книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

фик у3 см. на рис.

143; 2)

одно.

14.

Разложить трехчлен х2— | х | — 2 на мно­

жители для X < 0 и х > 0 .

15.

а < — 2и а > 0,5

(1 + 1^5).

17. 2) и 3).

Если

а > 0 , то X > 0 и — а < х < — 0,5сг; если

а < 0 , то

0 < дг < — 0 ,5 а

и х >

— а.

18. Если а — — 3,

то — со <

.v <+

со;

если а > — 3, то

— 4 : (а -f- 3) <

< * < 14 : (а + 3); если а < — 3,

то

14 : (а + 3) < х < — 4 :(а + 3).

19.

Обо­

значить у = х2: (х2 +

1) и

решить

данное

уравнение относительно

а. 20.

Если

а = 1 0 ,

то

х < 8 ; если а > 1 0 , то

^ ( ю _а)

< х < —g—; если

а < 1 0 ,

ТО X <

< 4а: 5 и

л: > (3 + 16 а ): 2 (10 — а).

21.

9 :8 < а < 71 :24.

23. 1)

Записать

систему

в виде

7

1

1

■

X Z

12

1

1

"

5

X Z

+

ху

12

1

~г

1

1

ху

1/2

"

3

из этой системы

1

_ 1_

1

ху

zx

определить

X Z

Уг ’ 2 ) обозначить

= и,

~У

1.

Рис. 144. 2. Функции <р (х) = (х + 8 )0,25 и / (х) = 2 + (* — 8 )0,25

опре­

делены

при х » 8 , обе монотонно возрастающие и непрерывные,

причем <р(8) =

= / (8 ) и при любом х > 8 (* + 8 )0,25 — (х — 8 )0,25 > 0.

Поэтому

данное уравне­

ние имеет_только один корень х = 8 . 3. 1) Обозначить

х3 + х2 +

0,5 ==/;

х = 1

_ , / (д с -3 )(х -4 )

Отсюда

видно,

что функция / (х) =

(х — 3) (х —• 4)

У" К (* + 1 ) (* - 3 )

( * + 1) ( л — 3)

£ 3, — 1.

Далее,

ф (х) =

(х — 4): (х +

определена при всех х

1) > 0 на (— со,

_1) и (4 ,

+ со ).

9.

2) Множество решении пустое,

если а < 0.

Уравнение

имеет два

решения,

если а > 3. Уравнение имеет одно решение,

если 0 < а < 3.

10. 1) Рис. 146; 2) х < — 2, 0 < х < \ , х

> I.

11.

Преобразовать

данное не­

равенство к виду ------------------------------

< 0. Теперь понятно, что оно верно,

если х <

0,75 или 4 < х < 7.

12.

1) Рис.

147;

2)

а >

У 5 .

13.

1) Рис.

148

(графики

изображены для а =

4,

9,

2)

16);

2)

при а > 4 .

15.

Если а=

0,то х =

если а > 1, то х = 0,25

(а —

I)2. 16.

Если 0 < а < 0,5

или

а > 1,

то х =

=

а2 ; (2а— 1).

17.

2) Если а < У 2

— 1,

то

решений нет;

если а — У~2 — 1,

то

х = 0,5 У 2 \

если

У 2

— 1

< я < 0 , 5 ,

то

л12 = 0 , 5 ( а + 1

± У а2+ 2а — 1);

если а > 0,5,

то

х =

0,5 (а +

1 — У а 2+

2 а — 1).

18,

Если

в > 1 , т о *

=

= а : (а 3

— 1);

если а < 1,

то решении

нет.

20. 1) Функции у — (2х — 6 )0,5 и

у — (х +

4)0,5 монотонные;

2)

если а < 0,2 У ? . 2 2 .

1) Обозначить (2х + 1):(л: —

— 1) = t2.

23.

2 < л: < 3.

24.

х <

1. 25. 2)

Один корень при любом значении

|я | > 20,5.

Два

корня, если |я | <

1^2.

26.

Если

а — 0, то х = ± 1, т. е.

И 1

I

211

два решения;

если а ф О, то х =

1, т. е.

одно решение.

28.

Обозначить х —

— (/ = /, x +

i/— 2 = о. Тогда / = 0; 1, т.

е. х = у,

х — у =

1 .

Кроме

того,

_1_

очевидно,

что v = 6 .

Других

решений,

кроме о =

6 ,

уравнение (о +

2) 3 =

== (v — 2 )0,5

не имеет,

так как обе части его являются монотонными функциями.

