книги из ГПНТБ / Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

е і , , . - 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Итак, поток пациентов, поступающих в систему обслуживания,


ограничен, т. е. одновременно в системе					обслуживания не может
находиться больше т пациентов, где т — конечное число.
Положим,		поток	пациентов обладает следующими свойствами:
а)	вероятность того, что пациент поступит в систему обслужи
вания за время (t,			t + At),	если он не поступил в систему обслужи
вания до момента			і, равна ХАі + о (Аі);			независимое.
б) момент		поступления		пациента — событие
Тогда критериями, характеризующими качество функциониро
вания	рассматриваемой системы медицинского обслуживания, мо
гут быть: отношение средней длины очереди к т						— наибольшему
числу	требований		обслуживания или		пациентов, находящихся

одновременно в обслуживающей системе; отношение среднего числа свободных врачей к их общему числу. Легко заметить, что эти два критерия могут полностью характеризовать функционирование системы медицинского обслуживания. Первый критерий характе

ризует потерю времени за счет	ожидания начала обслуживания,
а второй — полноту загрузки	врачей.

Функционирование такой системы исследуем с помощью систем линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных функций вероятностей вида


— ju	= — %mPo{t) + vPt (t),
-dPkJ f ] = (m — k +			1) Kpk^i (t) + [(m— k)X + kv] pk (t) +
+ (k +	1 ) vpk+l (t)		(O c k < n ),
— Jk t]	= (m — k +		1) ри-i (t) — [(m — k)X nv] pk (t) +
+ nvpk+l(t)		(n < k < m ),
— 2(—	= Vm- 1	(t) — nvpm{t).
Проинтегрировав систему (5.10), получим все неизвестные
функции вероятностей			pt (t) (i = 0 , п), характеризующие функ

ционирование системы медицинского обслуживания.

Если нас интересуют стационарные решения системы, то при помощи упомянутой выше теоремы систему (5.10) легко преобра зовать в систему линейных неоднородных алгебраических уравнений


— Хтр0+	ѵрг = 0,
X (т — k +	1 ) pfc_i — ](m — k)X + kv] pk +
-f- (k -f- 1 ) vpk-)-i =		0	(0 < £ < / z ) ,
(m — k +	1) Xpk_ x— ]{m — k)X + nv\ pk +
-frcvpft+ 1 = 0			( n < / e < m ) ,
Xpm—i — nvpm = 0		,

122

что в матричной форме можно переписать так:

где	BP =	d,	(5.12)
где	Рі
	Рі
	Рі
Р	Рп—І »	d	О ;
	Р а		О
-	Рт -		0
-	Рт -	в =
		в =

5 ц	6 ! 1 >	о	0	. .
	5 22	ь ® 0		. .
0	5 з 2 5 33 b f i . .
0	0	0	0	. .
0	0	0	0	. .

. . . 0

/70)

* и т—I,r«— 2

и т—-I ,т—. е - м

. . . 0

5 (1) п—1

Ьтт

Ьц =

— \{т ~ k)K-\-kv]

(і =

1 ,/г— 1 ;

k = i +

1 );

Ьц =

— \{tn — k)X-\- ov]

(i =

n, m — 1;

k =

i +

1);(5.13)

bi}’ -

(m — i)

(i =

2 , m — 1 ;

/ =

1 , m — 2 );

Ь$ = (Л+1)ѵ

(t = 1, o -

/ = 2 , 0 + 1 ;

fc = t +

l);

Ьц =

(г = о, m — 1 ;

j =

о +

1 , m)\

bm,m— 1 =

b nlni =

O V .

Решая систему (5.12), получим все неизвестные предельные

вероятности в безразмерном виде: pL, р2,

Рп-

При помощи формулы

Ро =

(5.14)

вычислим вероятность того, что все обслуживающие врачи свобод ны. Затем с помощью соотношений

PoPk = -T-Po = Pk (k = l,n)

(5.15)

найдем вероятности занятости k обслуживающих врачей.

После вычисления всех предельных вероятностей легко опре делить следующие основные вероятностные характеристики для анализа функционирования системы обслуживания.

