книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

метры,— это

исследование их

корней

как

функций параметров.

Это исследование можно

провести

одним

из

следующих способов:

а) решить данное уравнение / (х,

а) — О относительно неизвестного х

и исследовать

функцию х=ср(а);

б) решить уравнение / (х, а) — О

относительно

параметра

а (до решения

уравнения относительно х)

и исследовать

функцию

а = ф(х).

В ряде

случаев целесообразно

применить комбинацию обоих способов.

Пример 1.

Решить уравнение

(а2— 5а +

6)х = а2 —- 4

(1)

Л —

а2 — 5а + 6

’

( 2)

если а2— 5а + 6 Ф 0.

что х является

функцией

аргумента а,

Из равенства

(2) ясно,

поэтому, чтобы

ответить

на

вопросы

задачи,

нужно

исследовать

функцию

f(a) =

а2— 4

а2— 5а -f- 6

Так

как а2— 5а + 6 = (а — 3) (а — 2),

то

а2— 5а + 6 = 0,

если

а = 2 или а = 3.

Но а2 — 4 = 0 также

при а =

2.

мно­

Поэтому если

а = 2,

то

уравнение

(1)

имеет

бесчисленное

жество

решений.

то

Если

а ф 2 и а ф З ,

1 v >

(а + 2) (а — 2) _ а + 2

(а - 3) (а - 2)

а — 3'

При а = 3 уравнение (1) решений не имеет.

имеет

нуле­

Так как а + 2 = 0, если

а = — 2, то уравнение (1)

вое решение при

а — — 2 .

Построим

график функции

f (а)

=

CL

1 2

(рис.

26).

-

— о

Из графика

видно,

что

/ ( а ) >

0

Cl

— 2)

и (3,

-f со);

на

(— со,

/ (а) < О на (— 2, 3).

если а <

Итак, уравнение (1) имеет положительные

корни,

— 2

и а > 3. Его

корни отрицательны,

если

— 2 <

а <

3.

Пример 2.

Решить уравнение

4х2 + (а - 2) х + (а — 5) = 0.

( 3 )

Исследовать, при каких значениях па­

раметра

а уравнение

(3)

имеет:

положи­

тельные

корни;

отрицательные

корни;

один положительный и один

отрицатель­

ный корень;

равные корни; не имеет ни

одного действительного

корня.

задачи

Получить

ответ

на

вопросы

можно

двумя

способами:

отно­

1. Сначала

решить уравнение (3)

сительно х, потом заняться

исследовани­

ем его корней.

2. Решить уравнение (3) относитель­

но параметра

а

и

исследовать

а

как

Рис. 26

функцию х. Как

видим,

в

этом

случае

не

решая

исследование

корней

уравнения

(3)

можно выполнить,

уравнения

(3)

относительно х.

(3)

относительно

х,

получаем

С п о с о б

1.

Решив

уравнение

хх

-

— (а — 2) + У (а — 2)2 — 16 (а — 5)

’

g

х2

— (а — 2) -

У (а — 2)3— 16 (а — 5)

8

Обозначим: D = (а — 2)2 — 16 (а — 5) = а2 — 20а + 84.

Если

D =

0,

то

хх =

х2==---- S- (а — 2) =

(2 — а).

О

84

О

6, а2= 14.

Квадратный трехчлен а2— 20а +

имеет корни ах =

Итак,

если

а =

6, то

хг = х2 = (2 — 6): 8 =

— 0,5;

если

а =

14,

то хг — х2 = (2 — 14): 8 =

—1,5.

имеет действительных корней.

Если

D <

0, то уравнение (3) не

Очевидно, D < 0, если

6 <

а < 14.

или

а > 1 4 ,

то

уравнение

(3)

Если

D >

0, т. е.

если

а < 6

имеет два различных действительных корня.

Для

того

чтобы

хг >

0

и х 2>

0, параметр а должен удовле­

творять

следующей

системе неравенств:

4*

51

а <

б

или я >

14,

— (а -

2) +

] / а2 -

20а +

84 >

0,

(4)

— (а - 2) — | а2— 20а + 84 > 0.

Очевидно, здесь второе неравенство является следствием третьего.