29. а >

—

30.

х = — 4,

у = 6 .

Обозначить

) / + +

</ = /,

V x - j - 2 y = v.

31.

При a >

V I з +

Построить графики функций

у =

= Y x — / F + 8

V з з '

и У — а V х +

1

при

некоторых

положительных значениях а

(с применением производной!).

32.

3) //=

1 _ | l — Х\ + У х — И

+ 1^1—х—11—х\

(рис. 45); 4)

| (/! =

| х | . 33. 1)

Рис.

149;

2) если а <

— 1 , то

решений нет;

если

— 1 < а < — 0,5,

то

а2: (1 +

2а) < х < — 1;

если

— 0 , 5 < а < 0 , то

х < — 1;

если

а > 0,

то

х <

— 1 и 0 <

х < а" : (1 +

2а). 34.

1) Рис.

150; 2)

если

а <

0,

то решений нет; если 0 < а <

1 , то

1 — 2

< х < 1 + 2

;

если

а >

1 ,

то

— а

: х <

1 +

2 / а

.

35. 2)

Если

a 0

пли а > 1, то х >

1;

если

а = 1,

то

х >

1 если

0 <

а <

1,

то х >

(а2 +

1): а.

36,

Рис.

151. 37.

х = 5 : 8 ,

у — 3:8.

38.

х = 0,

у = — 1.

§

б

2.

^ = 1 ,

х2 =

4.

3- 3)

а <

2,25.

Обозначить

3* =

t и построить график

функции а = 31— <2.

4.

Рис.

152. 5.

4 (х < — 1). 6.

х = ^ 9 : 5 ,

у = 51og9 3—2.

Возвести правую и левую часть второго

уравнения в квадрат. 7.

Т

2) Если а < 1,

то 1— У 9 — а < х < 1 — У 1 — а

или

1 + У"1 — а < * < 1 +

7^9 — а; если

1 < 'а < 9, то

1 — У 9 — а < х < 1

+

7Л) — а; если

а > 9 ,

то

решении нет.

8 .

2) ( - 3 ;

1); 3) ( - 3 ; 0,5

( - 3 - / 5 ) )

и (0,5 ( - 3 + / 5 ) ;

1).

9. 4) (—_оо;

— 1).

10.

— п < х < — 3;

— 3 < х < — 0,5я;

0 < х < 0 , 5 я ;

я < х < У 10.

11.

22 (0; 0,5)

и (1;

+

со); 3) 3

= 0,5 (3 — у Т );

=

0,5 (3 + Уъ )\

4) (0,5(3—

— / 5 ) ;

0,5)

и (1; 0,5(3 + / 5 ) ) .

12.

2)

(0,5; 1); 3) (а; 1). 13. 2)

а- 1

<

* < а.

14.

Прологарифмировать

правую и левую

части

уравнений.

15.

1)

График yi

см.

на рис.

153; 2) х = 9.

16.

Один.

Преобразовать данное уравнение к виду

х =

8 (2—* +

1): (2х +

1).

Построить

графики функций

у = х : 8

и

у =

(2~х +

+ 1):(2*+1).

17. х < 2 или х

> 3.

18.

log3 1,5 < х < 2.

Использовать

равен­

ство х = log22A\

Выражение

loga (2Х^ 1— 3)

имеет смысл,

если

2Л'+ ' — 3 > 0.

20.

1)

Преобразовать

сначала алгебраические суммы,

определяющие у1 и у2, в

произведение;

4)

х < 1,5.

21.

(— со;

0)

и (0; 0,25).

Решить

данное уравнение

относительно а и найти

область изменения а как функции х.

2 2 .

Прологариф­

мировать

обе

части

неравенства

(в

качестве основания

логарифма

взять 10).

23.

16

3 < х

< 0,5

или х > 1.

Использовать формулу log*a = 1 : logn5 (я >_0,

а ф

1,

6

>

0,

6 +

1).

24.

х = а-\- 1

и

х = а — 1,

если

а > 1,

а ф У ч ,

а ф 2;

если

а =

2,

то

х = 3.

При остальных значениях а уравнениене имеет

смысла.

25.

