Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 224 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Если х <; Of), то справедливо уравнение х = F cos coi, решение кото

рого	при начальных		условиях х (0) =				0, х (0) =	0 имеет	вид л; =
= —	(1 — cos (at). Полагая здесь х =						\ ±А \ и cos at = ±		1, полу
о с и				в~а				. .. .
			/ /М V			1 1		. .. .
	3		'Ж	]		1
					1 \
		/'Л			^	\
	2	/'Л				1 "
						1
	^0,2.5					1	. 9,5
	^0,2.5						. 9,5
							о^5~^-
	0		0,4	0,5		0,8	1,0	1,2 a,cetr1-
	0,1		0,4	0,5		0,8	1,0	1,2 a,cetr1-
	Рис. 20. Амплитудно-частотные характеристики осциллятора с люф
	тами без трения для различных					F, см • с е к - 2 .
чаем	уравнение	амплитудно-частотной					характеристики 1
			и = УЦ-,А<а0.						(1.84)
На рис. 20 приведены амплитудно-частотные								характеристики,
построенные по формулам (1.82) — (1.84) при а„ =								1 см, а = 1 сект2.

§ 2. Колебания при вязком трении

Симметричные характеристики. Рассмотрим стацио нарные вынужденные колебания нелинейной системы, описываемые следующим уравнением [17]:

х (f) + 2пх (/) + R (х) = F cos wt,

(1.85)

где R (х) — симметричная упругая характеристика; п — малый ко эффициент затухания (п <^ 1). В соответствии с идеей метода пере менного масштаба [13] преобразуем уравнение (1.85) к виду (1.2). С этой целью воспользуемся соотношениями, аналогичными (1.3):

z(e) = entf(x), е = ф(0.

(1.86)

1 Значение со = 0 не принимается во внимание.

Продифференцируем дважды по е первое соотношение (1.86):

„

еы

d2z

d& \de

\de j d&

ф з

lV x

' *

2/'лг + л 2 / ) Ф - ( / ' х

/г/)ф].

Подставив последнее выражение, а также

первую

формулу (1.86)

в уравнение (1.2), после простых преобразований

получим

*+ (тх ~ f " +

" ) * +

(*'+

ф 2

fп)

irе_П'я(е)-

(1.87)

Сопоставляя

уравнения

(1.85) и (1.87), видим, что они

будут сов

падать при выполнении

условий

-jrx—

- ¥ - + 2 / г =

2/г;

(1.88)

- ^ л 2 + Ф

2 - - ^ я )

#(*);,,

(1.89)

е~п 'Я (е) = F cos arf.

(1.90)

Условие

(1.88) совпадает

выражением

(1.6).

Следовательно,

и в случае наличия вязкого трения будет справедливо соотношение (1.9). При малых сопротивлениях (п 1) будет иметь место нера венство л2 — ? - п <^ ф2 , которое позволяет приближенно привести

условие (1.89) к виду (1.7). Следовательно, и в случае наличия вязко го трения приближенно будут справедливы формулы (1.10), (1.20) — (1.22).

Используя соотношение (1.9), из условия (1.90) получаем

Я(е) = Л- ent cos at.	(1.91)
Ф

Подставляя это равенство в уравнение (1.2) и учитывая соотношения (1.14) и (1.15), имеем

п
2"(e) + 2(e)=^ - e" r 6 cos^ - e .	(1.92)

Стационарные колебания определяются частным решением урав нения (1.92), которое будем искать в виде

2 = (k C1 cos-^-e+C2 sin- |-6je9 .

(1.93)

Подставляя это выражение в уравнение (1.92), находим

( - §	( C i c o s - \| - e		+	C2 sin-^-e)+ 2 - ^ - ( c a c o s - \| - е —
	/->	•	со	\	F	со
	Сг	sin -g- ej =			-g- cos -g- e.

Приравнивая нулю коэффициенты при тригонометрических функци ях, получаем алгебраическую систему

г ( я2

со8 . Л , о гко r _ F .

