книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

имеет один корень, так как а ^ О

и

0. Поэтому

Р (а) < 0,

если 0 <

а ■< Ь,

Р (а) >

0, если

а > Ь.

Значит, на основании свойства 12

на промежутке [0, Ь\

функ­

ция f (а) монотонно убывает,

а

на [Ь,

+

оо) — монотонно

возра­

стает. Наименьшего значения / (а) достигает

при а =

Ь. Но

f ф) = 3Ь3— 9Ь3-f- 7bs = b3

0, если й

0.

Утверждение задачи доказано.

Рнс. 6

Свойство 13. Если первая

из производных,

не обращающихся

в точке х0 в нуль, есть производная нечетного

порядка, то функ­

ция f (х) не имеет в точке х0

ни максимума, ни минимума. Если

функция f (х) в точке х0 имеет

максимум (минимум), если эта

производная отрицательна (положительна).

Пример 10. Определить корни уравнения

sin4x + c o s 4x =

1 на |^0,

у' = 4 sin3х cos х — 4 cos3х sin х =

=

4 sin х cos x (sin2x — cos2x) = — sin Ax.

Первая

производная обращается' в нуль

в одной точке, принад­

лежащей

А

я \

я

0,

I, а именно в точке х0=

—

Найдем вторую производную / (а):

у" =

— 4 cos 4х;

у"

=

4 >

0.

Следовательно,

на

|^0,

- | - j

в точке

х0=

функция

f (х)

достигает минимума.

Но

П

т

) =51п4

H r

+

cos‘ - £ —

1 =

- 0 , 5 .

Значит,

/

(а) монотонна на

отрезках

л

я

Т

’ ~2

Теперь

ясно,

что

исходное

уравнение

на интервале

|^0,

J

решений не имеет.

Произведение выпуклой

(вогнутой)

функции

на

Свойство

14.

положительную постоянную есть выпуклая (вогнутая) функция.

Свойство

15.

Произведение выпуклой

(вогнутой)

функции

на

отрицательную постоянную есть вогнутая (выпуклая)

функция.

f

Aj “j” X2

f (Xl) +

f (*2)

2

2

/

A, +

A2 \

ф (AX) +

Ф (Ag)

ф V

2

J ^

2

Сложив почленно эти неравенства, получим

^ ^ Аг + а2 j + ^ ^ хг +

х2 ^ ^

[/ (x-j) +

ф (%)] + [/ (*2) + Ф (*2)]

или

ф

Xl + *2 1V.

'Ф (Xl) +

ф (*а)

2

I ^

2

Пример 1 1 . Решить уравнение

\/х — 2 + |/ 3 — х = 1.

4 ____

4_____

выпуклые.

Функции г/i = у х — 2 и у2=

|/3 — х

3],

Функция уг определена на [2,

+ со),

функция у2— на ( — со,

поэтому областью определения функции у — ух + у2 является [2,

3].

Согласно свойству 16 функция у =

уг + у2 является

выпуклой

на [2, 3].

На концах этого сегмента она принимает значения,

равные

1.

График выпуклой функции у = ух -\~У2

(рис. 7) лежит выше хорды

АВ. Но хорда АВ параллельна

оси абсцисс, поэтому корнями дан­

ного уравнения являются только числа

2 и 3.

Свойство

17. Если ср (и) есть вогнутая и возрастающая функция,

a u = f(x)

также вогнута, то и сложная функция <p(f(x))

будет

вогнутой.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Ввиду

вогнутости функции / (х)

и

возра­

стания функции ф(и) имеем

Ф f

2 ~

- j - f (*i) +

f Ы .

-g - Ф [/ (-^i)IЧ—

ф [/ (**)].

Поэтому

окончательно получается

неравенство

Ф /

хх +

х2

^ ф[/(*1)1 + ф[/(*а)1

2

^

2

Аналогичным образом доказываются и следующие свойства слож­

ных функций.

Если

ср (и)

вогнутая и убывающая функция, а

Свойство

18.

u = f(x) — выпуклая,

то и сложная функция г/ = ср [/ (х)] вогнутая.

Свойство 19. Если ср (и) выпуклая

и

возрастающая

функция,

а

и = f (х) — выпуклая,

то и функция

г/ =

ср [/ (х)] выпуклая.

а

Свойство 20. Если ср (и) выпуклая

и убывающая

функция,

и = f (х) — вогнутая,

то и функция у = ср [/ (х)\ выпуклая.

Квадратный трехчлен

— х2 + 3х — 2

имеет корни 1 и 2. Поэтому

— х2 + Зх — 2 > 0 на (1,

2) и функция

Т а б л и ц а 1

ф(ы)

“ = /(•*)

Ф[/ W]

1

Вогнутая,

возрастает

Вогнутая

Вогнутая

2

Вогнутая,

убывает

Выпуклая

Вогнутая

3

Выпуклая,

возрастает

Выпуклая

Выпуклая

4

Выпуклая,

убывает

Вогнутая

Выпуклая

определена на (1, 2).

