Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Подставляя это решение в уравнение (1.108) и приравнивая нулю коэффициенты при тригонометрических функциях и свободный член, получаем значения С1 и С2 такие же, как для симметричных характе ристик, а С, = &JQ (при этом малым членом /г2/Э2 по сравнению с единицей пренебрегаем). Решение (1.109) можно представить в виде

z = QCOS -5-Е —р + - 7 Г

где использованы обозначения (1.96) и (1.97). Переходя к старым переменным в соответствии с формулами (1.15) и (1.86) и используя выражение (1.97), получаем решение для стационарных колебаний:

f . .	Of cos (mt — p)	, б.,
' 1	V(л2 - со2 + 92 )2 + 4л2 со2	' " Г ~ '

Полагая здесь у = A, cos (at— р) = 1, приходим к уравнению амплитудно-частотной характеристики

f (4= Лшах) =	А - ±	— Г = = Е	Ш	Т = = Т - .	(1.110)
min	0	У (п1 — СО2 +		б2)-5 + 4/^ш2

Заметим, что для частного случая 6# = 0 выражение (1.110) приводится к виду (1.99). Следовательно, в этом случае при > 0 можно пользоваться выражениями для симметричных характеристик (см. § 1), а для а* < 0 — формулами (1.103) и (1.105). Построив та ким образом амплитудно-частотные характеристики для у, путем смещения оси со на величину х0 получим характеристики для х.

Если продифференцировать уравнение (1.110) по со и положить dA/da> = 0, то снова получим равенство (1.100). Подставляя это равенство в (1.101), находим выражение для экстремальных значений амплитуды

№ А „ . х ) . = 4 - ± - £ - .			( М П )
min	и	" х

Как показано выше, стационарные колебания с экстремаль ными значениями амплитуд отстают от возбуждения на Из из ложенного выше следует, что существенное влияние на вид амплитуд но-частотных характеристик оказывает знак а^. Поэтому рассмот

рим два возможных случая.

1. Если а * > 0, Зсф > у2, то аналогично тому, как это сделано для симметричных характеристик, при определении амплитудной функции следует пользоваться формулой (1.32). Тогда (1.110) и (1.111) принимают вид

+ л т а	х ] / а , +	- ^ М 2 =	4 ^	± г		Q F					(1-Н2)
min	"	2	е	У(п* -	со2 +	92 )2		+ 4/t2 a2			v
	(=F Лшах)э Va„		+ 4 - р (Лт а		х)э =		4 -	±		•	(1.113)
		min "	1	min		и			L a

Здесь 0 определяется из (1.60) и (1.61). Беря в левой части (1.112) знак «плюс» или «минус», получаем характеристики соответственно минимальных и максимальных амплитуд колебаний.

2. Если а„. < О, В > 0, ЗаВ < у2, то аналогично тому, как это сделано выше, для определения амплитудной функции следует пользоваться выражением (1.45). Тогда (1.110) и (1.111) принимают вид

/ 2 Р

/ ( п 2

У2Р

I / " Т р у т а х — " Л min

—ае - С

— со* + 92 )2 + 4ла ш2 '

_ (1-П4)

' - mm

2л "

(Шх)

а.сен

\Сдляу)


Здесь		0	определяется			из
(1.64) и (1.63).
Построив				по	формулам		Рис. 32. Амплитудно-частотные характеристи
(1.112)		и	(1.114)		амплитуд		ки	упруго подвешенного проводника под то
но-частотные характеристи							ком	при вязком трении для различных
ки	для		у,	путем смеще-			F, см • сек~2.
ния	оси		на	величину		х0 =	У_
							ЗР	получаем характеристики для х.

В качестве примера рассмотрим упруго подвешенный проводник под током (см. рис. 10). Добавляя к уравнению (1.67) член, учитываю

щий вязкое трение,	получаем
х - f 2пх + п2, ^— kr-\- (1 — К) х			^-х2 — j r x * \		~ ^cosco^,
где		kll	F = kil0l
л.	=	kll	F = kil0l
Допустим, что	= 1 се/с—2, К = 0,2, г = 10 см. Тогда по форму
лам (1.70) — (1.71') вычисляем		=	0,82 сект2,	=	2,8 см • сект2,
В = —0,007 см~2 • сект-2, х0 =		3,3 см. Так как		>	0, уравнение

амплитудно-частотной характеристики получаем по формуле (1.112):

т а х ) Л ) , 8 2 - 0 , 0 0 7 Л а = - ^ - ±			BF
т а х ) Л ) , 8 2 - 0 , 0 0 7 Л а = - ^ - ±		W —	со2 + б2)2 + 4л2ш2
min	0	W —	со2 + б2)2 + 4л2ш2
Амплитудные кривые,	построенные	по этой	формуле при п —

= 0,1 се/с- 1 , изображены на рис. 32.