разрешая которую, определяем
г	(яа — coa + 6a )8f		r	2nM6F
1	~ (ha — со2 + е а ) а + 4ла ш2		'	2 ~ (п2 —соа + 9а )а + 4 я а « в	•
Представим частное решение (1.93) в одночленном виде. Для
этого	введем замены
	С%	— а sin р, Сх = а cos р.			(1.94)
Теперь решение (1.93)		принимает		вид
		п
	z — ae		cos ( - l h - р ) .		(1.95)

Разделив почленно выражения (1.94), определим сдвиг фаз между колебаниями и возмущением:

Возводя в квадрат и суммируя равенства (1.94), имеем С\ + С\ = a2 (sin2 р + cos2 р) = а2 .

Отсюда находим

а ~

C z ~ У (п2 — со2 + е а ) а + 4л2 ш2 '

( 1 - 9 7 ^

Подставляя это выражение в решение (1.95) и переходя к старым переменным в соответствии с формулами (1.15) и (1.86), находим ре шение для стационарных колебаний в виде

^	9 f c o s M - p )	=
v	/ ( п а — со2 + 92 )2 + 4ла ш2

Полагая здесь д; = A, cos (cof — р) = 1„ получаем уравнение амп литудно-частотной характеристики

/ (А) = ±	B f	.	(1.99)
' v '	V V — со2 + 92 )2 + 4naco2		v

Если положить здесь п — О, то получим уравнение (1.23) амплитуд но-частотной характеристики без учета трения.

В отличие от систем без трения, амплитудные кривые, построен ные по формуле (1.99), не имеют разрывов вдоль скелетных кривых (рис. 21). Как показывают исследования [7, 35, 57, 62, 72], место перескока зависит от направления изменения частоты возмущения.

Допустим, что в случае жесткой системы мы начали увеличивать частоту возмущения от некоторого ее значения ©А, которому соот ветствует точка / на кривой. В точке 2 амплитуда получает наиболь шее значение и начинает уменьшаться до точки 3 (с частотой со2),

Рис. 21. К вопросу о перескоке с резонансных на нерезонансные колеба ния:

а — ж е с т к а я система; б — мягкая система.

где происходит перескок (срыв) амплитуды до ее значения в точке 4, после чего опять следует ее плавное уменьшение. Наоборот, при уменьшении частоты возмущения от значения со2 амплитуда дости гает точки 5, где совершает скачок до ее значения в точке 6, а далее плавно уменьшается. Таким образом, в точках 3 и 5 нарушается не прерывное изменение амплитуды. Это явление свойственно только нелинейным системам. Аналогично обстоит дело и в случае мягкой упругой системы, где разрывы имеют место в точках 2 и 5.

Исследования показывают, что средняя ветвь, заключенная между двумя вертикальными штриховыми линиями, характеризует неустойчивые нереализуемые амплитуды. Поэтому и в дальнейшем эти ветви будем обозначать штрихами.

Как видно из рис. 21, амплитудно-частотные характеристики всегда имеют зону частот со, при которых возможны колебания с боль шими амплитудами (участки 6—3 на рис. 21, а и 5—3 на рис. 21, б), именуемые резонансными, а также колебания с малыми амплитудами (участки 5—4 на рис. 21, а и 6—2 на рис. 21, б), именуемые нерезо нансными колебаниями. Как показывают исследования [17, 62], реализация тех или иных колебаний зависит от начальных условий. Так, при нулевых начальных условиях всегда реализуются нере зонансные колебания. Резонансные колебания.реализуются при не нулевых начальных условиях.

На рис. 22 изображены амплитудно-частотные	характеристики
для уравнения Дуффинга. Заштрихованные зоны	представляют
3 4-5	33

собой геометрическое место точек, определяющих начальные переме щения, при которых реализуются резонансные колебания 1 .