Функция у = lg и — воз­

Функция и — — х2 + 3х — 2 выпуклая.

растающая и выпуклая. Следовательно, и функция

у = lg (— х2 + Зх — 2)

выпуклая (см. п. 3 табл. 1).

взаимно обратные функ­

Свойство 21. Если y = f(x) и У — g(x)

вого и третьего координатных углов.

в

п. 1 табл.

2 (другие

Докажем

утверждение,

содержащееся

положения таблицы доказываются аналогичным образом).

Обозначим f (xj) = ylt

f (x2) = y2.

определению

вогнутой

Поэтому

x1 = g(y1)

и

x2 = g(y2). По

функции

f (

*i + *2

\ ^

/(*х) + /Ч*а)

__

Уг + У%

1

2

1

2

2

По свойству

7

Ух + Уъ

хх + х2

g(gi) + g(ga)

2

2

что и доказывает выпуклость функции g(y).

Пример 12. Исследовать

на

выпуклость (вогнутость) функцию

У =

М + 2 .

Эта функция определена

на [— 2, +

со). Возведя обе

части

уравнения в квадрат, получаем

отсюда х = г/2 — 2 .

У2= х + 2,

+ оо) и является

обрат­

Функция у = х2— 2 определена на [0,

ной к функции

У=

]/~х -f- 2.

вместе со своей производной f (х) на [а, Ь]

и имеет на

(а, Ь) ко­

нечную производную f"(x).

Для выпуклости функции f(x)

на [а, Ь\

необходимо и достаточно, чтобы на (а, Ь)

было f" (х) ~<) 0.

Пример 13. Исследовать

на выпуклость

(вогнутость)

функцию

х2— Зх -f- 2

( 1)

У= In

\

х

удовлетворяют

неравенству

х2— Зх + 2

О или

(х — 2) (я — 1)

> 0 .

(2)

х -|- 1

X -|- 1

Числитель

левой

части

этого

неравенства

положителен

на

(— со, 1) и (2,

+ оо);

знаменатель — на (— 1, + оо)

Функция Ух = — —-j— вогнутая,

поэтому и и = х — 4Н-----

X “у- 1

X ~р 1

х + 1

(2х — 3) (х + 1) — (х2 — Зх + 2) • 1

х2 — Зх -|- 2

(* + 1 )2

(Х-2)(х-П

(Х-2) (Х-1)

+ Н—1"+ + + + + ++ + ++

+ + + + ++ + + ++ +

-/

. •

0 1

2 '

X

+ + + + + + ++ + + + + + + ++ +

х + 1

Рис. 8

_

х2-+- 2х — 5

(2х + 2) (х2 — Зх +

2) (х + 1) — (х2 + 2х — 5) [(2х— 3) (х + 1) +

»/

■+■(х2— Зх + 2) • 1 ]

J ~

[(х2- 3 х + 2) ( х + 1)р

— х4— 4х3 + 18х2 — 16х — 1

“

(х— 1)2(х — 2)2( х + 1)а

г/2 < — х4— 4х3 + 18х2 — 16х = — х (х3 + 4х2 — 18х + 16).

Покажем,

что функция

у3 = х3 + 4х2— 18 х +16

положительна

на (2, + со).

Найдем экстремальные точки функции у3

г/g = Зх2 + 8х — 18.

Корни квадратного трехчлена не принадлежат (2, + со).

В точке

х = 2

функция у3 положительна: при х->- + оо г/3->--|-оо,

поэтому

г/3 на

(2,

со) положительна.

У = In

+

1

х

отрицательна и, следовательно, эта

функция на (2, + °°) выпу­

клая.

Т а б л и ц а 3

y = f W

У= ч>(*)

у = ФМ

1

Положительная,

возра­

Положительная,

возра­

Положительная,

воз­

стает,

вогнутая

стает,

вогнутая

растает, вогнутая

2

Положительная,

убы­

Положительная,

убывает,

Положительная,

во­

вает,

вогнутая

вогнутая

гнутая

3

Отрицательная,

возра­

Отрицательная,

возра­

Положительная,

во­

стает,

выпуклая

стает,

выпуклая

гнутая

4

Отрицательная,

убы­

Отрицательная,

убывает,

Положительная,

во­

вает,

выпуклая

выпуклая

гнутая

5 Положительная, убы­

Положительная,

возра­

Положительная,

вы­

вает,

выпуклая

стает,

выпуклая

пуклая

6

Отрицательная,

возра­

Отрицательная,

убывает,

Положительная,

вы­

стает,

вогнутая

вогнутая

пуклая

7

Положительная,

возра­

Отрицательная,

возра­

Отрицательная,

во­

стает,

выпуклая

стает,

вогнутая

гнутая

8

Положительная, убы­

Отрицательная,

убывает,

Отрицательная,

во­

вает,

выпуклая

вогнутая

гнутая

9

Положительная,

возра­

Отрицательная,

убывает,

Отрицательная,

вы­

стает,

вогнутая

выпуклая

пуклая

10

Положительная, убы­

Отрицательная,

возра­

Отрицательная,

вы­

вает,

вогнутая

стает,

выпуклая

пуклая

Преобразуем

уравнение

к

виду

у = х2 (х2— х + 1).

