книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

1,5 а.сеи

Рис. 53. Амплитудно-частотные кривые субгармонических колебаний осциллятора с кубической характеристикой без трения для различных F, см • сек~2:

Возвращаясь к старым переменным в соответствии с формулами (1.86) и (1.15), для стационарных колебаний имеем

f(x) = a cos (at — р) + ac cos [(со — 20) t — pc ] + + ay cos [(со + 2Q)t — py ].

1 Суб- и ультрагармонические колебания при турбулентном сопротивлении рассмотрены в § 7.

70

Здесь, в соответствии с формулами (1.96) и (1.97), обозначено

Тривиально обобщая результат (1.99) и учитывая неравенства

j / d » 1/2М2»1/2Р<

получаем амплитудно-частотные характеристики для субгармони­ ческих и ультрагармонических колебаний в виде

монических колебаний, вычисленное по второй формуле (1.236), оказалось Л у = 0,002 см.

Итак, результаты вычислений свидетельствуют о том, что ам­ плитуды ультрагармонических колебаний на порядок меньше ампли­ туд субгармонических и ультрасубгармонических колебаний. Ам­ плитуды последних, в свою очередь, на порядок меньше амплитуд гармонических колебаний. Возвратимся к кривой F = 2 на рис. 27 и попытаемся объяснить расхождение между аналитическим и ма­ шинным решениями влиянием субгармонических колебаний. Для этого рассмотрим рис. 55, где сплошной линией показана характе­ ристика суммы амплитуд колебаний с частотами со и (со — 28). Как видно, эта характеристика качественно лучше соответствует машинному решению, которое представлено точками, чем ампли­ тудно-частотная характеристика колебаний с частотой со, изображен­ ная штриховой линией.

71

Рассмотрим субгармонические и ультрагармоничешэде-колеба­ ния, возникающие в системах с перескоком, движение которых опи­ сывается уравнением х — ах + Вл:3 = F cos at, а >• О, В > ' 0 . Из­ ложенная выше теория полностью применима и для систем с пере­ скоком, с той лишь разницей, что для определения частот ёвёбодных колебаний следует пользоваться формулами (1.40), (1.41) или (1.222) и (1.225), а для определения амплитудных функций— формулами

Ю*см

А \ л " 1

0,6

(1.42) и (1.45). В частности, используя эти формулы, аналогично1 (1.233) получаем амплитудно-частотные характеристики ультра- и субгармонических колебаний:

ных характеристик при наличии вязкого трения на системы с пере­ скоком, совершенно аналогично будем иметь

72

Порядок вычисления по формулам (1.237) и (1.238) такой же, как для (1.233) — (1.235).

Сопоставляя кривые на рис. 7, 29, 56, устанавливаем, что, в от­ личие от системы с кубической нелинейностью, амплитуды суб- и ультрагармонических колебаний в системах с перескоком могут иметь тот же порядок, что и гар­ монические колебания с часто­ той возмущения со. Заметим, что

Возвратимся к рис. 30 и попытаемся объяснить расхождение меж­ ду аналитическим и машинным решениями, влиянием субгармони­ ческих колебаний. Для этого рассмотрим рис. 57, где сплошной линией изображена характеристика суммы амплитуд .колебаний с частотами со и (со — 20). Как видим, эта характеристика лучше со­ ответствует машинному решению, представленному точками, чем амплитудно-частотная характеристика колебаний с частотой со, ко­ торая изображена штриховой линией.

(1.239) Отсюда видно, что полученные выше результаты соответствуют ис­ пользованию двух членов ряда (1.239). Если воспользоваться тремя членами разложения, то уравнение (1.228) примет вид

2 " (е ) -J. z (е ) = .|_Cos со* [1 — 2В cos 20* + (2В cos 20/)2] =

73

Используя формулы (1.236) и (1.238), при наличии вязкого тре­ ния совершенно аналогично получаем следующие выражения амп­

Эти формулы по сравнению с (1.236) и (1.238) имеют значительно

последующий члены, можно обнаружить колебания с частотами | со ±

± 601; | со ± 801; \ со ± 100 |; .... Амплитуды этих колебаний опре­ деляются аналогично изложенному. Очевидно, что по мере возра­ стания порядка колебаний значения амплитуд будут уменьшаться.

Как видно из выражения (1.240), учет суб- и ультрагармониче­ ских колебаний с частотами | со ± 401 приводит к корректировке колебаний с частотой со на коэффициент (1 + 2В2 ).

74

Поэтому в формулах для амплитудно-частотных характеристик, приведенных выше, следует вместо F подставлять F (1 + 2В2). Вычисления показывают, что эта корректировка для уравнения Дуффинга практически никакого значения не имеет. Однако для систем с перескоком корректировка оказывает заметное влияние на большие колебания и несущественна для малых колебаний. В ка­

точками и кружками представлены результаты решения задачи на ABM МН-7. Для больших колебаний наблюдается заметное несовпа­ дение машинных и аналитических данных, полученных по формулам

§ 6. Устойчивость симметричных колебаний

Как известно [2, 3, 21, 24, 35, 36], стационарные коле­ бания нелинейных систем не всегда устойчивы. Понятие устойчи­ вости колебаний поясним на элементарном примере маятника (см. рис. 1). Пока амплитуда колебаний маятника меньше 180°.