1) Рис. 154;

2)еслиа < 0, то 1

< х < 0,5 (1+7^(1 — 4а);

если а = 0,

то

решений нет;

если 0

<а < 0,25,

то

а < х < 0,5 (1 — 7^7 — 4а) или 0,5 (1 +

_|_ у 1

- 4 а) <

х < 1; если 0,25

<

а < 1,

то

а <

х < 1;

если

а >

1,

то решений

нет. 26. 2) Если

а <

0

или

а =

0,5;

то

решений

нет;

если 0 <

а <

0 ,5, то

1 — y i — а < х < 1 +

У \ — а; если

0 , 5 < а < 1 ,

t q I — У 1 + д < * <

У 1 — а

или

1 + Y l

— cl < х < 1 + У l + а\

если

а > 1 ,

то

1 — У~1 + а < х < 1 +

+ / 1

+

о-

27.

1) (2,1); 2) ^1,1,

^256.

16,

- |- j ;

3) (2,1);

(4,2); 4) (4;

0,25);

5)

(1,2);

(— У^б.О);

^ у -

,

6 ) если а =

6 , то .v =

у = с (с — лю­

бое положительное число);

если b =

1:а,

то х = с,

у — 1 : с (с — любое положи­

тельное число);

если а ф b и b ф 1

:а, то

.v =

1 : а и ( / = 1 : 6 .

§

7

1.

1) Рис. 155.

После

преобразования

данная функция принимает вид:

п

< а <

5л

156. После тождественных преоб­

г/ = 2 : sin4ct; 2)

. 3. 1) Рис.

4.

хх =

—j —,

x2 = ± -g - + 2 лб. Преобразовать левую часть уравнения в произ­

ведение.

5.

3)

хх = 0,5 я (26 +

1);

а 2 = arctg4 +

лб.

6.

3) х = 0,25 я +

лб.

8.

Рис.

157.

= 0,25л(26 +

1), а 2 = 0 ,5 л (26 +

1).

9.

а 1 = 0,5л6,

х2 =

я

10.

а = я 6 —

2.

Преобразовать

данное

уравнение к

виду

= ~ 2 ^ - ( 2 k + l ) .

tg (* + 1) = tg (2а + 3),

откуда

2а +

3 = х + 1 + 6я.

11. 46л < а < 4 л (6 + 1).

12.

2)

а = 0,25л +

лб.

13.

1)

Рис.

158;

2)

Х! = я ,

1

т

л .

х2 = arccos-д-

15. 1, 2 =

0,5(1 + 46

± / 1

+

86);

6 =

0,

1,

2,

3, ...

Преобразовать

данное

уравнение

к виду

sin л y~t

= sin (— nt).

16^_

1)

Рис.

159;

2)

0 < а <

<0, 5 arcsin

-1-

и

0,5-^я — arcsin

1

j < х < 0,5л.

17.

а =

=

Я- 2У -- ’- . 18.

1) Рис.

160;

2)

л6 < а <0,5л + л6.

19.

1) Рис.

161.

20.

а =

1

21.

a = b

= c = d = l .

22. а = 0,5л

+ 6л, у =

— 7л

23.

х =

= -jg -.

---- g----+ 6я.

=

0,5я (1 +

46).

Построив на [0,2я]

графики функций

у = sin6x +

cos5a

и у =

=

2 — sin4*,

вы обнаружите,

л

что они пересекаются в точке x ~ ~ 2 ~* Докажите,

что других решений на [0,2л]

данное уравнение не имеет.

24. * =

л

я&1(

± —4“ +

у =

л

+

л62,

где кх и 62 различной четности.

25.

1) Рис.

162;

2) хх =

± - | -

=

0,5я;

x2= -g-.

26.

Решений нет.

Очевидно,

что данное уравнение эквива­

лентно системе двух уравнений;

| sin а |

=

1,

|

| sin 7дс 1=

1. J

27.

Ни одного.

Построить графики левой и правой части данного уравнения на

[О, л ] . 2 8 .

х = - j -

-|- 2 й л .

2 9 .

Е сли а ф (2к + 1 ) л , т о

л: = (—

1)" - ^

+

л п -

а

> если

а —(2ft ~г 1 ) я ,

то д: — лю бое

д ей с тв и т е л ь н о е

ч и сл о .

П р е о б р а зо в а т ь

2

л ев у ю

часть

у р а в н ен и я

в

п р о и зв ед ен и е .

3 0 .

Е сли

__5 < а

< 3 ,

т о

х—

= (

1)* arcsin ()^ 4

а

2)

-)- як.

О б о зн ач и ть

sin х = у

и п о с тр о и ть

граф и к

ф ун кц и и

а = —у- —4уна

п р о м е ж у тк е

[—

1,

1].

31 . Е сли

а ——

^ , то

л: =

=

я

2& я.