Квадратный

трехчлен

х2— д: + 1

не имеет действительных

кор­

ней. Поэтому

х2— х + 1 >

0 при всех

действительных значениях х.

Таким

образом,

функции

ух = х2

и у„ = х2—

1

вогнутые

и положительные.

Наименьшего значения функция у2 достигает при

х = 0 , 5 , на

(1,

+ оо) она возрастающая. Поэтому на

(1, +

со)

функция у

вогнутая.

Упражнения

1.

Функции cp(.v) и f (х) положительные и выпуклые.

Какими еще свойствами

должны обладать эти функции,

чтобы функция у = f (х): ср (х)

была выпуклой?

2.

Функция ср (.v) — отрицательная,

/ (х) — положительная.

Какими еще свой­

ствами должны обладать эти функции,

чтобы функция у = f (х) ■q> (л) была вы­

пуклой?

f

(х) — отрицательная,

выпуклая

и

возрастающая.

Что можно

3.

Функция

сказать о функции

tp(.v),

если функция у = f (х): <р(х)

выпуклая?

еще

можно ска­

4.

Функции / (х) и ср (х) — выпуклые и отрицательные.

Что

зать об этих функциях,

если функция у = f (х): ср (х)

вогнутая?

5.

Исследовать на выпуклость (вогнутость) функцию у =

1

: / (х).

6.

Функция f{x)

положительная. Каким еще свойством обладает эта функция,

если

функция

у =

j/ / (х) выпуклая

(п — натуральное число)?

7.

Функция у = [ / (лг)]п выпуклая

(я — натуральное число).

Что

можно ска­

зать о функции / (х)?

(х),

где а и Ь — постоянные, — вогнутая; / (х) —

8. Функция

y = ( a x + b ) - f

возрастающая и вогнутая. Что можно сказать о функции

г/1 =

а х + 6 ?

9. Доказать,

что функция

с/=

(12 — х) V х — 4 +

У 10 — х вогнутая.

10. Исследовать на выпуклость и вогнутость функцию y =

Y — х2-f-х +

2.

11. Исследовать на выпуклость и вогнутость функцию

У =

X s

X— 1

•

12.

Определить промежутки, на которых функция у =

(Э _

^

^

вы­

пуклая .

13. Доказать,

что на промежутке (1, 2)

функция

у =

(х — I)-1 — 2(х — 2)~ 1

вогнутая.

14.

Доказать,

что функция у =

У х 2+

1 — У х 2 — 1 вогнутая.

§ 2 .

О п р е д е л е н и е э к с т р е м а л ь н ы х

з н а ч е н и й

фу нкций

э л е м е н т а р н ы м и с р е д с т в а м и

Определив множество изменений функции, можно указать

ее наи­

меньшее и наибольшее значения, если они существуют.

Поясним сказанное примером.

Пример 1. Определить область изменения функции

У~

х2 + х + 2

х2 — х + 2

‘

Приведем данное уравнение к виду

( у - \ ) х 2- ( у + \ ) х + ( 2 у - 2 ) = 0.

( 1)

Решив уравнение (1)

относительно х, получаем

х =

У+ 1 ± V - 7 j / a + Щ - 7

,9х

2 & - 1 )

U

что х

Ясно,

принимает

действительные значения

толькото

если

— 702 +

18г/ — 7 > 0

или 702— 180 +

7 < 0 , у ф 1.

(3)

Решением неравенства (3)

Г

g

_4]/~2

9 + 41/2

является

------- ^

—

Подставляя в уравнение (1) вместо у

число 1,

убеждаемся,

что

х = 0. Поэтому 0 может

быть равен

1.

02],

Таким

образом, область изменения заданной функции — [уъ

где

ух =

9 — 4 ]/2

02 =

-

9 +

41/2

-------ф ------ ,

7

7

’

Абсциссы экстремальных точек находим из равенства (2):

х1= - ^ + 1 - °

= — 1/ 2,

=

= 1/ 2 .

2 ( j / i - l )

2 (0, - 1)

Преобразование уравнения, с помощью которого задана функция

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

х3 +

1

(4)

У = -

Функция определена на (— оо, 0)

и (0,

+

оо).

Перепишем урав­

нение (4)

в виде

у = х + ~ & ~ -

На (— оо, 0)

функции 0j =

х и 0г = —^----- возрастающие,

под’

У

• -