книги из ГПНТБ / Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем

F =

0

Далее, обратив матрицу М и умножив уравнение (4.34) слева на

Таким образом, получим систему неоднородных дифференциаль­ ных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами.

Далее, исследуя сложную многомерную динамическую систе­

102

где

Итак, исследование сложной многомерной динамической систе­ мы, являющейся моделью некоторой биосистемы, свелось к иссле­ дованию систем неоднородных дифференциальных уравнений с по­ стоянными коэффициентами.

Для решения такой системы необходимо сначала найти решение однородной системы, затем частное решение неоднородной. Сумми­ руя эти решения, получим общее решение неоднородной системы.

Найдем решения однородной системы. Для этого рассмотрим

(D + E\)G = 0.

Чтобы эта система имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

Произвольный постоянный вектор а определяется из граничных условий.

103

Воспользовавшись начальными условиями, получим систему не­ однородных алгебраических уравнений относительно неизвестного вектора а в виде

_«я_ _лГ

г] — вектор начальных условий.

Из системы (4.44), обратив матрицу В и умножив на т), находим

Далее, подставляя (4.45) в (4.43), получим общее решение одно­ родной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с по­

Итак, частные решения системы (4.37) строятся методом вариа­ ции произвольных параметров Лагранжа. Чтобы получить эти решения, надо вычислить коэффициенты системы (4.37), найти соб­ ственные числа и собственные векторы с требуемой степенью точ­ ности и, наконец, решить систему уравнений (4.44).

Из изложенного легко заметить, что исследование сложных многомерных динамических систем требует разрешения ряда слож­

Для определения первых собственных чисел и собственных век­ торов данной матрицы D зададимся начальным вектором

у(°) = у(0 ) |y(0)f „ ( О )

У2 .

104

иобразуем последовательные итерированные векторы У(1) = У(1) (уі1’, у%\ . . . , уУ),

у(2) = у (2) {у?\ Уі( \ . . . . А

(4.48)

у(*> = {у}», уР, ..

где

у(*) __ £)y(ft—1)

Рассмотрим отношение компонент двух соседних итерированных, векторов

~у (ft)

Для определения следующих собственных чисел и собственных

Уі= і

щв'і - ] / і шп т

Образуем матрицу

105

которая имеет те же собственные числа и собственные векторы, что и матрица D, за исключением первого собственного числа, вместо которого появляется нуль.

Поэтому при помощи изложенного итерационного метода на­ ходим наибольшее собственное число и принадлежащие ему соб­ ственные векторы матрицы D1# Это и будет вторым собственным числом и вектором для матрицы D.

Таким образом можно найти все собственные числа и принад­

Умножая это равенство на Y c и пренебрегая малыми величина­ ми высших порядков, получим

106

Аналогично, умножая /г на Y[k\ будем иметь

Итак, уточнение системы собственных чисел и собственных век­ торов сводится к их последовательному уточнению.

1. Задаются системы приближенных собственных чисел и соб­ ственных векторов вида

2. Вычисляются векторы невязки

Если в знаменателе получается ^ — %{ = 0, то вместо а}1' пи­ шется нуль.

6 . Вычисляются компоненты вектора 8У\0):

7. Вносится поправка вектора Уі0) в виде уШ = у(0) + 8Yi0)'

107

\\У \

9.Производятся соответствующие изменения; весь процесс пов­

Для матрицы большого порядка точность вычисления последую­ щих собственных значений может снизиться. В этом случае целе­ сообразно воспользоваться методом «заброса», т. е. вычесть собст­

венные ближайшие к заданному Xq значения матрицы

Dx = ( D - X 0E)~l.

Метод вычисления комплексных собственных значений. Решение векового уравнения при наличии комплексных собственных чисел является одной из сложных задач вычислительной математики. В на­ стоящее время общая математическая теория определения комплек­ сных собственных чисел еще далеко не разработана. Вместе с тем современное развитие техники ставит перед исследователями все более сложные задачи. Большинство из них требует определения комплексных собственных чисел действительной матрицы высокого порядка.

