книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

позволяет упростить формулы (1.140) к виду

Здесь использованы обозначения (1.21) и (1.22). Подставляя выраже­ ние (1.143) в формулу (1.138) и учитывая первое равенство (1.136), получаем уравнение (1.99), если п заменить на k. В случае колебаний с малыми амплитудами при малых сопротивлениях (пА <^ 1) условие (1.141) приближенно можно записать так:

пересечение которой с кривой (1.144) приближенно дает максимум амплитудно-частотной характеристики. Заметим, что для An <^ 1 кривая (1.144) близка с скелетной кривой.

Простые характеристики. Рассмотрим стационарные колебания в случае линейной характеристики. Они описываются частным реше­

Подставляя это выражение в равенство (1.139), получаем уравнение амплитудно-частотной характеристики

±У^[е™{2пА-1)+Ц =

Здесь значение 9, как известно [7, 13], может быть определено по формуле

e - y ^ ( i - 3 i * L n M » ) .

Менее точное уравнение амплитудно-частотных характеристик по­ лучаем, используя приближенные равенства (1.143), где в соответ-

А

ствии с формулами (1.21) и (1.22) f(A) = [2 ] awdu] = А У~а. Под-

о

1 К этому же результату приводит и первая формула (1.140).

50

где 0 можно определить по формуле

в = | / " - f [ 1 - 2n2 - -L (1 - 1 In") (sin А ) "

Если положим здесь я = 0, то получим выражение (1.28). Прибли­ женное уравнение амплитудных кривых получаем, используя равен­ ство (1.27):

QF

Рассмотрим колебания осциллятора с кубической характеристи­

уравнения (1.146). Подставляя (1.148) в (1.139), находим уравнение амплитудно-частотной характеристики, которое оказывается весьма громоздким. Его можно упростить (за счет точности), если восполь­ зоваться равенством (1.32). Имеем

(1.149)

Здесь 0, как известно 113], можно определить по формуле

e - V ^ [ i + - T - ( 3 i r - 2 п \ -

При п = 0 это выражение превращается в известную [13, 35, 57, 69] формулу Дуффинга

которая несколько уступает в точности выражению (1.33). Формулой (1.150) можно также пользоваться при условии 2гС- <^

<^3р7а. Если в (1.150) положить 0 = со и разрешить относительно

1 К этому же результату приводит использование "первой формулы (1.140).

62

амплитуды, то получаем уравнение скелетной кривой в виде

Предполагается, что член в скобках формулы (1.150) мал по сравне­ нию с единицей.

Возводя это выражение в квадрат и используя формулу (1.150), приближенно имеем

Для оценки точности полученных результатов сопоставим их с дан­ ными расчетов, проведенных одним из классических методов [60]. Исследования [18] приводят к следующим результатам.

Уравнение скелетной кривой

Амплитудные кривые, построенные по формулам (1.149) и (1.154)

но признать удовлетворительным.

На рис. 45 показано сопоставление амплитудно-частотной харак­ теристики, построенной по формуле (1.149), с данными решения на ЭЦВМ «Урал-3», представленными точками. Как видно из рисунка, совпадение аналитических и машинных решений удовлетворительно.

Сложные характеристики. Рассмотрим стационарные колебания

нение амплитудно-частотных характеристик для больших колеба­ ний, т. е. когда выполняется условие (1.39):

QF

(1.156)

63

Здесь 0, как известно [13, 32], определяется по формуле

Подставляя выражения (1.45) и (1.143) в формулу (1.139), полу­ чаем уравнение амплитудно-частотной характеристики для малых

а,сек

колебаний, т. е. когда выполняется условие (1.38):

(1.158) Здесь, аналогично изложенному выше, 0 можно определить по фор­

54

Далее рассмотрим стационарные колебания системы с разрывной характеристикой (см. рис. 14, а). Подставляя выражения (1.73) и (1.143) в формулу (1.139), получаем уравнение амплитудно-частот­ ных характеристик:

У(2б„ + » | Л | ) | Л | - ± S

Здесь 0 можно определить по известной [13, 49] формуле (1.75), пренебрегая влиянием сопротивления.

А, см

Уравнение (1.145) кривой, ограничивающей амплитудные кри­

На рис. 47 приведены амплитудно-частотные характеристики, построенные по формулам (1.159) и (1.160) при а = 1 се/с—2, б0 = = 1 см • сект-2, /г — 0,15 см~1. Аналогично можно построить амп­ литудные кривые и для других сложных характеристик г .

§ 4. Колебания сложных систем

Системы первого рода. Рассмотрим стационарные коле­ бания нелинейных систем первого рода, описываемых уравнением

В соответствии с идеей метода переменного масштаба [13] преобра­

55

- I — § - £ - < r i + * ) - £ ;

I T * + П + 2 f , +

+ ^ + / а р 2 ) Ф - ( / ' х + /1р)ар].

Подставляя последнее выражение и первую формулу (1.162) в урав­ нение (1.2), после простых преобразований получаем

Ф (1.163)

Сопоставляя уравнения (1.161) и (1.163), видим, что они совпа­ дают при выполнении условий

К полученной системе трех уравнений с четырьмя неизвестными функциями /, ф, гр и Н присоединим условие (1.6), которое приводит­ ся к зависимости (1.9). Тогда соотношение (1.164) упрощается к виду

Это равенство совпадает с уравнением (1.10). Следовательно, его решение определяется формулами (1.21) и (1.22).

1 Неравенство (1.168) является необходимым и достаточным условием сущест­ вования приближенного решения.

Используя соотношение (1.9), из условия (1.166) находим

Ф

Если функция N (х) ж п = const мало отличается от среднего зна­ чения, то, подставляя формулу (1.169) в уравнение (1.2) и используя соотношения (1.14) и (1.15), получаем уравнение (1.92). Таким обра­ зом, в этом случае можно воспользоваться результатами § 2 данной главы. В противном случае следует воспользоваться частным реше­ нием уравнения. (1.2)?которое, как известно, имеет вид

Переходя к старым переменным по условиям (1.162) и используя формулу (1.169), а также равенство du = ср (т) dx, получаем реше­ ние для стационарных колебаний в виде

Это выражение следует разрешить совместно с уравнением (1.167). Причем для упрощения надо воспользоваться приемом линеариза­ ции [10, 13] фазовой функции, т. е. использовать формулу (1.13).

Системы второго рода. Рассмотрим стационарные колебания не­ линейных систем второго рода, движение которых описывается урав­ нением

Преобразуем [9, 13, 18] это уравнение в линейное. Для этого вос­ пользуемся соотношениями (1.3), дифференцируя которые, получаем

57

частным решением (1.170) уравнения (1.2). Переходя к старым переменным по условиям (1.3) и используя формулу (1.179), а также

68

Проиллюстрируем изложенную теорию примером. Допустим, что намагниченный стальной шарик массой т может свободно без трения двигаться в трубке, изогнутой по квадратной параболе (рис. 48), уравнение которой имеет вид х2 = 2ру. Предположим, что трубка вращается с постоянной угловой скоростью Q вокруг вер­ тикальной оси у и находится в переменном магнитном поле. Пусть сила притяжения шарика магнитами направ­ лена вдоль оси х и соответствует закону

Для составления дифференциального урав­ нения задачи воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода

Подставляя это выражение и формулу (1.180) в уравнение (1.181),

Теперь по формуле (1.178) с учетом второго выражения (1.183)

59