Математическое ожидание длины очереди			пациентов, т. е.
среднего числа пациентов,	ожидающих начала		обслуживания,
М ,=	т	(k - n ) p k.
	У,		(5.16)
	k=ri-\-\
Коэффициент простоя пациентов
Мі	m	{k — n)pk.	(5.17)
	Ч -1
т	m k = n - \- 1

Математическое ожидание числа пациентов, находящихся в системе обслуживания (обслуживаемых и ожидающих начала об

служивания),
	Ма= É W			(5.18)
		k=i
Математическое ожидание числа свободных обслуживающих
врачей
М3 = Ъ ( п - к ) р к.				(5.19)
	fc= 0
Коэффициент простоя каждого обслуживающего врача
^JL = ±		nj_ {n - k ) p k.		(5.20)
п	п к=0
Вероятность того, что число пациентов, ожидающих начала
обслуживания, будет больше заданного числа N
	РЧЛ, =	2	Рк>
или	> N	fc = JV + I
или
	P>N	1	S ö Pk'	(5.21)
	P>N	1	S ö Pk'

Итак, в данной постановке задачи методы теории массового обслуживания позволяют проанализировать функционирование си стемы медицинского обслуживания при различных соотношениях между потоком пациентов и количеством обслуживающих врачей и найти наивыгоднейшее из них. Выбор критерия наилучшей ор ганизации процесса обслуживания может базироваться на непревышении числа пациентов, ожидающих начала обслуживания, за данного числа N.

124

Вданном случае мы также сталкиваемся с огромными вычис лительными трудностями, так как степень решаемых уравнений обуславливается числом пациентов, нуждающихся в медицинском обсл уживании.

3.Рассмотрим систему медицинского обслуживания с условными потерями пациентов.

Взадаче второго типа существенное значение имело условие нео граниченного времени ожидания пациентами начала обслужива ния. Здесь пациент, попавший в систему обслуживания, мог ее по кинуть только тогда, когда обслуживание его полностью закончено.

Исходя из практики организации обслуживания пациентов в некоторых функциональных органах здравоохранения, известно, что поток больных, нуждающихся в медицинском обслуживании, ограничен возможностями обслуживающей системы. Например, в системе медицинского обслуживания типа поликлиники раздается строго определенное количество номеров, позволяющих в течение рабочего времени обслужить только часть пациентов. Остальные пациенты получают отказ со стороны системы обслуживания и по

кидают ее. Что касается пациентов, получивших номера, то часть из них обслуживается сразу, а часть ожидает начала обслужива ния, создавая очередь.

Легко заметить, что в рассмотренных ранее задачах не учи тывалась эта сторона процесса обслуживания. Данное условие

является	основным отличием	этой постановки задачи	от уже
описанных. Предположим, что		пациент может покинуть	систему
медицинского обслуживания в		двух случаях, во-первых,	после
того, как	обслуживание его	полностью закончено, во-вторых,

если в момент его поступления все обслуживающие врачи заняты, а число ожидающих пациентов больше заданного числа т. В этой задаче есть дополнительные условия, наличие или отсутствие которых определяет, остается ли очередной пациент в системе об служивания или покидает ее. Очередной пациент остается в си стеме обслуживания при условии, что общее число пациентов, уже находящихся в системе, не превосходит определенной величины, обусловленной возможностью данной системы.

Пусть, как и прежде, задана обслуживающая медицинская си стема, свойства которой почти идентичны свойствам систем, рассмо тренных ранее, кроме одного, заключающегося в том, что все об служивающие врачи заняты. Тогда очередной пациент становится в очередь при условии, что в ней находится количество пациентов, меньше т. Если в очереди находится ровно т ранее поступивших пациентов, то очередной пациент покидает систему или, что то же, обслуживающая система отказывает ему в обслуживании,

Легко заметить, что если т = оо, то эта задача превращается в задачу с неограниченным ожиданием начала обслуживания, а при

т = 0	она	совпадает	с задачей, связанной с потерей пациентов.
При	изучении функционирования подобных систем обслужи
вания	нас	в первую	очередь интересует такой показатель, как

125

вероятность отказа, т. е. вероятность того, что в системе на обслужи вании находится I — п т пациентов. Этот показатель определя ет на сколько вероятно, что новый пациент вообще не будет принят. Кроме того, для пациентов, ставших в очередь для обслуживания, важно знать, какое время они будут находиться в ожидании начала обслуживания. Большое практическое значение имеют такие пока затели процесса обслуживания, как среднее число пациентов, ожи дающих начала обслуживания, среднее число свободных обслужива ющих врачей, среднее число пациентов, находящихся в системе ме дицинского обслуживания.