По формуле

(1.113)

нахо

mini'

дим зависимость

между

экс

№

у'

-г

тремальными значениями ам

плитуд

и коэффициентом

за

тухания:

("F ^тах)э X

min

X Л[0,82-0,007

(Лт а х)э

\ V

min

= - 5 - =Ь -

(длях)

2и

Построенные по этой формуле

кривые приведены на рис. 33.

п.сен

Рассмотрим

уравнение

(1.107) при а* =

1 ш г - 2 , р

(дляу)

= 1 см.—2 • сек—2, б„. = 1 смх

X сект2,

п = 0,5

сек~1.

Ам

плитудно-частотные

характе

ристики, построенные1 по фор

-4

муле (1.112), представлены на

рис. 34.

Штриховыми линия

ми изображены

неустойчивые

(нереализуемые) решения. При

Рис. 33. Зависимость экстремальных зна

знаке «минуо> в

левой

части

формулы (1.112) получены ам

чений амплитуд колебаний упруго под

вешенного проводника под током от коэф

плитудно-частотные

характе

фициента

затухания

при вязком трении

ристики

для наибольших ам

для различных F, см • сек.—2

плитуд

колебаний

Л т а х ,

при

знаке «плюс»

характеристики для

наименьших амплитуд

коле-

баний

Amin.

хар актер истики уравнения

(1.107)

при

а ,

Амплитудно-частотные

= — 0,42 сек-2,

р = 0,005 смт2 • сект2, F

0,5 см • сек~2,

8„. =

2 см - сек—2, п — 0,03

се/с- 1 , построенные5

по формуле (1.114),

2	4	6 0	Z	4	о,с
	a			S
Рис. 34. Амплитудно-частотные		характеристики		несимметричной	системы
При ВЯЗКОМ трении: а — F = 1 см		• сек.—2;	6 — F =	2 см • сек~2.
1.2 Результаты получены В. 3.		Крыжановской.

изображены на рис. 35. Точками и кружками на рис. 34, 35 показаны результаты решения задач на ЭЦВМ «Ураз-3». Точки соответствуют


максимальным		амплитудам колебаний,				кружки — минимальным.
Как видно из этих рисун-					А.сн		AMDX
ков, аналитические			решения
достаточно хорошо			соответ		10)
ствуют	машинным.
Характеристики с разрыва
ми и	люфтами. Рассмотрим				P.S 0.3	1.0	1,2	1.4	а, сен"
стационарные колебания				при	Рис. 35. Амплитудные			кривые	несиммет
вязком	трении	массы на двух			Рис. 35. Амплитудные			кривые	несиммет
вязком	трении	массы на двух			ричных колебаний.
предварительно		сжатых		ли

нейно деформируемых пружинах (см. рис. 13). В этом случае харак теристика (1.72) имеет разрыв непрерывности (см. рис. 14, а). Подстав ляя амплитудную функцию (1.73) в формулу (1.99), получаем урав нение амплитудно-частотной характеристики

V(280+aA)A	= ±-	QF	(1.115)
		QF
		/ ( л 2 — со2 +	G2 )2 4- 4rt2G'-

Здесь 0 определяется по формуле (1.75).

А,см

	0,8		1.6 а.сек'		0.1	0.2 п.сен'
Рис. 36. Амплитудно-частотные харак				Рис. 37.	Зависимость	амплитуд
теристики	осциллятора с		предвари	колебаний осциллятора с предва
тельно сжатыми		линейными	пружина	рительно	сжатыми	линейными
ми при вязком трении:				пружинами от коэффициента за
F = 2	см	„—2. О	1,4 смХ	тухания при вязком трении для
X сек'.—2				различных F, см • сек~2.

Подставляя выражение (1.73) в формулу (1.101), получаем за висимость между максимальной амплитудой Л т а х и коэффициентом затухания п:

1/(2б0 + а Л т а х ) Л т а х = - ^ - .

(U16)

Построенные по формуле (1.115) амплитудно-частотные характе ристики для а = 1 сект2; б0 = 1 см • сек~-\ п = 0,07 сект-1 изобра жены на рис. 36. На этом же рисунке показаны результаты реше ния 1 задачи на ЭЦВМ «Урал-3». Можно констатировать удовлетво рительное совпадение машинных и аналитических результатов. Зависимости между Л т а х и п для тех же значений амплитуды воз мущения, построенные по формуле (1.116), приведены на рис. 37.

