книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

Подставляя в это выражение (1.184) и (1.186), получаем возможность представить уравнение (1.2) в виде

Подставляя сюда приближенное равенство (1.15), окончательно имеем

где А — амплитуда стационарных колебаний; Е (k) — полный эл­ липтический интеграл второго рода.

Уравнение (1.187) аналогично (1.16). Следовательно, разыскивая частное решение уравнений (1.187) в виде (1.17), подобно (1.18) на­ ходим

г* (е) = —т= cos - Q - е.

С учетом общего решения получаем полное решение уравнения

0; х(0) = 0. Подставляя начальные условия в решение (1.190)

60

1.6 а,сен'

Рис. 49. Амплитудно-частотные характеристики в задаче о дви­ жении шарика в параболической трубке:

Отсюда видно, что амплитуда колебаний

Здесь значение 9 может быть определено по формуле (1.188). Амплитудно-частотные характеристики, построенные по форму­

лам (1.191) и (1.188) для р = 10 см и А = 1 сект2, приведены на рис. 49. Здесь же показаны результаты решения 1 на ЭЦВМ «Урал-3». Совпадение аналитических и машинных данных для А •<

<4 см можно признать хорошим. При дальнейшем увеличении амп­

1 Решение получено Н. Я-Гаркави.

61

формулам (1.191) и (1.188),весьма близки к характеристикам линейных систем без трения. Это вытекает из того, что, полагая в формулах (1.188) А да 0, приближенно получаем 0 « Следовательно, уравнение (1.191) принимает вид, соответствующий линейным си­ стемам без трения

Это выражение, как и (1.191), справедливо при выполнении условия F К — со2.

Следует заметить, что, как показывают результаты исследова­ ний [2, 13], а также согласно выражениям (1.188) и (1.190), колеба­ тельный процесс будет иметь место при X > 0.

§ 5. Субгармонические

и ультрагармонические колебания

Уточнение фазовой функции. В § 1 данной главы для фазовой функции использовано первое приближение (1.13). Далее рассмотрим второе приближение. Для уточнения фазовой функции найдем точное решение однородного уравнения

Подставляя выражение (1.193) в уравнение (1.192) и группируя чле­ ны, имеем А [—ip2 (k2 — 2k2 sn2 и + 1) + а + РЛ2 sn2 «1 sn и = = 0. Приравнивая нулю квадратную скобку и группируя члены,

Решение уравнения (1.192) методом переменного масштаба при

1 Здесь и далее sn и и сп и — эллиптические функции Якоби [28, 55]. Реше­ ние (1.193) известно [35].

62

Сопоставляя начальные условия (1.195) и (1.197) и принимая во внимание формулу (1.32), решение (1.196) можно записать так:

Для колебаний вблизи амплитудных значений имеет место при­ ближенное равенство х да А. Следовательно, решение (1.198) при­ ближенно можно записать так:

Нетрудно видеть, что приближенное решение (1.199) справедливо также при колебаниях с умеренными амплитудами, т. е. когда имеют место неравенства 1/2Рхг <:1/2рЛ2 <^а. Сопоставляя решение (1.193) и (1.199), находим

Принимая здесь а0 = 0, в первом приближении получаем линеари­ зованную [10, 13] фазовую функцию

Ф « - 2 $ Ж Г - в < * 0 = W = W ] / a + 4 - ^ . (1-204)

Для жестких систем (а > 0; р > 0) модуль k, как видно из вто­ рой формулы (1.194), мнимый, т. е.

Вводя обозначение &0 = - ^ г - , в соответствии со свойством полного эллиптического интеграла от мнимого модуля [28, 55 ] имеем

63

где й определяется из второго выражения (1.208).

Перейдем к рассмотрению фазовой функции во втором прибли­ жении. Подставим первую формулу (1.204) в правую часть прибли­

Выражение (1.210) подтверждается решениями на ЭЦВМ «Урал-3» [10, 13]. Максимальное значение амплитуды В будет иметь место

Здесь использована первая формула (1.202).

