книги из ГПНТБ / Василевский, А. Б. Методы решения задач учебное пособие

Пример 3.

Доказать,

что число 32л+1 +

2Л+2 делится на 7 при

любом натуральном п.

Очевидно,

32л+‘ |_ 2«+2 =

дн.з -f 2л-4 = 3 (9" — 2”) +

3-2" + 4-2" =

=

3 (9" — 2") +

7-2".

Применив формулу (1), получаем

3

(9" — 2") +

7 • 2" =

3 (9 — 2) (9"—1 + 9' - 2• 2 +

_). gn-з. 22 + . .. + 2«—*) + 7 • 2" = 7 [3 (9 "-1 + 9"-2• 2 +

+ 9"-3-22 +

. . . +

2Л_1)] +

2".

Метод математической

индукции

Математическая

индукция — метод

доказательства,

основанный

на следующем принципе:

1) некоторое свойство X верно при k = \ \

обладает

какое-либо

2) из предположения, что свойством

X

натуральное

число

& >

1, следует,

что этим свойством обладает

целом л > 1.

утверждение задачи верно.

При п — 1

справедливо

при

п = k

Допустим,

что

утверждение

задачи

(k > 1), т. е.

8* +

6 =

7т,

(3)

где т — натуральное

число.

задачи верно и при п =

k + 1,

Проверим теперь, что утверждение

т. е. верно равенство

8*+' +

6 =

7t,

(4)

где t — натуральное

число.

Из равенства (3)

8* = 7 т — 6,

поэтому

8*+> +

6 = 8-8fc +

6 =

8 (7m — 6) + 6 =

= 7-8т — 42 = 7 (8m — 6), т. е. t = 8m — 6.

Таким образом, t — натуральное

число и, следовательно,

в силу

равенства (4) утверждение задачи доказано.

Пример 5- Доказать, чтд при любом

натуральном п

выражение

32»+2-_j_ 2бп-н делится ра 1 1 .

При п — I

утверждение

задачи очевидно:

32.1+2 _|_26,+i =

2 0 9 =

11-19.

Допустим,

что это утверждение

справедливо

при

п — k (k >

1),

т.

е.

3^ + 2 + 26*+) =

11 т,

(5)

т — натуральное

число.

верно и при n = k-\- 1,

Докажем,

что утверждение

задачи

т.

е.

32 (ft+o+2

26(ft+i)+i =

ц

Pt

(6)

где р — натуральное

число.

Из равенства

(5)

имеем

32*+2=

11 т — 26*+‘.

(7)

С учетом равенства

(7)

сумму 32(*+1>+2 +

26<fe+ ,)+1

можно

пре­

образовать

к

виду

32(А+1)+2 _(_ 26<*+1>+1 =

32-32<*+1>+

26<A+I)+I =

З2 (11

т —

_ 2 6*+i)_|_26<a+ i>+1 =

32-11

т — 32-2-2G* +

27-20ft =

З211

т +

26А(27— 2-32) =

З2-11

т + 2е*-110=

11 (9 m + 10 -26fe).

Итак,

показана верность равенства

(6); р =

9 m +

10-26*.

Метод остатков

Пусть

и

N2— натуральные

числа

и - N — Nx + N 2.

Если

Nх — qtix + Рх

и

N 2= qn2+ Pi

(Я>

«i. +г> рг,

р2— натуральные

числа),

то

N = (qtix +

Рх) +

(?ла + Pi) = Я

(«1 +

п2) +

(рг + р2).

Поэтому

число N = Nx + Nz делится без остатка

на

q, если

сумма

остатков рх и р2

от

деления

и

N2 на q также

делится на

q,

т. е.

если Рх + Pi = qk

(k — натуральное

число).

п

число

Пример 6.

Доказать,

что

для

любого

натурального

2-7л + 1

кратно 3.

1 =

2 (6 +

1)л +

1. После применения к (6 +

1)л

Очевидно,

2-7" +

формулы

бинома

Ньютона

станет

очевидным,

что

при

делении

(6 +

1)" на

3

получим в остатке 1 . Следовательно, при делении

2-7"

на

3

получаем

в

остатке

2.

Итак,

2-7л + 1

=

(3 -т +

+ 2) + 1 = 3 (т + 1).

