книги из ГПНТБ / Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем

Чтобы вычислить коэффициент полинома (4.82), достаточно привести матрицу А к нормальной форме Фробениуса

Для этого введем в рассмотрение матрицу

112

Приняв матрицу Сі 'ЛС за исходную, повторим процесс и полу­ чим

После приведения исходной матрицы А к форме Фробениуса характеристический многочлен уравнения (4.83) можно вычислить так:

Остается определить корни полученного многочлена (4.89).

Для решения этого полинома можно воспользоваться методами выделения квадратных множителей. Полученный полином предста­ вим в виде квадратных множителей

Решая последовательно эти уравнения, находим все возможные корни типа

Ѵ ж = - 4 " ± ] / " ( 4 " ) - $ (£‘ = (4.93)

Итак, вычисление корней полинома (4.90) сводится к определе­

нию коэффициентов ql‘\ qi!) (i = 1, k) полинома (4.91). При этом наиболее целесообразным нам кажется метод Хичкока, заключаю­ щийся в следующем.

Хичкок разработал метод решения этой системы, который по существу является методом Ньютона с той лишь разницей, что по

методу Хичкока не используется явный вид многочленов Р fa!” , ^” ’)

и Q fa!1', р2(1)), а их значения и значения производной находятся пу­ тем двукратного деления многочлена (4.90) на приближенное вы­ ражение

114

Q’?!(1) to lV 0) = 92* Я (?'!)?22)).

(4.101)

(1) fa i'V ’) = — R (<?11 )? 2 ^

42

ь( < ? Г .

Всоответствии с методом Ньютона находим последующие при­ ближения q[l) к и <7 2 ’ *.

В. Э. Милн [18] предложил следующий алгоритм для осуществле­ ния этой последовательности.

Деление F (к) на трехчлен g2 (к) производится по схеме

116 .

Гл а в а 5. АНАЛИЗ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПОТОКОВ

ИСИНТЕЗ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ

СИСТЕМ МЕДИЦИНСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

1. Метод анализа и синтеза информационных потоков

Одной из сложных и перспективных проблем современной меди­ цинской кибернетики является разработка методов оптимальной организации процесса медицинского обслуживания населения с целью максимального удовлетворения потребности в квалифици­ рованной медицинской помощи. Подобные методы можно построить на базе теории вероятности.

За последние годы появились такие новые научные направления, как теория игр, теория поиска, теория массового обслуживания и др.

Идеи и методы теории массового обслуживания за последнее время приобретают широкое применение при решении многих прикладных задач. Однако необходимо отметить, что круг практи­ ческих задач, решаемых методами теории массового обслуживания, непрерывно расширяется. Методы массового обслуживания с боль­ шим успехом могут использоваться при исследовании динамики функционирования сложных систем медицинского обслуживания, для автоматизированного управления и планирования различных медицинских мероприятий.

На начальное развитие теории массового обслуживания особое влияние оказал датский ученый А. Н. Эрланг (1878—1929). Эта теория, опираясь в основном на аппарат теории вероятности, касается изучения информационных потоков в различных систе­ мах.

Целью теории массового обслуживания является не изучение какого-либо конкретного обслуживания, а разработка методов ре­ шения, типичных для данной ситуации задач. В теории массового обслуживания разработаны математические методы определения ос­ новных вероятностных характеристик процессов массового обслу­ живания, оценки качества функционирования обслуживающей си­ стемы. Поэтому в современных условиях, когда заметно возрастает роль здравоохранения в жизни общества, решение вопросов организации и управления органами здравоохранения на базе тео­ рии массового обслуживания приобретает большую практическую ценность.

В этом аспекте важной теоретической и практической проб­ лемой организации и управления здравоохранения является опти­ мальное определение соотношения между требуемым и наличным числом обслуживающих врачей.

117

; Для исследования медицинского обслуживания'населения функ­ циональными органами здравоохранения эту систему детерминированно представим в виде системы уравнений Эрланга. Медицин­ ская система состоит из п обслуживающих медицинских работников, а поток больных, нуждающихся в обслуживании (входящий поток), удовлетворяет всем требованиям простейшего потока. При этих предположениях функционирование упомянутой системы медицин­ ского обслуживания можно описать при помощи марковских про­ цессов.

С целью применения методов теории массового обслуживания для исследования функциональных органов здравоохранения смо­ делируем эту систему для различных случаев.

1. Система медицинского обслуживания с потерей пациентов.

2.Система медицинского обслуживания с ожиданием.

3.Системы медицинского обслуживания с ожиданием и условной потерей пациентов.