Выражение (1.212) справедливо для мягких систем (а > 0, В <; 0). Значение k определяется по второй формуле (1.208). Для жестких систем (а > 0, В > 0) значение k = ikQ становится мнимым. Поэтому, подставляя соотношение (1.205) в равенство (1.212), имеем

Здесь и k\ определяются по формулам (1.206).

Графики амплитуд В, построенные по формулам (1.212) и (1.213), изображены на рис. 50, где т = - t ^ - -

64

Рассмотрим системы с перескоком (а <с О, Р >• 0).

Для больших колебаний решение (1.198) остается справедливым, если поменять знак а на противоположный. Следовательно, будут справедливыми также формулы (1.206), (1.207), (1.210) и (1.211). В частности, в соответствии с выражением (1.42), меняя знак а на

В соответствии с формулами (1.196) и (1.45) решение уравнения (1.192) методом переменного масштаба для малых колебаний при

начальных условиях (1.216) имеет вид

Будем рассматривать случай реализации максимальных ампли­

Следовательно, решение (1.219) приближенно можно записать

Сопоставляя решения (1.217) и (1.220), имеем

•I cos-i-tpCO^criCipf. k) = cnu, т. е. - | - = amu. . .(1.221)

Поскольку для малых колебаний | а | <; рЛа <;2 | а |, вторая фор­ мула (1.214) дает k >• 1. Поэтому воспользуемся известными [23, 55]

в соответствии с первым выражением (1.222) получаем точную фор­ мулу для частоты малых колебаний систем с перескоком:

66

Выражение для амплитуды В, в соответствии с последними двумя» формулами (1.222), можно представить так:

скоком.

(1.228)

Далее будем рассматривать умеренно нелинейные системы, для которых 2В <^ 1. Уравнение (1.228) можно представить так:

г" (е) + г (е) = cos со* (1 — 25 cos 2Ы) =

={cos со* — В [cos (со — 20) ^ -f- cos (со + 20) t]}.

Подставляя это решение в уравнение (1.229) и приравнивая коэффи­ циенты при членах, содержащих косинусы с одинаковыми частотами,

определяем

Теперь частотное решение (1.230) можно записать так:

Переходя здесь к старым переменным в соответствии с формулами (1.3), (1.15) и (1.32), находим решение для стационарных колеба­ ний:

С частотой возмущения со имеют место колебания с большей частотой

Исследуем закономерности изменения этих колебаний в зависимости от соотношения частот

Порядок вычисления по этой формуле таков. По заданной часто­ те со, пользуясь уравнением (1.34), находят А. Затем по формулам (1.212), (1.213)' и (1.33) или (1.207), (1.209) вычисляют В и 0 и, на­ конец, из выражения (1.233) определяют амплитуду Ау.

На рис. 52 приведены амплитудные кривые ультрагармонических колебаний при а = 1 сект2. Как видно из рис. 52, амплитуды ультра-

1 Принятая здесь терминология несколько отличается от предложенной ранеё"! [57]. •

68

гармонических колебаний весьма малы и удовлетворяют условию- а^> --- 6Лу. Это позволяет упростить формулу (1.203) к виду

Далее рассмотрим субгармонические колебания. Сохраняя в ре­ шении (1.231) только член с частотой (со — 28) и полагаях = Ас;

1,6 о.сен

Рис. 52. Амплитудно-частотные кривые ультрагармонических колебаний осциллятора с кубической характеристикой без трения для различных

cos («о — 29) t = ± 1, получаем амплитудно-частотные характери­ стики для субгармонических колебаний:

Порядок вычислений по этой формуле такой же, как для формулы (1.233).

На рис. 53 приведены амплитудные кривые субгармонических колебаний при а = 1 сект2. Как видим, амплитуды субгармониче­ ских колебаний также удовлетворяют условию а ^> -^-Мс- Это поз­ воляет упростить формулу (1.235) к виду

Следует заметить, что по этой формуле, так же, как и по (1.235), определяются амплитуды субгармонических колебаний при выпол­ нении условия (1.232). В противном случае будут иметь место ко­ лебания с частотой, большей частоты возмущения. За неимением более подходящего термина условимся называть их ультрасубгармоничёскими колебаниями. Амплитудные кривые этих колебаний

69