Пример 7.

Доказать,

что ни при каком натуральном

п

выраже­

ние

212л+ 1 +

172л+! +

15 не делится

на

19.

Очевидно,

212л+ 1 + 172л+> +

15 = (19 + 2)2л+' + (19 — 2)2л+1 + 15.

Применив

к

выражениям

(19 + 2)2л+!

и

(19 — 2)2л+* формулу

бинома Ньютона,

убеждаемся,

что

при

делении

(19 +

2)2л+1

на

19

йоЛучаем в остатке 22л+*)

а при делении

(19 — 2)2л+1

на 19 полу­

чаем в остатке ( — 2)2л+1.

Но 22,'+1 + ( — 2)2л+| = 0.

Поэтому

при

делении выражения 212п+ 1 +

172л+1+ 15 на 19 получаем в остатке

15.

Утверждение задачи доказано.

Доказательство методом от

противного

справедливость утверждения

задачи.

выражение

Пример 8.

Доказать, что

ни

при каком целом п

/г2+ 3 я + 5 не делится

на

121.

Допустим, что утверждение задачи неверно, т. е. существует

такое целое число ///, что

/г2 +

3/1 +

5 =

121 ш.

(8)

Разрешив

уравнение

(8)

относительно /г, получаем

п2 + 3/г +

(5 — 121 т) = 0,

Я|,2 =

— 3 ± 1 / 11 (44/п — 1)

2

По

условию задачи /г — целое число. Поэтому

необходимо, чтобы

11 (44 т

— 1) = (11/г)2,

т.

е.

чтобы

44 т — 1 =

11/г2

(к — целое

решений.

противоречие и доказывает утверждение задачи.

Полученное

Упражнения

1.

Доказать,

что 4-6л + 5л — 4 кратно 5 при любом целом п > 1.

2.

Доказать,

что при любом целом неотрицательном п:

а) 42л+ 1+ Зл+2 делится на 13;

б)

б2" ^ 1+

4Л+2 делится

на 21.

3.

Доказать,

что 56ft i'5 + 76^ +

6

делится

без остатка

на

9 при любом на­

туральном к.

что ни при каких

целых

положительных

значениях п и к (при

4.

Доказать,

1)

число Зл* + 1

не делится на 5.

5.

Доказать,

что для

любого

натурального

п число 52п—1•2П'*"1+

Зл“'~1х

X 2 2л—1 делится

на

19.

значениях п число

11" + 7л делится

6.

Установить,

при каких натуральных

на 9.

Определить,

при

каких

)

значениях

п

число

13л + я

7.

натуральных

и их с и с т е м

Метод решения уравнения относительно одного из неизвестных

и,

Данное уравнение с несколькими

переменными

F (х, у,

z..........

v) — 0 решается

относительно

одного из этих переменных, на­

пример, V. После этого исследуется функция v — f (х, у, z,

. . . , и).

Пример

1.

Решить в целых числах уравнение ху = х + у.

Из данного

уравнения получаем

У

= 1 +

у ф 1 -

У— 1

у - У

Теперь понятно, что х будет

целым только в том случае, если

дробь—

г — целое число. Но дробь— —г — целое

число,

если

1

У— 1

У— 1

у — 1 = 1

или у — 1 = — 1 .

г/2 =

0,

и

мы

получим

два

ответа:

Следовательно,

ух = 2,

1) Ху = 2, уу = 2 ; 2) х2 = 0, у2 = 0.

Пример 2. Определить натуральные корни уравнения

17 (xyzt +

ху + xt + zt +

1) — 54 (yzt + у + t) — 0.

Решим это

уравнение относительно

х:

17’х =

54 •

17 (zt + 1)

yzt +

у +

Г

Отсюда

54— 17 х =

17

( 1)

У +

zt Т"

у,

Правая

часть

уравнения

(1)

целая

и

положительная,

так как

z, t, х — натуральные числа.

Поэтому х

3.

2 равно 20,

При х = 1 левая часть уравнения (1) равна 37, при х =

при х = 3 равно 3.

Итак, теперь

нужно решить в натуральных числах уравнения:

37 =

17

(2)

У +

___t _

zt +

1

20 =

17

t

(3)

У+

z t+ 1