Как увидим из последующего изложения, функционирование предполагаемых трех видов систем медицинского обслуживания будет отличаться друг от друга.

1.Пусть система медицинского обслуживания относится к системам с потерей пациентов, т. е. пациент, поступивший в си­

стему обслуживания и обнаруживший занятость всех медицинских работников, покидает ее, не ожидая начала обслуживания. Система обслуживается п врачами. Если в момент поступления следующего пациента будет свободный врач, то он тут же приступит к обслужи­ ванию. Предположим, что время обслуживания одного пациента подчинено показательному закону с параметром ѵ, т. е. вероятность того, что время обслуживания у меньше t, можно записать следую­ щим образом:

пациента.

В систему обслуживания поступает простейший поток пациен­ тов с параметром X (к — математическое ожидание числа пациентов, поступающих в систему обслуживания за единицу времени).

Основным критерием функционирования такой системы обслужи­ вания является вероятность отказа. Кроме того, представляет определенный практический интерес и такой критерий, как среднее число врачей, занятых в обслуживании. Первый критерий харак­ теризует соотношение потоков обслуженных и ушедших пациентов, т. е. полноту обслуживания входящего потока пациентов, а вто­ рой — степень загрузки обслуживающих врачей.

Конечной целью решения этой задачи является вычисление вероятности отказа и математическое ожидание числа занятых обслуживающих врачей. При наличии изложенных выше рассуждений функционирование таких систем обслуживания можно

118

исследовать при помощи систем однородных линейных обыкновен­ ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

где Po — вероятность того, что система в данный момент полностью

Итак, задача отыскания неизвестной функции вероятности при­ водит к решению систем га + 1 линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами относительно неизвестных р0 (t), рх (t), ..., рп (t) функций.

Интегрируя систему (5.2), получим все неизвестные функции

P i (t) (/ = 0, га). Для определения произвольных постоянных, вхо­ дящих в решения, можно использовать условие

Если нас будут интересовать предельные значения этих неиз­ вестных pi (t) (i = 0 , га), то, воспользовавшись предельной теоремой:

для того чтобы вероятность рк (t) при t -*■ оэ (й = 0 , га) имела пре­ дел рк независимо от начальных состояний, необходимо и достаточ­ но, чтобы к этим же пределам стремились условные вероятности Ріі при любом начальном состоянии і [19], получим систему од­

систему однородных алгебраических уравнений (га + 1 )-го порядка приведем к системам неоднородных линейных алгебраических урав­ нений га-го порядка относительно неизвестных предельных вероят­

119

ностей pk (k = 1 , л) в виде

—(к + v) рх + 2 vp2= К, hPi ~ ß + 2v) p.2-f 3vps =

~X~

0

Таким образом, задача определения вероятностных характе­ ристик системы медицинского обслуживания свелась к исследованию системы неоднородных линейных алгебраических трехчленных уравнений л-го порядка, методы решения которых изложены ниже.

120

Первое отношение в (5.8) характеризует вероятность того, что все обслуживающие врачи свободны, а второе — что в обслужи­ вающей системе находится точно k пациентов, т. е. обслуживанием пациентов занято k врачей. Следовательно, математическое ожи­ дание числа врачей, занятых обслуживанием пациентов, можно вычислить по формуле

Итак, решение системы (5.6) позволяет легко получить основ­ ные вероятностные характеристики, необходимые для определе­ ния функционального состояния системы медицинского обслужи­ вания. Кроме того, задаваясь различным количеством обслуживаю­

и решения системы уравнении (5.6). А это сопряжено с большими вычислительными трудностями, так как нарастающее количество обслуживающих врачей приводит к монотонному нарастанию порядка системы уравнений (5.6).

Следовательно, исследование деятельности функциональных ор­ ганов здравоохранения при помощи методов теории массового

медицинского обслуживания, будет находиться в ней до тех пор, пока его не обслужат. Предположим также, что общее число па­ циентов. нуждающихся в медицинском обслуживании, ограничено. Тогда можно сформулировать следующую задачу.

Пусть обслуживающая система состоит из конечного числа об­ служивающих врачей. Каждый врач может одновременно обслужи­ вать одного пациента. Если в момент поступления очередного па­ циента в системе обслуживания есть свободные врачи, то один из них немедленно приступит к его обслуживанию. Если же все врачи заняты, то пациент становится в очередь и ждет, пока освободится один из врачей. И в этом случае будем считать, что время обслужи­ вания одного пациента есть случайная величина у, подчиняющаяся

показательному закону распределения Р {у <Ц} = 1 — е~ѵі.

121