Из анализа полученных данных следует, что начальные переме щения, при которых реализуются резонансные колебания, облада ют существенной несимметрией. Теоретическое определение границ заштрихованных зон представляет весьма сложную задачу, так как

оно возможно только при рассмотрении нестационарных							колебаний.
		в процессе			установления						и
		поэтому		здесь		не	рассматри
		вается.
		Для		определения					макси
		мумов	амплитудно-частотных
		характеристик					необходимо
		найти	геометрическое						место
		точек, в которых амплитудные
		кривые имеют горизонтальные
		касательные. Для этого следу
		ет продифференцировать урав
		нение	(1.99)		по со и положить
		dA/da	=	0. Имеем
		-±- f(A)		[(«2 — со2			+	в2 )2		+
				i _
Рис. 22. К вопросу о реализации	резо	+ 4/i2 co2 j		2 [ 2 ( / г 2 - с о 2				+ 6 2		)	X
нансных и нерезонансных колебаний в
зависимости от начальных условий:		X (— 2ш) +				8/г2со] =			0.

а — ж е с т к а я		система	( а = 1 « к - 2 ,				р = 1		см~-X
X с е к - 2 ,	л =	0,125 « к -		1 ,	F=l	см	• сек~2);		6—
мягкая	система		( а =		1	сек	2 ,	0	=
= — 1,8	см 2	• с е / с - 2	,	л	=	0.03	сек-1,		F =

Это равенство удовлетворяет ся при условии

		со2 =	0 2 — п 2 .	(1.100)
Итак, получено	уравнение кривой, которая оказывается			близкой
к скелетной кривой со = 0, так как /г ^		1.
Если подставить условие (1.100) в уравнение (1.99), то получим
простую формулу для определения максимальных значений				ампли
тудно-частотных	характеристик:
	/ ( Л т а х ) = ^ Г .			(1-101)
Подставляя условие (1.100) в (1.96),		находим tgp	= со,	р = у .

Итак, стационарные колебания с максимальной амплитудой (1.101) отстают от возмущения на 90°.

Для определения точек срыва колебаний необходимо найти гео метрическое место точек, в которых амплитудно-частотные харак теристики имеют вертикальные касательные. Для этого следует продифференцировать уравнение (1.99) по Л и положить dcaIdA = 0.

J Эти результаты получены на ЭЦВМ «Урал-3» М. И. Казакевичем, Э. Н.Квашей, С. Ф. Редько.

Тогда получаем

уравнение

кривой

/' (А) ] / ( л 2 — со2 +

0 2 ) 2

4 лV

±-^-F 1

262 (га2 — ш2

+ б2 )

(га2 — со2 62 )2 +

4л2 ш2

(1.102)

Проиллюстрируем

построение

амплитудно-частотных

характе

ристик в случае наличия вязкого трения

конкретными примерами.

Сначала рассмотрим стационарные колебания маятника

(см.

рис. 1). Добавляя

уравнению

(1.25)

член, учитывающий

вяз

кое

трение,

имеем

ij; + 2/ггр +

град

+ -у- sin т|э =

М cos at.

Подстав

" 1

ляя

выражения

(1.27)

(1.28)

120]

град

ВО

\ д

0,4

0,8

1,1

1,6

о,сей'

Рис. 24. Зависимости максимальных ам

Рис. 23. Амплитудно-частотные

харак

теристики маятника при вязком трении

плитуд колебаний маятника от коэффи

для различных

М, сек.—2

циента затухания для

различных М,

сек.—2

в (1.99), получаем уравнение амплитудно-частотной

характеристи

ки

для маятника:

2 sin А

{ [ " 2

со2 + -

f ( l -

4 " sin2

+ 4 n 2 0 2 } ~

=± м ( 1 - 4 - 5 т 2 4 ) .

Амплитудные	кривые, построенные по этой						формуле 1	при gll	=
= 1 сект-2, п =	0,15 сект1,	приведены на рис. 23.
Подставляя	выражение		(1.27) в формулу				(1.101), получаем		за
висимость максимальной		амплитуды			от коэффициента			затухания:
		I	in	A ™ a x	—	м
		I	w l n	2	~	2га •
	V-

На рис. 24 изображены кривые, построенные по этой формуле при qll = 1 сект2.

Далее, рассмотрим колебания осциллятора с кубической харак теристикой, описываемые уравнением Дуффинга [17, 69]:

х + 2пх + ах + рх3 = F cos at, a > 0, f> ^ 0.

1 Для удобства вычислений это уравнение следует разрешить относительно частоты возмущения.