Поэтому

система

неравенств (4) эквивалентна

такой системе:

а < 6 или а >

14,

)

— (а - 2) — ] / а3— 20а + 84 > 0. }

^

Решаем

последнее из этих неравенств:

— (а - 2) — У а2 — 20а + 84 > 0,

2 — а >

j/a 2 — 20a -|- 84.

(6)

Правая часть

последнего

неравенства — положительное

число.

Поэтому

2 — а >

0,

т. е. а <

2.

эквивалентно неравенству

Если

a < 2,

то неравенство

(6)

(2 — а)3 > а2 — 20а + 84

или

4

— 4а + а3 > а2 — 20а + 84,

16а > 8 0 ,

а > 5'.

Таким образом, система неравенств (4) решений не имеет и,

следовательно,

ни

при каких

значениях

а не существует

хг > 0

и хг > 0.

х-! < 0

и х2 < 0,

параметр а

Для

того

чтобы

были

должен

удовлетворять

системе

неравенств

a <

6

или а >

14,

— (а — 2) + У а2 — 20а + 84 < 0,

(7)

— (а — 2) — У а2— 20а + 84 < 0.

Очевидно, здесь третье неравенство

является

следствием вто­

рого. Поэтому система неравенств

(7) эквивалентна

системе

а <

6 или a >

14,

(8)

— (a — 2) -f V a 2 — 20a +

84 <

0.

Решаем второе неравенство системы (8):

— (a — 2) +

У а2 — 20a +

84 < 0,

У а2 — 20а +

84 < а — 2.

(9)

Итак,

система

неравенств

(8) эквивалентна

системе

неравенств

,

2 <

а <

6 или

а >

14,

|

а >

5.

|

Отсюда получаем:

5

<

а <

6 или а > 14.

Итак,

если 5 <

а < 6 или

а >

14, то х'х <

0

и х2 < 0.

имеет раз­

Подведем

итоги. Мы

установили,

что уравнение (3)

личные

действительные

корни,

если

а < 6

или а > 1 4 .

Таких

а,

при которых

а'х >

0 и х2 >

0,

не

существует.

При

5 <

а < 6 или

а > 14

оба корня отрицательные.

Поэтому, если а <

5, то один из

корней положительный, а второй отрицательный.

а:

С п о с о б

2. Решаем

уравнение

(3)

относительно параметра

а =

— 4л:2 + 2х + 5

( 10)

х

1

если х Ф — 1 .

а

как

функцию

х,

определенную

на

Теперь

рассматриваем

уравнение (10) к виду

а = а(х) = — 4^ +

6 ------ г.

1

4 '

х +

а’ (х) — 4 4

1

( х

4* 1)а ‘

Производная а'(х) обращается в нуль в точках

хх = — 0,5 и х2 = — 1,5.

Далее,

lim а (х) — 4- оо.

lima (х) =

— со,

X-*-—оо

Х-+-\-оо

lim а (х) = — оо,

lim а (л:) =

4- оо.

—1(ДГ>-1)

1(л:<-1)

Рис. 27

Рис. 28

Е с л и б < а < 1 4 , то

уравнение

(3) действительных корней не

имеет.

а =

6, то х1=

х2=

— 0,5.

*

Если

Если

5 < а < 6, то хг <

0 и х2 <

0.

Если

а =

5, то х2 = 0, хх < 0.

Если а < 5,

то хх <

0 и х2 > 0.

Из графика

видно,

что ни при каком значении параметра а

корень уравнения (3) не равен — 1.

По графику

можно также про­

следить, как изменяется величина

корней уравнения (3) с измене­

нием параметра а.

Из второго

решения

видна роль производной при исследовании

корней уравнений, содержащих параметры. В

этом решении про­

явился функциональный

подход к исследованию

корней уравнений.

Xs — ах +

(2а -f- 32) =

0

(11)

действительные.

На первый взгляд кажется,

что, чтобы

ответить

на вопрос за­

корней уравнений.

(11)

относительно параметра а:

Решаем

уравнение

х3+ 32

если х ф 2 .

функцию

Исследуем

а — а (х) =

х3 + 32

х — 2

Она определена

на

(— оо,

2)

и

(2,

+

о°).

, . .

