книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

Пример 9. Решить уравнение

25л:3 — И * — 6 р

— 8 = 0.

(19)

Левая

часть уравнения определена на множестве

неотрицатель­

ных чисел. Преобразуем уравнение (19) к виду

25л:3 — 8 =

11л:

6 У~х.

(20)

Обозначим f (х) = 25л:3 — 8, ср (х) =

1 lx -f 6 Ух.

Очевидно, функции f (л:) и ср (л:) на [0, + со) возрастающие, / (л:) —

вогнутая,

ср (х) — выпуклая, так

как

сра (х) = 6 ] / х — выпуклая и

Поясним сказанное еще одним примером.

Пример 10.

Решить неравенство

— 1 + У 1 — 4х2

Обозначим: / (х) = У 1 — 4х2 — 1; ср (х) = — х; F (х) =

/ (х): ср (х).

и

Функция f (х) определена

на [— 0,5;

0,5],

ср(х) — на

(— оо,

0)

(0,

+ оо).

Поэтому функция

F (х)

определена

на [— 0,

5;

0)

и (0;

0,5].

Строим графики функций f(x) и ср(х) (рис. 42).

является

реше­

Из графика

видно, что полуинтервал

[— 0,5; 0)

нием

исходного

неравенства,

так

как

здесь

F ( x ) <

0 < 3,

и полу­

интервал (0,

х0],

где х0 — абсцисса

точки

пересечения

графиков

f

(х) и ср (х), также является

решением,

потому что здесь

| f

(х) |

<| ф ( х ) | , т. е. F ( x ) < 1 < 3.

Для определения х0 решаем уравнение

— 1 + У 1 — 4х2 = — х.

Получаем х0 =

0,4.

Теперь ясно,

что ср(х) на

[0,4; 0,5] изменяется

от — 0,4

до

—

— 0,5, а /(х) — от — 0,4 до

— 1. Поэтому на [0,4; 0,5]

^(х) < (— 1): (— 0,4) =

2,5 < 3.

Окончательно

— 0, 5 <1 х <0 ,

0 < х <1 0,5.

Корень

У 3 — х определен

на ( — оо, 3].

Отсюда ясно, что

левая

часть неравенства (21) определена на

[ — 1, 3], если

только

этому

сегменту не принадлежат корни уравнения

1 — 2 У З ^ х

= 0.

Решаем это уравнение:

х0 — 2,75.

Так

как х06 [ — 1,3],

то

левая

часть

неравенства

(21) опреде­

лена на

[ — 1; 2,75) и (2,75;

3], и функция

У

2 У х + 1

(22)

1 — 2 |/ 3 — jc

2 у х + 1 = 1 - 2 / 3 - х.

(23)

4 у з — х = 9 - 8х.

(24)

6 А. Б, Василевский

81

убедиться,

что х =

3,

а

следовательно,

и

(2,75;

3]

не

является

решением

неравенства

(21).

2,75) на

три

части:

Числа

хх и Л'о делят

полуинтервал [ — 1;

[ — 1,

х2], [Л'2, хх]

и~ [л-х; 2,75).

(25)

Напоминаем, что функция (22)

на

[ — 1;

2,75]

непрерывна.

Поэтому для выяснения, какие

из трех

промежутков

(25)

являются

решением неравенства (21), достаточно подставить

в

него одно из

чисел

промежутков

(25).

Возьмем

для

простоты

вычислений

х = 0, 1, 2 и убедимся,

что они являются

решением неравенства (21),

а поэтому

решением

этого

неравенства

являются:

[

1)

(лу; 2,75).

Упражнения

1.

Построить графики

уравнений

г/= х0,5 и

у = 1 — (2 +

дг): (2 — х).

Опре­

делить

по

построенным

графикам с

точностью

до

единицы

корни

уравнения

(2 + х ): (2 — х) + -V0,5 = 1.

2.

Не решая уравнения

(х +

8)0,25 = 2 +

(х — 8)0,25,

определить

число его

действительных корней и их знаки.

3.

1)

Решить уравнение (х3 -j- х2— I)0,5 +

(х3 +

х2 + 2)0,5 =

3;

2)

не

решая

уравнения

(х3 + х2 — I)0,5 +

(х3 +

х2 +

2)0,5 =

а,

определить

множество

значе­

ний а,

при которых оно не имеет действительных корней.

4.

Найти

графическое решение уравнения х*(2х +

15)

°'5t4- (2х +

15)0,s= 2x.

