживания. Подсистема или состояние «население» включает ту часть населения, представители которой не находятся ни в одном из других состояний. Сюда относятся здоровые и боль­ ные, не обращающиеся за медицинской помощью.

При необходимости модель системы медицинского обслуживания можно расширить и переделать в соответствии с требуемой целью анализа и доступной медицинской информацией.

136

Буквы я с индексами указывают, какое количество пациентов находится в данном состоянии системы в рассматриваемый период времени. Относительная численность пациентов, находящихся в данный период времени в некотором из состояний pt (/), равна от­ ношению количества пациентов в этом состоянии я(- (t) к общему количеству пациентов, которые проживают в районе, обслуживае-

Рис. 3. Блок-схема системы медицинского обслуживания.

мом системой медицинского обслуживания N (t). При анализе ста­ ционарных марковских цепей необходимо вычислить переходные вероятности, характеризующие перемещения из одного состояния в- другое за основной расчетный период времени. Переходные вероят­ ности рц равны отношению количества пациентов я*/, переходящих за этот период времени из г-го состояния в /-е, к количеству пациентов, перешедших из /-го состояния в t'-e; в начале работы системы в і-м состоянии было п1 пациентов. Переходные вероятности предста­ вим в виде матрицы, элементы которой вычисляются следующим образом. Пусть qtl — вероятность перехода пациентов из t-.ro сос­

137

тояния в j-e за интервал времени, равный одной единице времени (за единицу времени можно принять час, день, неделю, декаду, месяц, годит, д.). Тогда вероятность того,что продолжительность пребывания в г-м состоянии равна а единицам времени, определяется формулой

Рі [L = а] = qu{\ — qu),

а средняя продолжительность пребывания в г'-м состоянии — фор­ мулой

времени, для которого должны быть определены переходные веро­

Для определения аналитического вида функции вероятности переходов а £/ (Т) можно воспользоваться теорией случайных функ­

Методы отыскания функций тк,і (Т), Фе (Т) и ѵь подробно из­

всей системы из предыдущего состояния в последующее за интервал, равный единице времени, можно представить в виде

Q =

_ Qn\ Цп2 • • • Qnn

Далее, стохастическую матрицу Рг, характеризующую состояние всей системы за интервал, равный двум единицам времени, можно

1 3 «

вычислить по формуле

Стохастическую матрицу Р2, характеризующую состояние всей системы за интервал, равный трем единицам времени, аналогично можно вычислить по формуле

Итак, если расчетный период принять равным у единицам вре­ мени, то стохастическую матрицу Р, характеризующую состояние системы к концу этого периода времени, можно представить в виде

V

новного периода времени в у'-е в конце этого периода времени (ос­ новной расчетный период времени здесь принят равным у единицам времени).

Если известны относительная численность пациентов в каждом состоянии системы и значения параметров, определяющих произ­ водительность (эффективность) обслуживания в этих состояниях, то можно рассчитать требуемую численность медицинского персона­ ла указанных специальностей и требуемый объем лабораторного и, например, рентгенологического оборудования.

Так, зная относительную численность людей, находящихся в различных состояниях системы медицинского обслуживания, мож­ но вычислить требуемое количество врачей данной специальности при помощи вполне очевидной рекуррентной формулы

для t-го состояния; р( (t) — относительная численность пациентов в г'-м состоянии в момент времени t\ N (t) — полная численность на­ селения обслуживаемого района в момент времени t , определяемая

состоянии за единицу времени.

139

Аналогично можно вычислить вероятность пребывания паци­ ента в і-м состоянии в момент, равный двум единицам времени. Она равна вероятности перехода из первого состояния в і-е за указанный период времени, умноженной на вероятность пребыва­ ния в первом состоянии в момент времени t = 1 , плюс вероятность перехода из второго состояния в і-е за этот же период времени,

Таким образом, используя предположение, что модель обладает

141