книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

характеристике становится вертикальной. Следовательно, Для1 'оп­ ределения условий перескока колебаний необходимо продифферен­

Поскольку точки срыва колебаний находятся вдали от критической амплитуды колебаний, то можно воспользоваться уравнением ам­ плитудно-частотной характеристики в виде (1.23), т. е.

вой / / критического состояния в параметрической форме. Вычисле­ ния по ним производятся в следующем порядке. Для мягкой систе­ мы с заданными параметрами задаются амплитудой Л и, вычисляют / (Л), 8 (Л), f (А) и 9' (Л). Затем решают систему уравнений (1.255) и (1.256) и находят со и F. Если эти величины вещественны и поло­ жительны, то на графике наносится точка с координатами со и F. Следует заметить, что эти вычисления весьма громоздки. Оказывает­ ся, что результаты могут быть аппроксимированы простым выраже­ нием |

Это выражение получено из следующих соображений. Принимаем линейное приближение для частоты свободных колебаний 92 = а. Тогда£0' = 0 и уравнение (1.256) принимает вид f (a — со'2) = 0. Поскольку a —1 со2 Ф 0, то f = 0. Отсюда f = с = const, т. е. ли­ нейное приближение для частоты влечет за собой осреднение ампли­ тудной функции. Теперь уравнение (1.255) принимает вид

Используя эти граничные условия, находим

—§-«Vw- . (L260)

Подставляя выражение (1.260) в (1.258), получаем уравнение (1.257). На рис. 59 кривая / / построена по формуле (1.258) для тех же параметров, что и кривая /. Точками и кружками показаны

1 Штрихами обозначены производные по А.

80

зуют параметры гармонического возбуждения, которые обусловли­ вают неустойчивость стационарных колебаний при любых началь­ ных условиях. Заштрихованная зона характеризует параметры возбуждения, обусловливающие неустойчивость стационарных ко­ лебаний для начальных условий, при которых реализуются резо­ нансные колебания, и устойчивость их для начальных условий, при

2 Следует иметь в виду, что погрешность вычислений на АВМ МН-7 может достигать 10—15%. Причем особенность решения задач устойчивости на АВМ МН-7 состоит в том, что результат для кривой / всегда занижен.

Штриховая часть левой ветви кривой / характеризует параметры возбуждения, при которых резонансные стационарные колебания будут неустойчивыми.

] / " | п 2 — со2 + - | - j 2 + 4л2 соа

(1.265)

Поскольку (/г2— со2 + a/2)a +4rt2 coV= Ф 0, то, как видно из уравнения (1.265), кривая / критических состояний не пересекает горизонтальную ось (рис. 61).

это выражение в формулу (1.265), получаем минимальное значе­ ние критической амплитуды возбуждения (см. рис. 61):

2|М

Заметим, что приближенное равенство (1.250) справедливо для случая отсутствия трения. Поэтому формулой (1.265) допустимо пользоваться для малых сопротивлений. При больших сопротивле­ ниях естественнее воспользоваться приближенным равенством п2 + + 92 (1 + 2В)2 = а/2. Подставляя это выражение, а также равен­ ство (1.243) в формулу (1.248), получаем следующее уравнение

критического состояния

Перейдем к рассмотрению кривой / / графика критических со­ стояний. Как показано выше, кривая / / представляет собой геомет­ рическое место точек срыва колебаний. Эти точки, естественно, лежат на амплитудно-частотной характеристике для умеренных амплитуд, которая описывается уравнением (1.99), т. е.

ных решений (см. ниже).

82

и (1.270). Как видно, совпадение результатов оказывается удовле­ творительным.

Практически удобнее пользоваться графиками критических со­ стояний, представленными в безразмерных координатах:

В этом случае уравнения критического состояния (1.265), (1.266), (1.269) и (1.270) принимают следующий вид:

для кривых / при любых значениях п и со ;> у~~а

при больших значениях п и со < у~а

F* = К ( 1 - с о 2 ) 2 + 4«2со2; для кривых / / при малых значениях п

^ - 4 У х [ ( 1 - - Н ' + я И .

84

при больших значениях п

Построенные по этим формулам кривые критических состояний приведены на рис. 63.