Зх2 (х — 2) — (х3 +

32)

2 (х3 — Зх2 — 16)

“'< * > = ------

(х — 2).----------- =

-------- (1 = 2? --------'

Замечаем,

что

трехчлен

х3— Зх2— 16 имеет

целый корень

хх = 4. Поэтому

х3— Зх2 — 16 = (х — 4) (х2 + х + 4).

Квадратный

трехчлен

х2 +

х + 4

действительных

корней не

имеет.

ясно,

что

функция

а(х)

подозрительна

на

экстремум

Теперь

в точке х =

4.

а (4) =

48,

а(0) =

— 16.

Далее,

lima(x) =

+

оо,

lima(x) = + оо,

X-*-—оо

lima (х) = +

со,

lima(x)= — оо.

*->-2(л:>2)

д:-*-2(л:<2)

Решение неравенства

вида

а | / (х) | + Ь| ср (х) |— ф (х) >

0, содер­

жащего переменную х под знаком

абсолютной величины,

сводится

к решению следующих систем неравенств:

/( * ) >

о,

f(x )> О,

Ф (*) >

О,

Ф (х) < О,

af (х) + b ф (х) — ф (х) > 0.

af (х) — ^ф (х) — ф (х) > 0.

f (х) < 0,

f(x )<

О,

Ф (х) > 0,

ф (х) < О,

af (х) — 6ф (х) + ф (х) < 0.

а/ (х) + Ьц>(х) + ф (х) < 0.

Пример 4. Решить неравенство

х2 +

2х — 3 | х + 1| + 3 >

0.

(12)

Это неравенство эквивалентно двум системам неравенств:

х + 1

0,

|

х2 + 2х — 3 ( х +

1) +

3 >

0. )

(13)

х + 1 < 0,

|

(14)

х2 + 2х — 3 (— х — 1) -|- 3 > 0. J

Система неравенств (13) эквивалентна следующей:

х + 1 >

0,

|

(15)

х2 — х > 0. J

Квадратный трехчлен х2—х имеет корни хх = 0, х..

Поэтому

система неравенств (15)

эквивалентна такой

системе:

х < 0

или

х >

1. J

(16)

Из (16) получаем

— 1 < х < 0 или

х >

1.

Система неравенств (14) эквивалентна следующей:

* +

1 < 0,

1

(17)

х2 +

5х +

6 >

0.

J

Находим корни квадратного трехчлена

х2 + 5х 6:

Х\ ==— 2, Xg —■— 3.

х < - 1 ,

\

х < — 3 или х > — 2. ]

х2 + 2х + 3 >

3 | х + 1|.

(18)

Строим

графики функций

/ (х) =

х2 + 2х +

3 и

ср (х) = 3 \х + 1|

(рис. 29).

Из

рис.

29 видно, что левая

часть

неравенства (18) больше

правой

части на интервалах:

(— оо,

Xj), (— 2,

0) и (х2,

+

оо).

Так

как

хх <

— 2,

т. е.

хх +

1 < 0,

то

для

определения хх

решаем уравнение

х2-|- 2х ~Т 3 = — 3 (х -|- 1).

Получаем хг = — 3.

Так как

х2 > 0 ,

т. е.

х2 +

1 >

0,

то для определения х2 решаем

уравнение

х2 + 2 х + 3 = 3 ( х + 1).

Получаем х2 =

1.

Решение неравенств

методом

интервалов

Дано неравенство F ( x ) > 0 и требуется определить все

его

решения, принадлежащие

отрезку

[а,

Ь]. Пусть функция у =

F (х)

непрерывна на [а, х^;

(хь х2); . . .

;

(хп,

Ь\.

Находим нули функ­

ции

у = F (х).

Полагаем

для

определенности,

что F (х) = 0

при

х =

с и x = d и с 6 (*i,

х2);

d £ (xn, Ь]. Итак,

y = F(x)^= 0 на

[а, хх); (хъ

с); (с, х2);

.. . ;

(хп,

d);

(d,

Ь].

Из этих

промежутков

берем

по

одному

произвольному

числу:

х^;

т2 £(хъ с);

т3£(с, х2) и т. д. Вычисляем F(m^),F(m2),

F (т3) и т. д. Пусть, например,

F (т2) >

О,

F (т3) >

0. Тогда

в силу

непрерывности

функции

у = F (х)

на (xlt

с)

и

(с,

х3)

решениями

неравенства

.F(x) > 0

будут

все

точки

интервалов

(xlt

с)

и (с, х2).