Рассмотрим случай, когда предварительно сжатые пружины (см. рис. 13) нелинейно упруги. В этом случае характеристика (см. рис. 16, а) будет криволинейна. Подставляя амплитудную

					0,05	0,10	0,1S	0,20 п.сен
Рис.	38.	Амплитудно-частотные		ха	Рис. 39. Зависимость		амплитуд колеба
рактеристики			осциллятора с предва		ний осциллятора с предварительно сжа
рительно		сжатыми нелинейными		пру	тыми нелинейными пружинами от коэф
жинами при вязком трении:					фициента затухания при вязком трении
• —	F =	0,5 см	• сек—2; О — ^=0,25 см X		для различных F,		см •	сек~2.
X	сек~2.

функцию (1.76) в формулу (1.99), получаем уравнение амплитудночастотной характеристики для этого случая:

1 / 2 6 И		+	од»'-!- 4- уА*+4-	м 4 = ±	г	• QF	•
V	°		3 Г	2 ^		_ Ш2+	Qiyi _\|_ 4nlQ-i
Здесь 0		определяется путем подбора			по формулам		(1.78) и (1.79).
	Подставляя выражение			(1.76) в формулу		(1.101), получаем зави

симость между максимальной амплитудой и коэффициентом затуха

ния:
^ / Г 2 б 0 Л т а х		4" а Л т а х -\|		2~yAmax		-\—2~$Amax	=	•
На рис. 38 изображены амплитудно-частотные характеристики
для а =	1 сект2;	6„ =	0,074	см	• сект2; у = 1		см • сек~2; В =
= 1 см—2	• сект2;	п =	0,12 сект2.		Здесь	же приведены		результаты

решения задачи на ЭЦВМ «Урал-3» при нулевых начальных услови ях. Как видим, совпадение аналитических и машинных решений

для	F = 0,5 см • сект2 лучше, чем	для F =	0,25 см • сект2. На
рис. 39 приведена зависимость Л т а х		от п.
1	Здесь и в дальнейшем представлены	результаты,	полученные Л. В. Велик
и А. С. Третьяковой.

Далее рассмотрим стационарные колебания при вязком трении систем с люфтами (см. рис. 18), движение которых описывается следующими уравнениями:

		х + 2пхх	+ R (х) = F cos at			при — а0		> х > а0;	^	j j ^
		х + 2п2х	= F cos at			при — а0		<; х •< а0 .
	Будем считать, что коэффициенты затуханий при — а0								> х > а„
и — OQ •< х •< а0 различны. Сначала						рассмотрим случай			движения
в пределах люфта			(—а0 •< х <; а0). Второе уравнение (1.117)							явля
ется линейным. Поэтому полное решение его								можно представить
как	сумму:			х = х1 + х2,					(1.118)

где	хг — общее решение			однородного			уравнения к\ +		20.^	= 0.
Решение этого уравнения				известно:
			Х у	= Вхе-2п'1		+ Dv			(1.119)
Здесь Вг		и D1 — произвольные постоянные, определяемые из на
чальных		условий.
	Частное решение будем				искать в виде
			х% — Вt		cos at +	D 2	sin at.		(1.120)

Подставляя это решение во второе уравнение (1.117) и приравнивая к нулю коэффициенты при тригонометрических функциях, находим

2nJ>

ш2

4л2 '

со (со2 — 4п%)

Подставляя

(1.119) и (1.120) в равенство (1.118), получаем

х = B1e~2n,t

+ D1+B2

cos at + D2 sin at.

(1.122)

Дифференцируя это выражение по времени и используя

начальные

условия t =

х = 0,

находим

- ^ - D ^

со2

/ д 2

;

D1 = - B 1

- B

= 0.

т2

— 4лд

Заметим, что если положить здесь и в (1.122) щ =

0, то придем к

решению, полученному

в § 1 данной главы.

Представим

решение

(1.122) в виде

где

х = B1e~2n,t

+ a cos (со* — р),

(1.123)

„

1 / R 2

i n 2

f У со2

+ 4л1

2л2

—.