Критерии неустойчивости при турбулентном сопротивлении.

Подставляя выражения (1.243) и (1.250) в (1.249), получаем уравне­ ние критического состояния при наличии турбулентного сопротив­ ления:

Полагая в формуле (1.272) со = 0, получаем Fj — а/2 У а/\ В |. Перейдем к рассмотрению кривой ТУ критических состояний.

Используем уравнение (1.149) для амплитудно-частотной характе­ ристики при умеренных амплитудах, которую запишем так:

Принимая линейное приближение для частоты свободных коле­ баний (Э да "j/a) и оередняя амплитудную функцию (/ да с), имеем

Постоянная с, найденная с использованием начальных условий (1.260), оказалась такой же, как и для случая вязкого трения. Под­ ставляя значение с в равенство (1.274), получаем уравнение критиче­ ских состояний в виде

Этим уравнением неудобно пользоваться, так как оно включает в се­ бя амплитуду колебаний А. Вычисления показывают, что уравнение

85

ниях л. Как видно из рис. 64, совпадение результатов можно при­

знать удовлетворительным.

Практически удобнее пользоваться графиками критических со­ стояний, представленными в безразмерных координатах (1.271), за исключением безразмерного параметра сопротивления, который следует определять по формуле (1.273). В этом случае уравнения критического состояния (1.272) и (1.276) принимают следующий вид:

для кривых /

для кривых / /

со2 ^

86

Построенные по этим формулам кривые критических состояний при­ ведены на рис. 65. Порядок пользования графиками такой же, как и для случая вязкого трения (см. рис. 63). Необходимо отметить, что выполненные в этом параграфе исследования устойчивости стационарных колебаний уравнения Дуффинга тривиально обоб­ щаются на случай любой мягкой системы путем замены истинной характеристики кубической. Параметры а и В определяются из условий равенства характеристик и их первых производных для ненулевого корня истинной характеристики.

§ 7. Несимметричное возбуждение

Рассмотрим часто встречающийся в приложениях слу­ чай несимметричного возбуждения, когда возмущение имеет постоян­ ную составляющую, т. е. F (f) = F0 + F cos at.

Одно из принципиальных различий линейных и нелинейных систем состоит в том, что загружение линейной системы постоянной силой не влияет на частоту свободных колебаний, а загружение не-

Рис. 66. Определение частоты свободных колебаний загруженных систем:

а — линейная система: б — нелинейная система.

линейной системы может существенно изменить частоту свободных колебаний (рис. 66). Как известно, частота малых колебаний опре­ деляется квадратным корнем из тангенса угла наклона касательной к характеристике в нулевой точке. Поэтому для линейной системы 0Х = у tg г|) = 02 , а для нелинейной 0, = ] A g ^ i ф V^tg tpa = 02 .

Таким образом, загружение нелинейной симметричной системы постоянной силой переводит ее в несимметричную систему. Следо­ вательно, несимметричное возбуждение симметричной системы экви­ валентно симметричному возбуждению (F = cos at) несимметрич­ ной системы.

Как видно из предыдущего, для построения амплитудно-частот­ ных характеристик необходимо знание частот свободных колебаний.

87

Частоты свободных колебаний загруженных систем. Определим частоту свободных колебаний нелинейной системы, описываемых уравнением

1 Вторые условия получены ранее [13] и приведены в § 1 данной главы.

88

имеет место один вещественный корень и, следовательно, характе­ ристика является жесткой (см. рис. 9, а).

При условиях

имеют место два вещественных корня и, следовательно, характери­ стика является полужесткой (см. рис. 9, б).

При условии

имеют место три вещественных корня. Характеристика будет мягкой (см. рис. 9, в), если а* > 0 и р < 0, т. е. когда наибольший и наи­ меньший ненулевые корни имеют разные знаки, или полумягкой

и (1.284). Из сопоставления выражений (1.277) и (1.283) по формулам (1.278), (1.280) и (1.282) получаем

приближенная формула для определения частоты свободных коле­

с амплитудой А — у (0) зависимостью, вытекающей из первой фор­ мулы (1.292),

Для сопоставления точности формул (1.60) и (1.293) и определе­ ния пределов их применения необходимо иметь точную формулу.

89