книги из ГПНТБ / Гинзбург, И. Б. Автоматическое регулирование и регуляторы в промышленности строительных материалов учебник

Общее уравнение звена можно записать в операторной форме:

(T2p2 + Tip+\)y= (k{p + kz)x.

Уравнение звена составляется на основании физических зако­ нов, которые описывают протекающие в звене процессы.

Звенья удобнее всего представлять в виде электрических це­ пей, состоящих из сопротивлений R, индуктивности L и емкости С. Зависимости между напряжением V и током / для таких цепей имеют вид:

функцией звена системы W (р) называется отношение выход­ ной величины звена к его входной величине при всех значе­ ниях. Передаточная функция определяет реакцию звена на единичное скачкообразное изменение входной величины. Она является решением дифференциального уравнения звена при ус­ ловии, что входная величина х изменяется на единичный ска­ чок.

Классификация звеньев обычно проводится по их динами­ ческим свойствам, анализ — по передаточным характеристикам при единичном входном воздействии. Количество типов звеньев, на которые могут быть разбиты все реальные элементы систем автоматического регулирования, невелико. Различают следую­ щие типовые звенья: безынерционное, инерционное, колебатель­ ное, интегрирующее, дифференцирующее и запаздывающее.

Безынерционное, или пропорциональное звено (рис. 26). Вы­ ходная величина в безынерционном звене пропорциональна входой величине в каждый момент времени. Уравнение звена

y = kx.

Коэффициент пропорциональности k называется коэффициен­ том усиления, или передаточным коэффициентом звена.

Передаточная функция звена обозначается через W (р) и для безынерционного звена имеет вид

W(p)=y/x = k.

40

Из уравнения звена следует, что безынерционное звено пере­ дает сигнал мгновенно, без динамических переходных процес­ сов. На рис. 26, в представлен характер изменения во времени выходной величины у безынерционного звена пр.и подаче на его вход постоянной входной величины х0. Такое звено называют также усилительным. На рис. 26, б дан пример безынерцион­ ного звена в виде потенциометра. Передаточная функция его будет иметь вид

W(p)=y /x = R2/(Rl + R2).

Кроме потенциометра, примерами безынерционного звена могут служить также электронный усилитель, рычажная передача, механический редуктор.

Инерционное звено (рис. 27). Инерционному звену первого порядка соответствует дифференциальное уравнение

Т■dy/dt + y=kx .

Воператорной форме (Tp+l)y = kx.

Передаточная функция звена (рис. 27, а) имеет вид

W(p)=k/(Tp + \),

где k — коэффициент усиления звена; Т — постоянная времени.

Если на вход инерционного звена подать единичное ступен­ чатое воздействие х0, то переходный процесс опишется экспо­ ненциальной функцией на выходе вида

y — kx{ 1—e~t/T),

что является решением дифференциального уравнения. Переходный процесс звена имеет вид, изображенный на

рис. 27, г.

Выходная величина апериодически (по экспоненциальному закону) будет стремиться к новому установившемуся значению.

Постоянная времени Т имеет размерность времени. Физиче­ ский смысл постоянной времени ясен из рис. 27, г. Она опреде­ ляется как время, в течение которого выходная величина дос­ тигла бы своего нового установившегося значения, если бы она изменялась с постоянной скоростью, равной скорости изменения ее в начальный момент времени.

Постоянная времени определяет динамические свойства инерционного звена. Чем она меньше, тем быстрее протекает переходный процесс в звене, и наоборот. В частности, при Т=О процесс протекает в звене мгновенно, и инерционное звено пре­ вращается в безынерционное. Время переходного процесса, т. е. время, в течение которого выходная величина практически бу­ дет равна новому установившемуся значению, равно примерно трем постоянным времени:

tp = 3T.

41

88%, при t — ЗТ—95%. Такое звено иногда называют апериоди­ ческим.

На рис. 27, б, а представлены примеры инерционного звена первого порядка в виде /?£-контура и 7?С-контура. Передаточ­ ная функция для RL-контура имеет вид

W (р) —y/ x = R/ (R + pL) = 1 /(l+p-L/R) — 1/(\+рТ),

где T=L/R — постоянная времени ^L -контура. Передаточная функция для ^С-контура

W(p)=y/x= 1 :pC/(l:pC + R) = l/(\+pCR) = l/(\+pT),

где T=RC — постоянная времени 7?С-контура.

Инерционное звено имеет наибольшее распространение в си­ стемах автоматического регулирования. Примерами его, кроме уже приведенных на рис. 27, являются магнитный усилитель, электрический двигатель и другие устройства, в которых воз­ можно накопление какого-либо вида энергии и ее рассеивание.