5. Сколько решений имеет система уравнений

fд.-2 + 5)0-5 +

(г/2 — 5)0-5 = 1 5 ,

х- + у 2 = 13?

6.

Решить неравенство (8 — х)0,5 -|- (3 — х)0,5 > (26 + х)0,5.

7.

1)

Построить график функции

2) указать множество значений а,

при которых уравнение

/ х2 — 7х + 12 °-5 = а

\ х2 — 2х — 3 /

имеет одно решение (ни одного решения).

8.

Построить график уравнения у — (5 — х — 6х—1)0,5.

9.

1) Построить графики

уравнений у = ( — Зх + х2)0,5 и у =

4 — х;

2) ре­

шить уравнение ]Лк2 — Зх = а — х. При каких значениях

а множество решений

этого уравнения пустое? Состоит из двух элементов? Из одного элемента?

10.

1) Построить графики

уравнений у =

(х4 — 2х2Н-1)0,5 и у =

1 — х;

2) за­

писать множество решений неравенства

(х4 — 2х2 +

1)0,5>

1— х.

11.

Решить неравенство

х — 7

(4х2 — 19х+ 12)0,5 <

12.

1) Построить график функции // =

(9 — х)0,5— (4 — х)0,5 и

доказать, что

эта функция достигает

своего

наибольшего

значения при

х =

4; 2)

при каких

значениях

а неравенство

(9 — х)0,5 — (4 — .v)0,5 < а верно при

всех х <

4?

13.

1)

Построить график

функции

у =

0,5 (а — 4х2)0,5 при некоторых зна­

чениях

параметра я; 2) при каких значениях

а уравнение х — 1 = 0 , 5

(а — 4х2)0,5

имеет один

корень?

14.

Из

выражений

(2 + х — х2)0,5 и х — 4 составить неравенство,

решением

которого (наряду с другими) является число 0,5.

15.

Решить уравнение Y x + а — а — Y x .

1В.

1) Построить графики

уравнений у = У х 2— х

и

у — а — х; 2)

решить

относительно х

уравнение х +

)Лх2 — х = а.

________

17.

1) Построить графики функций у = 1 — х и у = У х (2а— х) при а > 0 ;

2) решить

уравнение Y х (2а — х) = 1 — х.

18.

Решить уравнение

У а + х - а ~1+ У d + х х —1— х0,5.

19. Дан график (рис.

43)

функции вида

У = (а — х)0,5 + (6 — ах)0-5.

Найти а, Ь, с.

20.

1)

Почему уравнение

(2х — 6)0,5 + (х + 4)0,5 =

5

может

иметь

не

больше одного корня? 2) при каком значении а уравнение

(2х — 6)0,5 +

(х +

4)0,5 =

= 5а не имеет ни одного решения?

21.

Решить

неравенство (5х + 7)0,5 — (Зх + I)0,5 > (х +

З)0,5.

22.

1)

Найти наибольшее значение функции

г

• ‘

У Ч ^

+ У Ш

1

2) сколько действительных решений имеет уравнение

: _

/ | + L +

} / 2х+ I

23.

Решить неравенство У( х — 3) (2 — х ) < 3 +

2х.

24.

Решить

неравенство

(1 — х)0,5 + (1— х)~0'5 > 2.

25.

1) Построить графики функций

// = (1— 8х2)0,5 и у = 1 — 2ах;

2)

решить

уравнение

1— (1— 8х2)0,5 =

2ах и определить число его действительных

корней

в зависимости от значения а.

26.

Решить уравнение (х2— 1) (13 — х2)- 0 '5 = а ( х — 1)

и указать

число

его

действительных решений в зависимости от значения а.

27.

Решить

неравенство 2х (2х -)- 9)~0,5 < (1 +

2х)0,5 — 1.

6*

83

У х +

Чу — У 2х +

Чу = 21,5 — 2.

J

31.

При

каких значениях

а

уравнение

а(х +

1)0,5— 1 =

(х— У х + в)0,3

имеет наибольшее число решений?

32.

1)

Построить графики

уравнений

Уг = У х — \х \,

у2=

У I — х — | 1 — х | , у — У\-\- </2;

2) построить график функции у =

1 — 11 — х |; 3) даны

графики

некоторых урав1

нений (рнс. 44 и 45),

определенных на

[0,2].

Написать эти

уравнения;

4) даf

график некоторого уравнения (рис.

46),

определенного

на ( — тс,

-pro)-

Напн

сать это уравнение.