Функционирование охарактеризованной выше системы медицин ского обслуживания можно исследовать с помощью следующих систем однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

	(t) - (А. + kv) pk (/) + (£ + 1) vpk+1 (i)		(1 < / e < n),
■dpkd(t]	= hpk-1 (t) — fi + nv) pk (t) + nvpk+l ( 0	(n <	k < / — 1 ),
—	= bpi-1 (0 — n w i (0-
			(5.22)

Проинтегрировав (5.22), получим все неизвестные функции

вероятности
РіѴ)	и = ÖTÖ-	(5-23)

Положив t оо, из системы (5.22) находим систему линейных однородных алгебраических уравнений (п + 1 )-го порядка от носительно неизвестных предельных значений этих вероятностей

Рі (0 (/ = 0, п) в виде

—	= 0 ,
— А,р*_і — (к -f kv) pk + (k -f 1 ) vpk+i = 0		( 1 <	k < n),	(5.24)
hPk-i — (A. + nv) pk + nvpk+i = 0		( я < А < / — 1 ),

'kpi-i — nvpi = 0 .		Ра
Далее,			pk в системе (5.24),
	произведя замену переменных — =

получим такую систему неоднородных линейных алгебраических

уравнений п-ѵо порядка относительно неизвестных		pk (k =	1 , п):
Xpk-i — (к + kv) pk (k + l)vpk+i = 0	( 2 < £ < n ) ,
Xpk-i — (А, + nv) pk + nvpk + 1 = 0	(n < k <	I — 1),	(5.25)
A.pi_1 — nvpi = 0 ,

126

или в матричной форме

с(2 )	0	0	. .	0
с 12	0	0	. .	0
1 С2	с<2)	0	..	0
uo
	с	с(2>	• •	0
	СЗЭ ü34		• •
0	0	0	. .	г(1>
0	0	0	. .	• сп-\,п-—2
0	0	0	. .	0
0	0	0	. .	0
0	0	0	..	0

Рі Р'2

р =	— 1	»
	Рп
	Рп

CP = d,

(5.26}

0	0	• •			0		0	0
0	0	• ,			0		0	0
0	0		.		0		0	0
	с(2)		.		0		0	о ;
сп—1 ,л- 1 сл— 1,П					0		0	0
сл,л— 1	спп	..			0		0	0
с<1)
0	0	•		с(1)		с		с(2 )
		■				Г(1)		с/—М
0	0	■			0	Г(1)	— 1	с» .
						с1,1		с» .
		- — яг
				0
	d =			0		>		(5.27)
				0
				0	_

-Р і	-
Си = — (Я, -\|- kv)	1 . п — 1 ;	ь = 0 ;
сѴ = Я	(і = 2 , /; і-= 1 , / - Г);
С?? = (А + 1 )ѵ	(г — п п — 1 ; / = 2 , п; k = і);
С?? = пѵ	(г = п; / — 1
Си = — ПѴ.
Далее, решив систему	(5.26), получим предельные вероятности
в виде ръ р2, ..., Рі. При помощи формулы
	ь2=оРк	(5-28)
Ро = —т —		(5-28)

вычислим вероятность того, что все обслуживающие врачи сво бодны.

127

После этого с помощью соотношения

Рк = РкРо = ^ Р о

(k = Т7л)

(5-29)

можно определить вероятность того, что в системе обслуживания

находится точно k (k = 1 , п) пациентов.

Вероятность того, что все обслуживающие врачи заняты, т. е. того, что в системе обслуживания п пациентов, можно вычислить по формуле

п-\-т
77 = У, рк.	(5.30)
k=n

Среднее число пациентов, ожидающих начала обслуживания в

системе обслуживания,

Мг = 2 ( / г — n)pft.	(5.31)
к=п

Среднее число пациентов, находящихся в обслуживающей сис теме,

М2= Ъ крк.

/г= 1

Среднее число врачей, свободных от обслуживания, определя ется по формуле

М8 = 2 ( л - * ) / Ѵ	(5.32)
fc=о

Далее, определим время ожидания пациентом начала обслужи вания. Это время является случайной величиной, так как оно за висит от того, сколько длится удовлетворение каждого требования, а это — величина случайная и зависящая от количества пациентов, стоящих в очереди, и многих других причин.

Обозначим через ß время ожидания обслуживания, тогда задача оценки времени ожидания пациентом начала обслуживания сводится к отысканию функции р {ß > t}, т. е. вероятности, с ко торой время ß пребывания в очереди превосходит время t. Итак, вероятность того, что время ожидания начала обслуживания ß будет больше заданного времени t, можно найти по формуле

(5-33)

k = n s = 0

Таким образом, при помощи решений системы (5.26) опре деляются основные вероятностные характеристики, описывающие функционирование исследуемой системы медицинского обслужива ния.

В описанном методе предусматривается возможность автома тического поиска наилучшей организации процесса обслуживания путем анализа функционирования системы обслуживания при раз

128

личных соотношениях между потоком пациентов и количеством обслуживающих врачей.