Дифференцирующее звено (рис. 28). Звено называется диф­ ференцирующим, если его выходная величина изменяется про­ порционально скорости изменения входной величины, т. е. про­ порциональна ее производной и описывается уравнением

y — k ■(dx/di).

Это звено называется идеальным дифференцирующим звеном первого порядка, но на практике невозможно точно его осу­ ществить, так как все физические процессы в природе инерци­ онны в той или иной степени, а в соответствии с уравнением идеального звена скачкообразное изменение входной величины должно вызвать мгновенное изменение выходной величины от О до оо и немедленный спад ее снова до 0. В системах регулиро­ вания применяются звенья, которые выполняют дифференциру­ ющее действие приближенно. Они называются реальными диф­ ференцирующими звеньями первого порядка.

Уравнение такого звена

Tdy/dt + y = kT dx/dt,

или в операторной форме

^(Tp+l)y = kTpx.

Передаточная функция звена имеет вид

W(p)=kTp/(Tp+\).

Переходный процесс такого звена представлен на рис. 28, в и описывается функцией вида

y = kx0-e~tlT.

43

Чем больше k и меньше Т, тем ближе реальное дифферен­ цирующее звено приближается к идеальному. Чем больше по­ стоянная времени, тем ближе реальное дифференцирующее звено приближается к безынерционному. Таким образом, реаль­ ное дифференцирующее звено занимает промежуточное поло­ жение между безынерционным и идеальным дифференцирую­ щими звеньями и приближается к тому или другому в зависи­ мости от соотношения k и Т. Такое звено иногда называют изодромным.

На рис. ,28, б даны примеры реальных дифференцирующих звеньев первого порядка в виде /^L-контура и ^С-контура.

Передаточная функция для і?/.-контура имеет вид

W(p)=y/x=pL/(R + pL)=p - ( L:R )/[ \+p (L :/?)] = = рТЦ1+рТ),

где T— LIR — постоянная времени ^L -контура. Передаточная функция для /?С-коитура

W(p) = y/x = R/(R + 1: рС) = pCR/(l+pCR) =pT/(l+pT),

I

где T= RC — постоянная времени ^С-контура.

Примерами реального дифференцирующего звена являются трансформаторы, приведенные на рис. 28 схемы и др.

Интегрирующее звено (рис. 29). Звено называется интегри­ рующим, если выходная величина пропорциональна интегралу от входной величины. В интегрирующем звене скорость измене­ ния выходной величины пропорциональна изменению входной величины.

Дифференциальное уравнение интегрирующего звена имеет вид

' Tdy/dt = kx.

Запись этого уравнения в операторной форме

Tpy = kx.

Передаточная функция звена

W(p)=k/Tp,

где k — коэффициент усиления интегрирующего звена; Т — постоянная времени.

На рис. 29, в представлен характер изменения выходной ве­ личины интегрирующего звена при подаче на его вход постоян­ ной величины х0. Переходный процесс такого звена имеет вид

у= (k:T)x0-t.

Такое звено называют также астатическим, или нейтральным. Особенностью интегрирующего звена является то, что доста­ точно самого незначительного отклонения входной величины,

44

чтобы выходная непрерывно изменялась с большей или мень­ шей скоростью. В отличие от инерционного звена выход интег­ рирующего звена не принимает с течением времени нового уста­ новившегося значения.

Примером интегрирующего звена может служить электро­ двигатель постоянного тока D (рис. 29, б) с независимым воз­ буждением, если входной величиной является напряжение Квх, а выходной величиной — угол поворота якоря а. В этом случае при изменении напряжения Увх на величину АУВХ изменение числа оборотов двигателя Ап в единицу времени .будет про­ порционально АКВХ:

Ап —k\АКвх.

Изменение угла поворота двигателя dAßBbix за бесконечно малый отрезок времени dt пропорционально изменению числа оборотов за этот отрезок времени:

dA$bbix = kzAndt, или rfAßвых/dt = k2An.

Подставив значение Ап, получим дифференциальное урав­ нение интегрирующего звена

dAQsbix/dt = kik2AVвх.

Коэффициент передачи рассмотренного интегрирующего звена k = kik2 может изменяться путем изменения величины на­ пряжения, подаваемого на обмотку возбуждения (OB) двига­

теля.

Примерами интегрирующего звена являются также поршне­ вой серводвигатель и ряд других простейших механизмов и устройств, не обладающих самовыравниванием.

Интегродифференцирующее звено (рис. 30). Кроме рассмот­ ренных, в существующих системах автоматического регулиро­ вания применяются и более сложные виды звеньев, сочетающих свойства простых звеньев. Такие звенья применяются в САР для улучшения их динамических характеристик.

Примером может служить интегродифференцирующее звено, дифференциальное уравнение которого

TKdy/dt + y = k • (TRdx/dt + x).