а =

K ^

2 + D 2 =

— — — 2 —

;tgp =-f-

со (со2

— 4ng)

°2

Отсюда видно, что колебания будут опережать возмущающую, силу. Полагая в (1.123) t->- со, для стационарных колебаний получа ем решение в виде х = a cos (со^ — р). Принимая здесь х = Л,

cos (at — p) = 1, получаем уравнение амплитудно-частотной харак теристики для колебаний в пределах люфта

F Усо2 + 4л	2	(1.124)
	А < а 0 .	(1.124)
со (со2 — 4л\|)

Если положим п2 = 0, то не получим уравнение (1.84), потому что

при « 2	= 0 колебания несимметричны и А есть удвоенная амплиту
да, а	наличие	вязкого трения делает колебания симметричными.
В случае х >		а0 справедливо первое уравнение (1.117), и поэтому
можно пользоваться формулами (1.99) и (1.101). В частности, поль-

"тах>см

\о,г?

					1		0,09	0,1Z	л,,сен
		OA	0,д	а.сен'	0.0J	О, OS	0,09	0,1Z	л,,сен
		OA	0,д	а.сен'
Рис. 40.		Амплитудно-частотные		харак	Рис. 41. Зависимость амплитуд				колеба
теристики осциллятора с люфтами при					ний осциллятора с люфтами от коэффи
вязком трении:					циента	затухания	при вязком		трении.
О	— F =	0.5 см • с е / с - 2 ;	• — F=0,25	смХ
X	сек~2.

зуясь	выражением	(1.81), для	линейной	характеристики (1.80)
(см. рис. 19, а), получаем уравнение амплитудно-частотных характе
ристик	в виде
	У(А-2а0)аА	= ±	BF.		.	(1.125)
		У	(п\ — ш2 +	02 )2	+ 4я2 02
Как	показано ранее (см. § 1), амплитудные				кривые,	построенные

по формуле (1.125), имеют неустойчивые левые ветви. Для получения устойчивых ветвей в формуле (1.125) следует принять отрицательное значение амплитуды. Тогда уравнение (1.125) амплитудно-частот ной характеристики принимает вид

V(A + 2a0)aA	= ±	QF	(1.125')
	У (л2 — ш2 + б2 )2 + 4я 2 6 2
Здесь 0 определяется	по формуле	(1.83). Амплитудные	кривые,

построенные по формулам (1.124) и (1.125') при а0 = 1 см, а = 1 се/с-2

и	пх = 1Ц =	0,07	сек~1	для F = 0,25 см • сек-2,	пх = п2 =
=	0,09 сек-]	для	F = 0,5	см • сект2, изображены	на рис. 40.

Здесь же представлены результаты решения задачи на ЭЦВМ «Урал-3» при нулевых начальных условиях. Как видно из ри

сунка,	совпадение	аналитических	и машинных решений для F =
= 0,25 см • сект2		можно признать	хорошими. Зависимость между
Лщах и	пх приведена на рис. 41.

§ 3. Колебания при турбулентном сопротивлении

Общая теория. Рассмотрим стационарные колебания при турбулентном сопротивлении, описываемые уравнением

х (/) + пх2	(/) sgn х + R (х) = F cos wt.		(I.126)
Здесь использована функция Кронекера
sgn х	~\( + 1 при	х>0;
	[— 1 при	* < ; 0 .

Преобразуем уравнение (1.126) к виду (1.2). С этой целью вос пользуемся заменами (1.3). Подставляя их и формулу (1.4) в равен ство (1.2), получаем уравнение (1.5). Сопоставляя (1.5) и (1.126),

видим, что они будут совпадать	при	выполнении условий (1.7),
(1.8) и
х —,	=	nxsgnx,

где /.,. (х) — амплитудная функция. Это выражение можно записать

f*M	ф(0	•	df*	*Р	™ ' J	JA
так: —;	. т . — = п sgn х		или —;	г- =	п sgn хах.	Инте-
f, (*)	ф(0-«(0		/,	Ф

грируя и полагая произвольную постоянную равной нулю, находим

In /, — In ф = пх sgn л,	откуда In	= пх sgn х.	Следовательно,
/.	(х) = ф (t) ехр (лл: sgn х).		(1.127)

Подставляя эту формулу в (1.7), получаем/,, (х) • / . (*) ехр (—2пх X

X sgn х) = R (х). Разделяя здесь переменные и интегрируя, имеем f-

—~ = ^ R(x) ехр (2пх sgn х) йх + С0,

откуда

Ъ (х) = [2 J R (х) ехр (2пх sgn х) dx + С]2 , С = 2С0 . (1.128) Полагая здесь С = 0, находим

/*(*) = [2

ехр (2пх sgn

1	(1.129)
2 .