Пример 5. Решить

неравенство

л^ +

х3 — 7х2 — х - [ - 6 > 0 .

(19)

Находим действительные корни многочлена, стоящего в левой

части неравенства (19): хг =

— 3;

х2 = — 1;

х3= 1;

х4 =

2

(приме­

нили свойства рациональных корней, см. § 3 гл.

1).

на мно­

Теперь

левую часть

неравенства

(19) можно разложить

жители:

х 1+ х3 — 7х2 — х +

6 =

(х — 1) (х +

1) (х — 2) (х +

3) > 0 .

(20)

Перепишем

левую

часть

неравенства

(20) в

порядке

убывания

ее множителей:

(х +

3 ) ( х + 1 ) ( х — 1)(х — 2 ) > 0 .

(21)

Числа

— 3,

— 1, 1,

2 делят

всю

числовую ось

на пять

частей

(рис. 30):

( - с о , - 3 ) ,

( - 3 , - 1 ) ,

( - 1 ,

1),

(1,

2),

(2,

+

оо).

нера­

На (— оо, — 3) все

множители,

входящие в левую

часть

венства (21), отрицательны. Поэтому интервал

(— оо,

— 3)

является

решением неравенства

(19).

На (— 3, — 1) х + 3 > 0 , х + 1 < 0 , х — 1 < 0, х — 2 < 0.

Поэтому интервал (—3,

—1) не является решением неравенства (19).

На ( - 1 ,

1)

х — 3 0, х + 1 > 0, х — 1 <d 0, х — 2 < 0.

Следовательно,

интервал

(— 1,

1)

является

решением

неравен­

ства (19).

2 ) х + 3 > 0 ,

х + 1 > 0 ,

х — 1 > 0,

х — 2 < 0.

На(1,

Интервал (1, 2) не является решением неравенства (19).

0.

По­

На (2,

+ оо) х +

3 >

0,

х +

1 >

0, х — 1 >

0,

х — 2 >

этому интервал

(2, -f

оо) является решением неравенства (19).

Таким образом, решением неравенства

(19) являются интервалы

(— оо, — 3), (— 1, 1) и (2,

+

оо).

(х + 3) (х + 1) (х — 1) (х — 2) < 0.

Пример 6. Решить неравенство

х4— Зх3— х + 3 < 0.

(22)

Находим

действительные

корни

многочлена

Л4(х)=х4— Зх3—

—х -f- 3:

Л-1 =

1, х%— 3.

Теперь левую часть неравенства (22) можно разложить

на мно­

жители:

'

М (х) = (х — 1) {х — 3) (х2+ л + 1) <

0.

(23)

Многочлен

х2 + х + 1 не имеет

действительных корней

и поло­

жителен на всей числовой оси.

(х — 1) (jc— 3 ) < 0 .

Точки 1 и 3

делят числовую

ось на три интервала:

На (— со,

(— со,

1), (1, 3),

(3,

+оо).

1)

х — 1 < 0, х — 3 < 0 .

Поэтому

(х— 1)(х — 3) > 0

на

(— со,

1)

и

на

(3, +

ос),

а на (1,

3)

( * - 1) (х — 3) < 0,

откуда

1 < х <

3.

Пример 7.

Решить неравенство

х6— х3— х2 + 1 < 0.

Разложим левую часть на множители:

х6— х3— ха + 1 = х*(х2— 1) — (х2— 1) =

= ( х 2 — 1) (х 3 — 1) =

(X — I ) 2 (х +

1) (х 2 +

X 4 - 1 )

<

о.

(24)

Квадратный

трехчлен

х2 +

х +

1 >

0

при

всех

значениях

х.

Множитель (х — I)2 неотрицателен

на всей числовой оси. Поэтому

неравенство

(24) эквивалентно

неравенству

х + 1

<

0,

следова­

тельно,

х < — 1. ■

Графический метод

решения неравенств,

содержащих

параметры

Пусть дано неравенство F (х,

а) < 0

и

требуется

решить

его

относительно

переменной

х (а

параметр).

Решаем

уравнение