Передаточная функция звена

W(p)=k.(TxP+l)/(T„p+l).

Постоянная времени Ги характеризует закон регулирования по интегральной составляющей. Постоянная времени Тя характе­ ризует степень влияния производной от изменения входной ве­

личины на закон регулирования.

Аналитическое выражение переходного процесса звена имеет вид

у * й 0* [ 1+ ( Т . / Т н 1-) > - , / г »] .

46

В зависимости от величин R, Ти и Тя интегродифференцирующее звено может приобрести динамические свойства, при­ ближающие его к интегрирующему, дифференцирующему или

звено первого порядка.

Таким образом, интегродифференцирующее звено имеет больше возможностей для настройки в целях получения необ­ ходимых динамических свойств систем регулирования.

свойствами, которые придают переходному процессу всей САР колебательный характер. Такие звенья называются колебатель­ ными. Переходные режимы в этих звеньях протекают с накопле­ нием и обменом энергии между двумя емкостями.

Колебательное звено описывается дифференциальным урав­ нением второго порядка: у

Tizd2y/dt2 + T2dy/dt + y = kx.

В операторной форме

{Tl2p2+ Т2р+ l)y = kx.

Передаточная функция звена имеет вид

При Т\ = 0 звено превращается в инерционное.

На рис. 31, в показаны переходные процессы колебатель­ ного звена. Если в процессе колебаний происходит увеличение запаса энергии, полученной звеном в результате скачкообраз­ ного изменения возмущения на входе, то колебания усилива­ ются и их амплитуда растет (кривая 1). В этом случае коле­ бательное звено называется неустойчивым.

47

Если в процессе колебаний запас энергии уменьшается, то колебания затухают, и звено называется устойчивым колеба­ тельным звеном (кривая 2). Устойчивые колебательные звенья различаются степенью демпфирования (затухания).

Если звено сильно демпфировано, то переходный процесс протекает сравнительно медленно, и колебания относительно установившегося значения отсутствуют (кривая 3).

Колебательный процесс характеризуется коэффициентом за­ тухания, т. е. отношением амплитуд колебаний qi/qz и временем установления процесса (временем, необходимым для затухания процесса), когда отклонение выходной величины от установив­ шегося значения не’ превышает определенного процента. На практике обычно это составляет до 5% в зависимости от тре­ буемой точности.

На рис. 31, б дан пример колебательного звена в виде эле­ ментарного электрического контура с индуктивностью L, ем­ костью С и активным сопротивлением R.

Постоянными времени звена являются Tc =RC и Tb=L/R. Вид переходного процесса колебательного контура зависит от отношения постоянных времени Тс и TL.

Кроме приведенного примера, в качестве колебательного

в цепи якоря, обладающего индуктивностью и маховыми мас­

сами.

Запаздывающее звено (рис. 32). Запаздывающим называ­ ется звено, в котором выходная величина воспроизводит изме­ нения входной величины без искажений, но с некоторым по­ стоянным запаздыванием т:

y (t )=x( t —т),

где т — время чистого запаздывания. Передаточная функция запаздывающего звена

W( p) =e~P\

Переходный процесс запаздывающего звена при скачкооб­ разном изменении входной величины представлен на рис. 32, в, при апериодическом изменении входной величины — на рис. 32, г.

Примером запаздывающего звена может служить транспор­ тер (рис. 32, б), который загружается с одного конца матери­ алом, поступающим из бункера 1 на транспортер 2, а нагрузка измеряется весами, находящимися на конце транспортера. Ко­ личество поступающего на транспортер материала регулируется

шибером 3.

Если скорость транспортера ѵ при его длине h, то время

запаздывания звена

т=А/о [с]

и, следовательно, передаточная функция W(p) =е-<Ѵ®)р.

48

Измерение количества поступающего на конвейер матери­ ала будет зафиксировано весами не в тот момент, когда оно произойдет, а спустя время, необходимое для перемещения ма­ териала от шибера до весов. Входная величина передается на выход без искажений, только с отставанием во времени. Такое запаздывание называется чистым, или транспортным запазды­ ванием.

В большинстве сложных технологических объектов регули­ рования (таких, как шаровые мельницы, вращающиеся печи,

Рис. 32. Запаздывающее звено

котлы и др.) реальное возмущение при передаче от входа к вы­ ходу задерживается во времени и искажается по форме. Такие устройства можно рассматривать как состоящие из ряда звеньев, в том числе и звена с запаздыванием.-

Способы соединения звеньев. На практике системы автома­ тического регулирования часто представляют собой сложные соединения, состоящие из разнообразных звеньев. Такие си­ стемы можно представлять в виде сочетания трех типов соеди­

него звена. При этом выходная величина каждого предыдущего звена является входной величиной последующего звена.