Принимая в формуле (1.128) / # (0) =					0, т. е. выбирая начало коорди
нат в	положении		статистического равновесия,			получаем		С =
= 2^	/?(х)	ехр (2пх sgn х) dx \х==о-			Следовательно,	выражение		для
амплитудной		функции		принимает	вид
		(л)	=	[2 J' R (и) ехр (2n« sgn х) du] 2		.	(1.130)
				о"

Полагая в формулах (1.129) и (1.130) п = 0, получаем выражение (1.21) и (1.22). Подставляя равенство (1.127) в условие (1.8), находим


г , . ,	F cos ш		,	v
Н (г) ~	:	ехр (пх • sgn х).

Теперь уравнение (1.2) можно записать так:

2" (е) + г(е) = f cosm/

^ _ S g n ^

^1 131)

Вследствие малости показателя степени пх, его допустимо заме нить кусочно-линейной функцией (рис. 42). Уравнение заменяющей

х	ломаной линии	имеет вид
	4Л	•	т	,
	Т I / .	1	Т	+
	+^ - ) ( - 1 ) Ж .			(1.132)

Рис. 42. Схема аппроксимации стацио нарных колебаний при турбулентном сопротивлении.

Здесь А — амплитуда стационар ных колебаний; Т — период ко лебаний; i— число полуперио дов колебаний. Замечая, что Т= = 2л/со, вводя обозначение

k = — nco .(1.133)

и используя формулу (1.132), а также	равенство	sgn х =	(—1)'+ \| ,
получаем
пх sgnx^k t—^JL +	Z-} =	k(t-x),	(1.134)

где т не зависит от t.

Уравнение (1.131) с учетом приближенного равенства (1.134) при

нимает вид
	г"(Е ) + 2 ( 6 )		=	F	V( '-T) COSGrf.			(1.135)
Подставляя	сюда равенства (1.14) и (1.15), получаем
	»/ \ I	/ \	F	k	( i r— х )	со	е-
	г" (е) +	г (е) =	-д- е		К	cos~q~	е-

Это уравнение аналогично (1.92). Следовательно, его частное реше ние можно получить по формуле (1.95), заменив соответственно по-

казатель степени: г (е) = а е vv в	)
казатель степени: г (е) = а е vv в	cos ^-д— е — рj. Здесь амплитуда
= ПО	' I

а и сдвиг фаз р могут быть определены по формулам (1.96) и (1.97) с заменой п на k

а =	9F		2/гсо	(1.136)
	— со2 + 92 )2	+ 4й3со2	tfi — и2 + еа
Y (/г2

Возвращаясь к старым переменным в соответствии с заменами (1.3) и (1.15) и учитывая приближенное равенство (1.134), для стационар-

ных колебаний	получаем	выражение	(х) = а exp (пх sgn х) х
X cos (at—р).	Полагая	здесь
	х = А; cos(o)t — р) = 1;		s g n x = l ,	(1.137)
получаем уравнение амплитудно-частотной			характеристики
		f*(A) = aenA.		(1.138)

Подставляя сюда первую формулу (1.136) и учитывая выражение (1.133), имеем

				ар„пА
МЛ) =	± — р = =	,	, „	„	„ ,	• (1-139)
	1 / [ м 2 ( ^ - л 2 - 1 ) + е 2 Г + 1 б т ш 4
Здесь перед радикалам следует взять оба знака.
Значение f^{A) может			быть	определено	по формулам (1.129) и
(1.130), если	подставить в		них	равенства (1.137):
					1
	f*(A)	=		[2^R(x).e2"xdx]xlA,		(1.140)
						(1.140)

А_1_

		/ * ( Л ) = = [ 2 \| е 2 ' ш а д ^ ] 2 .
Исследуем	выражение		(1.139) на экстремум. Продифференциро
вав его по со и положив dA/da				=	0, имеем
1 !ЛА)	о>«( — л » —1) + 6»					+	16 —		со*]	X
X 2 {[со2 ( - ^ - я 2		- l ) +	82 ] 2со		/г2	-	l ) +	64		со3} = 0.
Это равенство удовлетворяется при условии
ffl2	-	1) + 02]		п* ~ 1) + 1 6					= °-	<L141>
Подставляя (1.141) в формулу				(1.139), получаем				уравнение кривой
					FQeпА					(1.142)
										(1.142)

пересечение которой с кривой (1.141) происходит в точке, являющей ся максимумом амплитудно-частотной характеристики.

В случае малых сопротивлений и малых амплитуд колебаний показатель степени 2пх будет мал и, следовательно, функцию е2"* при интегрировании можно считать приближенно постоянной. Это

4 4-5

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