Д а н н о е

у р а вн ен и е

эк в и в а л е н т н о

систем е

у р авн ен и и :

~2

~+

sin

х=

1,

1

—2 < а <

8 , т о

co s ах=

1.

J

а > у " 8

а <

х=

3 2 .

Е сли

реш ений

нет;

если

или

—

фл8, т о

=

±

a rcc o s (У 2)°

® +

2 я л ;

если

—

] ^ 8

<

а <

—

2 ,

т о

х =

=

±

a rcc o s 0 ^ 2 ) °

1

2а

8

-f 2 л п .

О б о зн ач и ть

у — logo co s х.

3 3 .

2кк < х <

< 0 , 5 я +

2 £ я .

И з

всего п р о м е ж у тк а

[ 0 ,2 л ]

л е в а я

часть

н ер ав е н с тв а

оп ределен а

т о л ь к о на

[

л

я

34 .

= (—

+ 2 /гя ,

I =

~2~

+ (— l) f t - g - -)-

0 ,

~2

х1

l)ft -д -

h

+

(2 п — к) л ;

х2

( - 1 ) * +

' - 2 - +

2kn,

yt = —

+ <-1)*“1Г + (2'г-

/г)л-

П р е о б р а зо в а т ь

д а н н о е

у р а вн ен и е

с

д в у м я

переменны ми

к

ви д у

Д а л е е ,

х+ У

х— у

„ х+ у

„

2co s

g

cos

-

2

■= 0 , 5 +

2 c o s2 —

О тсю д а

х-гУ 1

X— у

У

cos

* +

=

0 ,2 5 .

2

cos

— COS ■

Обозначим

X+ у

= и,

X— у

Тогда

уравнение

принимает вид

cos — 7,—

cos

2

= t.

и (I —и) = 0 ,2 5 .

О тсю да

t

0,25 +

«а

( М| < 1).

и

Построив график последнего уравнения,

убеждаемся, что его решениями

являются tii = — 0,5;

tx = — 1; н3 =

0,5; t2 =

1 •

Таким образом,

данное уравнение эквивалентно двум системам уравнений:

cos

х + у

- 0 ,5 ;

cos

х + у

=

0,5;

2

2

cos

х —У

cos

х — у

2

2

35.

a = kn(k = 0,

± 1 ,

± 2 ,

...).

36.

х = ± - ^ - ,

г/ =

Т ~ Р а с с м о т р е т ь

случаи:

х

> 0,

у > 0;

х < 0, (/ <0;

х >

0,

у < 0;

х

< 0,

у > 0.

Во всех

четырех случаях система уравнений решается методом подстановки.

39.

Шесть.

40.

л: =

0.

41. х —

+

2/гя.

42. х1 = 0,4Ы,

x2 = (2k +

1) я;

У (хг) = у (х2) = 1.

4 3 .

х =

±

ЗТ

Применить формулу

1 +

cos 2х =

2cos2x.

44.

х — любое

—g - + 2kn.

действительное число,

кроме

х =

kjt

45.

х = ± 3 ,

у =

я (4k— 1)/18. Решить

—•

Очевидно,

что

корень существует только

тогда,

если cos х =

0

или

c o s x = l .

Во всех других

случаях под корнем отрицательное число.

5 0 .

х = 0;

я

5л

—g—; —g -.

51 .

а — рациональное число. Данное уравнение эквивалентно системе уравнений:

sin ах =

0 ,

|

cos х =

1 .

J

52. Е сли а ф ± У 2 , т о

Я

+ /гя; если

а =

,—

, т о

х =

я

Е сли

х = —

у 2

+ 2 я п.

__

, т о

х =

Я

+

я (2п -f

1); k, п =

0,

± 1, ± 2 ,

. . . Р а ссм о тр еть случ аи :

а = — У 2

- 4-

о

= 0; cos х ф — а и

sin х ф — а

.

5 3 . х =

я (2k +

1)

/

я

\

-----^-------- ; у I

1=4. 5 4 . хг=

.=

—

х 2 = - ? р

c o s 2 x

= 2 c o s 2x —

1.

П о это м у

п е р в о е

у р а в н е н и е

с в о д и т с я к

уравнению 3

2cos * — 32cos x 1= -g-. 55.

cp =

—g-; m = 2. Выразить сначала tgcp

через cos 2cp.

56.

;

x 2 = 2. Целые

значения x находятся среди решений

системы неравенств:

1 — sin х > О,

-I

— 3* 2 + 10х — 3 > 0. |

— Зх2 + 10.v — 3 ф 1. J

Рис.