33.

1)

Построить графики функций у = У ха +

х и у — а — х

(при

некогоры>

значениях

а);

2) решить неравенство У х2 +

х < а — х.

34.

1)

Построить графики функций (/ =

0,5 ( х + 1 )

и у =

(х +

а)0,5 при

неко

торых значениях параметра о; 2) решить неравенство 2

(х +

а)0,5 ]> х +

1 ■

35.

1) Построить графики функций у =

(х— I)0,5 и у = х0,5— а

при некото­

рых значениях параметра а; 2)

решить неравенство х0,5— (х— 10,5) > а .

+

36.

Построить графики функций ух =

У а2— х2, у2=

У 2ах — х2,

у3 = уг -|:

Уг при

некотором

значении

параметра

а.

Доказать;

если

а ф 0,

то y3 > i

на

[0,

а].

37.

Решить систему уравнений

V 7 T V T - V x - / 7

= 1 , j

У х 2 — У + У х 2+ у = I.

j

38.

Решить систему уравнений

Д г + 2

/ х 2 + 1

+ (/2 =

3,

•у+

,

У ---- + У~= 0.

У х 2

+ 1+ х

логарифма.

показательного уравнения ах = b основано

Решение простейшего

на следующем свойстве степеней:

том же основании а

если

степени двух

чисел при одном и

(а > 0,

а ф 1) равны, то

равны и сами числа.

уравнения loga х = Ь

Решение простейшего логарифмического

основанию а (а > 0,

а ф 1)

равны, то

равны и сами эти

числа.

Все

логарифмические

и

показательные

уравнения

сводятся

к простейшим путем применения свойств

логарифмических

и

пока­

зательных функций.

Пример

1.

Решить уравнение

log2 (х — 1) +

log2 {х — 2) =

log2 (х + 2).

(1)

Данное уравнение определено на множестве чисел:

+

со).

(1, +

со)

П

(2,

+ оо)

П( — 2, + оо), т. е. на множестве (2,

Преобразовав

левую

часть уравнения,

имеем

log, [(х — 1)

(х — 2)] =

log2 (х +

2).

(2)

Уравнение

(2) эквивалентно

уравнению

(х — 1) (х — 2) = х + 2,

если 2 <

х <

+

оо,

отсюда найдем

= 0, х2 = 4.

Так

как

только

второй

корень

принадлежит (2,

+ о о ) ,

то

выбираем

х =

4.

Пример 2.

Решить уравнение

9.t(A._1)_0,5 = -j/g-

(3)

Представив обе части уравнения в виде степеней числа 3,

получаем

32 [л- (л — п - 0 , 5 ] _

30,5_

Отсюда

2

[л (х — 1) — 0,5] =

0,5.

lg^x — lg3x — 61gx — 0.

(4)

Это уравнение определено па

(0, + со).

Обозначим lg х = у. Получим

кубическое уравнение

такого уравнения.

Пример 4.

Решить уравнение

38 = *2-t-loEax_

(5)

Правая

часть уравнения определена при х > 0 (х=^=1).

Прологарифмируем по основанию 3 обе части данного уравнения:

8 = (2 + log3 х) log3 х.

Обозначим

log3 х — у. Имеем 8 =

(2 + у) у. Корни этого

уравне­

ния ух = — 4, у2 — 2. Таким образом,

уравнение (5) свелось

к реше­

нию двух простейших логарифмических уравнений:

log3 х = — 4, log3 х = 2.

Решив

их,

получаем ответ: Xj = 1/81, х2 — 9.

Переход к новому основанию логарифмов

Пусть

дано

уравнение log/(,)E(x) — logm(,)Al (х) = О

(F(x)> 0;

М (х) > 0;

0 < f

(х0) < 1

или f (х0) > 1;

0 < т (х0) < 1 или т (х0) > 1,

где л'0 — корень

уравнения).

от

логарифма одного

основания

Используя

формулу

перехода

к логарифму

с другим основанием:

log„M = log6 УИ: logb а,

перейдем

к основанию р (х) (0 <

р (х) < 1 или

р (х) > 1):

togpM ^O): logP(x)f (х) — logР(Х)М (х): logpWm (х) =

0.

Если учесть

требования

к f

(х),

т (х)

и

р (х),

то

полученное

уравнение эквивалентно

исходному.

Пример 5. Решить уравнение

logo.s* х'2 — 14 logie* x3 +

40 log4,

У

х =

0.