75

колебания будут устойчивыми. Однако, как только амплитуда'; до­ стигнет 180°, колебательное движение перейдет во вращение вокруг точки подвеса. Как видно из рис. 2, а, в этом случае амплитуда-до­ стигает значения ненулевого корня характеристики, превышение которого меняет знак восстанавливающей силы, т. е. превращает ее в толкающую силу, приводящую к апериодическому движению, именуемому иногда в литературе [22,48] вращательным режимом. Этот термин связан с устойчивостью колебаний маятника. Таким образом, используемое здесь понятие устойчивости колебаний сле­ дует понимать как сохранение колебаний (орбитальная устойчи­ вость), а понятие критического состояния — как границу между ко­ лебательным и вращательным режимами.

С позиций качественной теории колебательному режиму (устой­ чивость) соответствуют фазовые траектории, заключенные внутри петли сепаратрисы, вращательному (апериодическому) режиму (не­ устойчивость) соответствуют на фазовой плоскости траектории, лежащие вне сепаратрисы [22, 48]. Переход колебательного движе­ ния в апериодическое иногда называют неустойчивостью «в малом» [41 ]. В нелинейных системах может иметь место также неустой­ чивость «в большом». Это касается систем с перескоком, в которых, как показано выше, большие колебания относительно неустойчи­ вости положения равновесия могут смениться малыми колебаниями относительно одного из двух положений устойчивого равновесия. Условия перехода одних колебаний в другие в системах с переско­ ком легко определяются из анализа амплитудно-частотной характе­ ристики. Поэтому вопрос устойчивости в большом можно считать решенным. Определить'условия перехода колебательного движения в апериодическое для устойчивости в малом из анализа амплитудночастотных характеристик не представляется возможным. Необходи­ мы специальные исследования, которые и составляют содержание настоящего параграфа.

Колебания, близкие к неустойчивости. Полученные выше резуль­ таты справедливы для стационарных колебательных процессов, далеких от неустойчивости. Поэтому для установления критериев неустойчивости необходимо откорректировать полученные выше ре­ зультаты таким образом, чтобы ими можно было пользоваться для колебаний, близких к неустойчивости.

Найдем корни характеристики уравнения (1.192):

(1.241)

Отсюда видно, что ненулевые корни будут действительными только для мягких характеристик (0 > В = — |В|):

(1.242) Если амплитуда колебаний достигнет значения (1.242), т. е. станет

(1.243)

76

вблизи от состояния неустойчивости будет медленно изменяющейся.

Частное решение уравнения (1.246), определяющее стационарные колебания, может быть получено аналогично (1.18), т. е.

Переходя здесь к старым переменным в соответствии с формулами (1.3) и (1.245), находим приближенное решение для стационарных колебаний вблизи от состояния неустойчивости при отсутствии тре­ ния:

Полагая x = A и cos со/ = ± 1 и принимая во внимание формулу

Из приведенных соображений следует, что полученные ранее результаты можно использовать также для колебаний вблизи от неустойчивости, если заменить в полученных ранее формулах 0 на 9 (1 + 2В). В частности, используя формулы (1.32) и (L99), получаем выражение для амплитудно-частотной кривой мягкой си­ стемы с кубической характеристикой при наличии вязкого трения:

77

Используя формулы (1.32) и (1.139), совершенно аналогично полу­ чаем амплитудно-частотную характеристику при турбулентном сопротивлении

В (1.247) — (1.249) 9 и В определяются по формулам (1.209) и (1.212). Следует заметить, что полученные выражения легко обобщают­ ся на случай любой мягкой системы, если заменить левые части фор­

мул (1.247) — (1.249) соответствующим значением амплитудной функции / (А) и пользоваться точным значением 9.

Критерии неустойчивости систем без трения. В критическом со­ стоянии, когда амплитуда стационарных колебаний . определяется выражением (1.243), по формулам (1.212) и (1.244) находим

(1.250)

Подставляя выражения (1.243) и (1.250) в равенство (1.247), прихо­ дим к уравнению критического состояния

Попытаемся оценить точность этой приближенной формулы. Для этого рассмотрим стационарные колебания, описываемые урав­

Подставляя решение (1.253) в уравнение (1.252) и группируя члены, имеем А [—со2 (k2 — 2k2 sn2 и + 1) + а — ] f\\ А2 sn2 и — F/A} sn и = 0. Приравнивая нулю квадратную скобку и группируя члены, по­ лучаем (2k2a2 — ВЛ2) sn2 и + (a— a2k2 — со2 — F/A) = 0. Это уравнение удовлетворяется при условиях 2&2со2 — ВЛ2 = 0; а —

— со2 (1 + k2) — F/A = 0, откуда находим 1

А = « - ( i + » ) a , * = ( ] - 2 5 4 > Подставляя формулы (1.254) в равенство (1.253), приходим к

78

Подставляя сюда формулу (1.243), приходим к тому же уравнению (1.251) критического состояния.

Итак, уравнение (1.251), будучи приближенным для тригономет­ рического возбуждения, оказалось точным для эллиптического воз­ буждения. Поскольку эллиптические функции разлагаются в быстросходящиеся тригонометрические ряды [23, 28, 55], точность формулы (1.251)

оказывается удовлетворительной. Этот вывод подтверждается решениями на ABM МН-7.

этом же рисунке построена на основании следующих соображений. Как известно [7, 35, 36, 47, 57, 62], в нелинейных системах возможно

79