164

Рис.

165

57.

sin ^ arcsin

+

arcsin - | - j

=

sin ^arcsin -g -j cos ^ arcsin —

j

+

+

cos ( ascsin -i_ ) sin ( arcsin - L j

=

_ L

j /

j _

sin2( arcsin _|_j

+

+

" j/

1 — sin2 |arcsin -g- j

=

-g -"j/

1

_3 \ 2

J _ \2 _3_

4

+ >

3

4

I 'T +

3 ]/"8

=

З л — 10.

59.

1)

Рнс. 1G3; 2)

— ж

я

л.

60.

1) Рис.

164

--------- 12--------- • 58-

2)

x =

0,75.

61.

х =

- = - Ц ^

- .

62.

1) Рис.

165;

2) л: =

0,5

] /

6

3 .

х =

=

0,5.

cos (arccos х У З -j- arccos x )= c o s -y

и

т.

д.

64~.

1)

co s-j^ -

<

х < 1;

2)

/

Ц

=

-

<

х <

1.

65.

1) Рис.

166; 2) х =

0.

6 6 . хг = 0,

х2=

1,

х3 =

— 1.

67.

2)

0 <

х <

1. 6 8 .

1) Рис.

167;

2)

2йл <

х ■< 2йл +

-g- .

69. 1) — 1

<

х <

<

1 — У з +

2- 0’5 ;

1 + У " з +

2 - ° - 5 <

х <

3;

2)

0

<

х < 1;

3)

0

< а: < 2 ;

4)

х <

1; 5) 0 < л: <

1; 6) — 0,5 <

х < 0; 0 <

х < 0,5;

7)

если

— 1 <

а < 0, то

— 1 < х <

1;

если

0 < а < 1 ,

то

— 1 < х < 1 — 2 а2;

при

а = 0

решении

неравенство

не

имеет;

8 )

если

а < 0 ,

то

решений

неравенство не

имеет;

если а > О,

то

х > - ^ - а .

70.

I)

х = л (~*Г ~ к ~

У= я [“IT +

-|- А + “4“);

2 )

* =

2 лй,

// =

л (2т -|-

1); 3) из первого уравнения следует

cos (.¥ + (/) =

0 ,

т.

е.

х +

у = —jj- +

яга.

Дальнейшее решение системы очевидно;

в суммы получим cos (Зд: + у)

= cos (х +

Зу).

Откуда Зд: +'(/ =_±

(л; + 3у) + 2яп.

„

очевидно.

71.

х = arctg

З + У Г

■яга.72. 0 < ж <

Дальнеишее решение системы

-----g-----

/ F — 1

/ 5 —1

я

я

я

< arccos-------5------ . 73.

------- я------ < а « 1.

74. -т^- < х <

—р ;

-т - < д: <

Т

Т

< -у ^ г.

75. 0 < а- <

arctg

( / 2 — 1); arctg

0,5 < х <

я

<

д: <

arctg ( / 2 —

— 1) +

я;

arctg 0,5 +

5я

76.

Если 0 < | а | <

2

-

я < х < —у— .

- у

или 1 < i а | < / 2 ,

то система уравнений

решений не имеет;

если

2

или

| а \ =

/—

то си-

| а | = -д -

у 2

,

2

< | а \ < 1 ,

—

<

| а | <

3

или

стема уравнений имеет одно решение; если -д -

/ 2

4k — 3 <

I а \ < 4k — 1

(А =

2,

3, 4,

...),

то

система

уравнений

имеет два

ре­

шения.

Если 4р — 1

<

| а | <

4р + 1 (р =

1,

2,

3, ... ),

то

система

уравнений

имеет четыре решения.

Гл.

4

§ 1

_

1.

40 км.

2. Ya b .

3.

По условию задачи 2пху — 2яд:2 =

2я.

Отсюда у =

— x - j - x ~ l . 4.

| ЛВ|

=

30км;

vx =

30 км/ч, о2 = 20км/ч. 5.

| ЛВ | =

1008

км.

6 . Иванов в первую

и

во вторую

неделю

вырабатывал

по

28 деталей

в час.

Петров

в первую неделю вырабатывал 28 деталей в час, а во вторую и третью —

по 32 детали в час.

Новиков

вырабатывал

(в третью неделю)

22 детали в час.

В первую неделю план

был

выполнен

на

114,8%,

во вторую — на

100,6%,

в третью — на

109,6%.

7.

1,1 ц.

8 . 25 раз

и 15 раз.

9.

«2» — 11,

«3»— 7,