Подобное исследование требует многократного составления и решения большой системы уравнений (5.26), а выполнение таких вычислительных процедур возможно только на современных ЭЦВМ.

2.Методы решения больших систем уравнений

Впредыдущем параграфе подробно изложены методы моделирова ния процесса медицинского обслуживания населения. Показано, что проблема наилучшей организации процесса медицинского обслуживания приводит к необходимости решения и исследования больших систем уравнений: в общем случае — систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными ко эффициентами, а в частном (при наличии предельных вероятнос тей) — систем неоднородных алгебраических уравнений вида

		АР =		Ь,		(5.34)
где	аіі	а 12	0		. . .	0 “
А =	ß 21	а 22	а 23	0	. . .	0
А =	0	а 32	азз	а ЗІ	. . .	0

		_ 0	0	0	• • • О.п,п_
Р =	Рі	Р 2		Рп .	ь = [ Я , о , о ,	, 0 ].
Р =	Рі				ь = [ Я , о , о ,	, 0 ].
	Ро	Р о ’ ' ’ ‘	’	Р о	’

Для исследования подобных больших систем уравнений разра ботаны различные методы.

Одним из наиболее практически целесообразных является ме тод, разработанный В. К. Кабуловым (20]. В. К. Кабулов установил некоторые свойства алгебраических систем уравнений и разработал метод вычисления корней подобных больших систем. Предложенный В. К. Кабуловым метод решения таких систем алгебраических урав нений заключается в следующем. (Рассмотрим метод В. К. Кабулова в нашей интерпретации [17].) Пусть дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений вида

allPl а12р2 — ^1 >
а2іРі "Ь а2іРі	а23Рь ~	0 ,
й 32р3 +	а ЗЗРз +	а З іР і	—
			(5.35)
&п—1,л—2Рп—2+ ПД—1tn—\р п—1 ф- а п— і мр п = 0,
		^п,п— 1Рп— 1 “Ь ОппРа = 6 ,
		« . - >	с о .

9 4-628

129

Вначале, последовательно исключая переменные ри р2> •••> Рп—і» систему (5.35) приводим к виду

ДіРі + апР2 =

^ 2р2 а2зРз ~

ДзРз "Ь аЗіРі ~

(5.36)

Д/г—lPfc— 1 + а/г—l,kPk=(~ 1)2Ä '^1 >

где

Д* = Й/г/гД/г—1 — О/г—Цгй/г,/г—1

(/г == 1 , л ); Д 0 = 1, Йо* = а /г0 = 0 .

Далее, с помощью системы (5.36) легко вычисляем все корни ис ходной системы (5.34) по формулам

Pk —К— ^	' ^1— °/г.Н-іР/г-и]>
	(5.37)
Р п = ( - i f - 1А -	Ф = \7п).

Отметим, что полученные рекуррентные соотношения удобно реализовать на современных ЭЦВМ, что позволяет намного сэко номить машинное время для счета.

Таким образом, решение больших систем алгебраических урав нений сводится к вычислению следующих величин:

а)	Ді = ап ,
	Дг — @22^1	^12^21>		(5.38)
	Дз ~ @33^2	2	2	(5.38)
	Дз ~ @33^2	Йзйз ,

б)

(5.39)

(5.40)

Рі —

l^i

^ігРгІ-

130

Воспользовавшись соотношением 2 Pi — 1> находим

/=і

ПП

	Ро =
	2	рі
затем	рір0= pt	(i = l, п).

Итак, вычисление всех вероятностных характеристик систем медицинского обслуживания легко провести с помощью алгоритмов

(5.38) — (5.40).

Т а б л и ц а	11. Решение	и исследование	системы уравнений (5.39)
	Х І	*1+1	Х ! + 2	ь,
1	« п	0\|2	0	Ьі
2	а г \			b i
3	а зг	°зя	а ЛІ	b 3
л — 1	а п — 1, п — 2	а п —I, п —1	а п —1, п	b n — \
п	а п , п — 1	а п п	0	b n

Рассмотрим разработанный нами способ решения и исследова ния системы уравнения (5.39), подобный методу Гаусса. Для этого коэффициенты уравнений (5.35) поместим в определенной последо вательности (табл. 1 1 ).

Затем элементы первой строки этой таблицы разделим на а11г

после чего получим строку	в виде
1	а $ 0 Ь[1),	(5.41)
где

Из преобразованной строки (5.41) легко получить рекуррентное соотношение

Рі =	,u>:	(5.42)
	— ßiâ'/V

9 ;

131

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