(6)

Уравнение определено на множестве положительных

чисел,

кроме тех, которые являются корнями уравнений:

0,5х =

1,

16х = 1,

4х = 1 (основание логарифма

отлично от 1),

т.

е.

х ф 2, х ^ 1/16,

х ф 1/4.

формулой перехода

от

логарифма одного основа­

Воспользуемся

ния к логарифму

с другим основанием:

logaM =

iQgftM

‘

log* a

Возьмем x в качестве нового основания логарифмов. Тогда

получим

_

log,*2 _

14log,X3 +

40log,.V

х =

Q

^

log,0,5x

log, 16х

log, 4х

Обратим внимание на следующий факт. Хотя уравнение (6) опре­

делено при х = 1,

и, более того,

подстановка показывает, что х = 1

является корнем уравнения (6), уравнение

(7)

при х = 1

не

опреде­

лено. Таким образом, будем решать уравнение

(7),

считая,

что

х ф 1,

х ф 2, хФ 1/16, х ф 1/4.

(8)

2___________ 14-3

40-0,5

Q

log* 0,5 + 1

log* 1 6 + 1

log* 4 —j—1

2

42

,

20

_ Q

У + 1

- 4 0 + 1

г - 2 у + 1

В результате тождественных преобразований последнее уравне­

ние приводится

к

квадратному:

Его корни у1 =

2if — Зу — 2 = 0.

— 0,5;

г/2 =

2.

Таким образом, получаем два простейших логарифмических

уравнения:

log* 0,5 =

— 0,5; log, 0,5 =

2.

Решив

их,

получаем лу =

4, х2 =

0,5 V 2.

Числа

4 и 0,5 ]

2

не входят в множество чисел

(8),

поэтому лу

и лу являются корнями уравнения (6).

Окончательный ответ лу = 4;

лу = 0,5 )/

2;

лу =

1.

Функциональный

подход

При решении уравнений и неравенств этим методом исполь­

зуются свойства непрерывных монотонных функций,

рассмотренные

на

с. 14 — 16.

уравнение

Пример 6.

Решить

3- 16Л' +

36А=

2-81*.

(10)

Разделим

обе

части уравнения на

81А':

81

/ ^

V81

2.

( И )

Рассмотрим

функции

гу = 3

16 У.

_

(

36

!

У = У1 +

1/2

=

1

-от

+

1/г — 2.

. 81 / ’ У2'

_

81

и

t/2

определены

на

(— со,

+ оо). Они монотонно

Функции ух

убывающие,

так

как

16:81

и

36:81

меньше

единицы.

Поэтому

функция у

монотонно

убывающая от

+ оо до — 2.

Отсюда ясно,

что уравнение (11) имеет единственное решение.

уравнение (11)

При х < 0 Ух >

3,

а (/2

1. Поэтому на (— оо, 0)

решения не

имеет.

При

х — 1 у <

0;

при

х =

0 у > 0.

Поэтому

заметить, что у — 0 при л: = 0,5, следовательно,

ответ:

х = 0 , 5 .

Пример 7.

Решить

неравенство

log2

+ + 1 > х 2+ 1.

Функция

у = X'1+

1 определена на

(— оо,

+ «»).

Она дости­

гает наибольшего значения

в точке х =

0. Поэтому

l0Ei ( " F T T

при всех x £ (—со,

со).

Функция у — х2+

1 определена

на

(— со,

+

00) и в

точке

х = 0 достигает наименьшего значения,

равного

1.

Поэтому

реше­

нием исходного неравенства является

только х =

1.

logo,5 {х2 — 2х + а) >

— 3.

(12)

Очевидно, это неравенство эквива­

лентно системе

неравенств

О < х2 — 2х + а < 8.

Отсюда

— х2-j- 2х < а < — х2-j- 2х + 8.

Построим

графики

квадратичных

функций:

а = — х2 + 2х и а = —х2 + 2х + 8

(рис. 47).

Из графиков видно, что:

неравен­

1)

если а )>9, то

решений

ство (12) не имеет;

то

xx<

л: < х2, где лу и х2— корни

уравнения

2)

если 1 <

а <

9,

а = — х2-+- 2х + 8;

3)

если а

1,

то

х\ <

х <

х3

или

х4 < х < х2, где

х{ и х2—

корни

уравнения

а = — х2 +

2х +

8,

(13)

а х3 и х4 — корни

уравнения

а = — х2 + 2х.

(14)

Теперь остается только вычислить

корни уравнений (13) и (14):