книги из ГПНТБ / Кадыров, Х. К. Синтез математических моделей биологических и медицинских систем

Далее, вводя обозначения

Lm^ (t) = т%(О,

Таким образом находим каноническое разложение неизвестной случайной функции %((), описывающей выход системы. В этом раз­ ложении оператор L нужно определить.

Рассмотрим случай, когда оператор L описывается линейным

дифференциальным уравнением п-го порядка с постоянными коэффи­ циентами в виде

Известно, что при линейном преобразовании случайной функции

Аналогично каждая из координатных функций должна удовлет­ ворять такому же дифференциальному уравнению

92

Введем начальные условия, при которых должны интегрировать­ ся системы (4.6) и (4.7). Рассмотрим случай, когда начальные усло­ вия являются неслучайными. Здесь при t = 0 имеем

Так как %r — неслучайная величина, то дисперсия выражений

93

для интегрирования системы линейных неоднородных дифференци­ альных уравнений (4.6) и (4.7). Коэффициенты системы линейных

обыкновенных дифференциальных уравнений ас и Ь/ (і — 1, т), Ц = 1, т) определяются следующим образом.

Рассмотрим случай, когда система обыкновенных линейных не­

Для удобства дальнейшего изложения введем следующие обо­ значения:

' В этих обозначениях систему (4.12) можно переписать в виде

94

а 20Х 20 ( 0 + а 21х 21 ( 0 + ' ' * + ^ 2 п - І х 2 п - 1 ( 0 + а.2пХ 2п ( 0 = У і ( 0 >

втОХтО ( 0 ~ Ь Ят іХт І ( О ~ Ь ‘ ' + Ятп—1х тп—1 ( О + &тп%тп

(4.13)

Коэффициенты ац (і = 0, /п; / = О, п) — неизвестные, требующие определения. Чтобы их найти, воспользуемся методом наименьших квадратов. Введем в рассмотрение функционалы

Условия минимизации позволяют получить системы линейных неоднородных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов

dS/lUji, I)

Таким образом, при / = 1 получаем систему линейных неодно­ родных алгебраических уравнений относительно неизвестных а00, а01, а„о, ..., йоп, при /' = 2 — новую систему уравнений относительно неиз­ вестных коэффициентов а10, ап , а12, ..., йі„,а при / = т — систему уравнений относительно неизвестных ато, ат\. Находим т + 1 систему линейных неоднородных алгебраических уравнений п-го порядка

Определение неизвестных коэффициентов ац свелось к решению системы линейных неоднородных алгебраических уравнений п-го порядка относительно неизвестных ац. Решая систему (4.16) после­ довательно для соответствующих значений индекса (6 = 0, 1,2, ...

..., ггі), получим

а (б) = ß (6>~V6).

95

Подставляя найденные значения коэффициентов в систему диф­ ференциальных уравнений (4.12) или (4.13), получим систему ли­ нейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка с постоянными коэффициентами

где п означает производную по времени.

Математическое моделирование динамики системы, описываемой взаимоотношением случайных функций X (t) и т] (t), заданных своими каноническими разложениями в виде (4.1) и (4.2), привело к реше­ нию т + 1 линейных неоднородных обыкновенных дифференци­ альных уравнений (п +■ 1)-го порядка с начальными условиями (4.11). Для решения полученных систем линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений мы разработали ал­ горитмы и стандартные программы.

2.Синтез динамических моделей сложных многомерных систем

Применение математических методов в биологических исследова­ ниях за последнее время приобретает широкое распространение. Характерно, что круг биологических и медицинских задач, решае­ мых методами современной математики, непрерывно расширяется. Если раньше в качестве основных областей приложения математи­ ческих методов указывались технические задачи, то в настоящее время они находят широкое применение при исследовании динамики функционирования сложных биологических систем. Часто живую систему можно представить в виде сложной взаимосвязанной мно­ гомерной динамической системы, исследование которой с помощью методов математического моделирования становится реальным. Да­ лее предположим, что исследуемый сложный биологический продесс характеризуется взаимодействием некоторых факторов, опи­ сываемых соответственными случайными функциями Лі (0* "Пг (0> г)з (£),..., т]л (t), для определения которых можно воспользоваться результатами испытаний, проведенных над каждым набором слу­ чайных факторов в течение определенного промежутка времени. При наличии результатов испытаний неизвестную случайную функ­ цию можно приближенно заменить ее математическими ожиданиями или, более точно, каноническим разложением. Как известно, точ­ ность подобной аппроксимации зависит от количества испытаний над этими факторами. Далее функциональную деятельность иссле­ дуемого биологического процесса смоделируем при помощи системы линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений

95

определения. Эти коэффициенты, вообще говоря, являются перемен­ ными, зависящими от времени, а система уравнений (4.19) — систе­ мой линейных однородных обыкновенных дифференциальных урав­ нений с переменными коэффициентами.

С целью облегчения исследования рассмотрим случай, когда все эти коэффициенты постоянные, т. е.

ац (і = 1, п; / = 1, п) = const.

Здесь задача определения неизвестных коэффициентов сводится к следующему. Пусть над исследуемой системой произведено т не­ зависимых испытаний за определенный промежуток времени и в результате опыта определены соответственно т дискретных реализа­

Воспользовавшись дискретными значениями случайных функ­ ций, можно определить неизвестные коэффициенты системы (4.19).

ствующих случайных функций.

Неизвестные коэффициенты ац (і = 1, я; /' = 1, я) подберем так, чтобы функционалы (4.20) обратились в минимум.

Раскрывая условия минимизации, получим систему я линейных неоднородных алгебраических уравнений я-го порядка относитель­ но неизвестных коэффициентов ац, матричная форма которых сле­ дующая:

Следовательно, определение всех неизвестных коэффициентов системы (4.19) сводится к вычислению элементов обратной матрицы В и произведению матрицы на соответствующий вектор. Эти действия легко программируются на современных ЭЦВМ. Внося получен­ ные значения неизвестных коэффициентов из (4.22) в исходную си­ стему уравнения (4.19), получим систему линейных однородных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэф­ фициентами

98

Итак, исследование сложных систем или процессов свелось к исследованию систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (4.24).

Исследуем систему (4.24), частные решения которой представим

Хапеи — а,лахеи — ап2а2еКІ — . . . — аппапеи = 0.

Сократим эти уравнения на е\*и преобразуем их:

Нас будут интересовать только ненулевые решения системы (4.27), которые сводятся к условиям

(4.28)

Такая система называется вековым или характеристическим уравнением для системы (4.24). Далее, раскрывая (4.28), получим уравнение

которое имеет п корней Хъ Х2, ..., Хп. Здесь возможны следующие варианты:

Пусть Xj найдены и все они действительные и различные, т. е. Хх Ф Х2 ф Х3 ф ... Ф Хп, тогда все частные решения принимают

а П? °^І2 > • • ■> °Лл,

®-2 1 > ®^2 2 і • • • » ®2л»

OCnl» OS/(2, . . . j CXnn

определяются решением следующих систем однородных алгебраи­ ческих уравнений:

100

дифференциальных уравнений и на их основе — общие решения исходной системы

где произвольные постоянные интегрирования С, определяются изначальных условий (4.25).

3.Синтез параметров динамической модели

Как было показано выше, взаимоотношение двух случайных фак­ торов 1 (t) и г| (t), обуславливающих состояние биосистемы, описы­ валось дифференциальным уравнением я-го порядка с постоянными коэффициентами вида

которое после замены переменных можно переписать так:

101