Ниже описывается метод, разработанный для вычисления комп­ лексных собственных чисел и принадлежащих им собственных век­ торов действительной матрицы высокого порядка [16].

Пусть задано характеристическое уравнение вида

Если матрица А — вещественная, а ее собственные значения комплексные, то каждому комплексному значению X соответствует

комплексно-сопряженное значение X, т. е. X = а — iß.

Таким образом, в этом случае всегда будут по меньшей мере две разные матрицы собственных значений и отношение компонент итерированных векторов уже не даст величину собственного зна­

лексно-сопряженным значениям Хг и Х2. Произвольный начальный вещественный вектор

Любую компоненту вектора A kY2можно записать таким образом:

Ю8

В выражение (4.66) входит множитель cos (kv + а), с измене­ нием номера итерации значение его колеблется по величине и знаку.

Из равенства (4.66) с точностью до членов второго порядка мож­ но показать, что

Исходя из последовательности векторов AkY0, можно найти собственный вектор

х = 1 + Щ.

Вектор AkY0, если пренебречь членами порядка (^3А і)\ можно представить в виде

Следовательно, вектор AkY0стремится к вещественной части соб­ ственного вектора, умноженного на комплексный коэффициент 2 АС. Мнимую часть этого вектора

109

Так как собственный вектор определяется с точностью до про­ извольного комплексного множителя, то за его вещественную часть

можно принять AkY 0, а мнимая будет определяться по формуле (4.74). Таким образом, и в этом случае процесс последовательных при­ ближений может дать собственные числа и собственные векторы. Для нахождения следующих собственных значений можно ис­ пользовать свойство ортогональности собственных векторов мат­ рицы к собственным векторам транспонированной матрицы А 1. Можно показать, что собственный вектор X пропорционален векто­

ру М*У0 - Ак+1 Y 0.

Действительно

Используя эти два выражения, матрицу А можно преобразовать таким образом, чтобы полученная матрица имела все собственные значения матрицы А за исключением первого.

Перепишем уравнение (4.77) в виде

ПО

Далее, подставив X = NX в исходное уравнение АХ = XX, получим

ANX = XX.

Матрица N имеет первый и п-й столбцы, равные нулю. Следова­ тельно, в произведении AN = А2 эти столбцы равны нулю. Можно показать, что матрица А2 имеет те же собственные значения, что и матрица А, за исключением первых двух комплексно-сопряженных значений.

Для нахождения первых собственных значений матрицы А 2, т. е. второй пары сопряженных собственных значений ее, следует применить уже описанный итерационный процесс.

Изложенный выше метод позволяет находить все комплексные собственные значения и принадлежащие им собственные векторы данной матрицы. Допущенные в этом методе погрешности при опре­ делении предыдущих значений распространяются и на следующие значения. Таким образом, происходит накопление погрешности. Особенно погрешность увеличивается при высоком порядке матри­ цыЛ.

Методы вычисления любого собственного числа действительной матрицы. Из изложенных методов вычисления собственных значений и принадлежащих им собственных векторов легко заметить, чтовычислительная процедура, весьма удобно реализуемая на совре­ менных ЭЦВМ, имеет и существенный недостаток, заключающийся в накоплении погрешности.

Кроме указанных, в вычислительной математике существует ряд других численных методов вычисления собственных значений; в частности методы, основанные на предварительном раскрытии характеристического уравнения и получении полинома от X, т. е.

лежащих им собственных векторов не представляет особого труда. Итак, в данном случае определение собственных значений тре­ бует вычисления коэффициентов полинома (4.82), затем с помощьючисленных методов — определения их корней (4.82), и, наконец, по найденным собственным значениям — построения всех принад­

лежащих им собственных векторов.

Для вычисления коэффициентов полинома (4.82) можно реко­ мендовать видоизмененный метод [17], заключающийся в следующем.

_ ап\ ап2 •• •&пп _

111