Подставляя выражения (1.32) и (1.33) в формулу (1.99), получаем уравнение амплитудно-частотной характеристики

				Л ^ а + ^ б Л ^ п2				— co2 + a ( l +
				+	0,756-^-Л2		+	4/г2 со2 }~Г =»
				1	'	а
				= ± / ? ] / A a ( l			+ 0,756 i		Л 2 ) .
	0,6	1.0	1,4 Цсе/С*	Построенные по этой формуле1
Рис. 25. Амплитудно-частотные				Построенные по этой формуле1
характеристики		осциллятора с		амплитудно-частотные				хар актер исте
кубической характеристикой при				ки изображены на рис. 25—27. Точка
вязком трении		для a =	1 сек	ми на	рисунках отмечены				результа
			.—2
р =	1 см~2 -сек-2, F=0,25 смХ			ты *, полученные на ЭЦВМ «Урал-3».
X	сек~2.			В случае		решения	при нулевых на
				чальных условиях			реализованы нере

зонансные колебания (см. рис. 25, 26), при различных начальных условиях реализованы как нерезонансные, так и резонансные коле бания (см. рис. 27). Совпадение аналитических и машинных решений

можно признать		хорошим, за исключением	участка со = 0,4	-f-
- г - 0,8 сек~1	для	F = 2 см • сект2 на рис. 27.	О причине этого	не
соответствия	будет сказано ниже (см. § 5 данной главы).

см

/ /

1,2	1
	1
	1

1,2

2.4

а.сек'

°'1

Рис. 26.

Амплитудно-частотная кривая

Рис. 27. Амплитудно-частотные кривые

осциллятора

с жесткой характеристи

осциллятора

кубической

характери

кой

при

вязком

трении

для

a =

стикой

при

вязком трении

для a

= 1

сек~2,

Р = 1

см~2

сек 2,

п <

1 сек 2 ,

р =

1 сек.—2

..—2

* 0,13 сек~\

F =

1 см •

секГ2.

= 0,16

сек 1

и различных F,

см-сек

Рис. 25

—решения получены Л. В. Велик и А. С. Третьяковой.

Рис. 26 — результаты получены

В. И.

Глухих

и Т. И. Тимошенко,

рис. 27 — Н. Г. Новиковой и Л. И. Бобровой.

Подставляя выражение (1.32) в (1.101), получаем зависимость максимальной амплитуды от коэффициента затухания:

Графики,	построенные по этой	формуле при а = 1 сект2, В =
= 1 см~2	• сек~2, представлены	на рис. 28.

Как показывают вычисления, малое затухание практически не влияет на амплитудно-частотные характеристики везде, кроме малых участков вблизи максимумов. Поэтому практически для А <С Amax

амплитудные кривые можно строить без	учета затухания	(см. § 1
данной главы). Значение и положение AmaK	определяется по	форму-
Аmax,СМ

омJ

	0,16		0J2 я.еек4						о, сен
Рис. 28. Зависимость		максималь		Рис. 29.		Амплитудно-частотные харак
ной амплитуды колебаний от ко				теристики систем с перескоком при
эффициента	затухания		для ос	вязком		трении:
циллятора с кубической			характе	0	— ^ =	2	см	к-2;
ристикой при вязком		трении для		X	сек'—2.		— F	0,5 см	„ - 2 .
различных	F, см •	сек~2.		F	= 0,25	см	. - 2

лам (1.100) и (1.101). При				необходимости для	уточнения	точек сры
ва	колебаний	следует использовать выражение (1.102).
	Системы с	перескоком. Рассмотрим стационарные колебания при
вязком трении			систем с	перескоком, описываемые		уравнением
х +	2пх — ах	+	fix3 = F cos at, а > 0, В > 0,		которое	получается

из (1.35) путем добавления члена 2пх. Подставляя выражения (1.41) и (1.42) в формулу (1.99), получаем уравнение амплитудно-частотной характеристики для больших колебаний, возникающих при условии (1.39):

АУ-^-А^-а { л 2		2 , „	. 1
АУ-^-А^-а { л 2	— ш2 + 1,18а(-£-Л2	— г)"	+ 4/г2со2}"2 -
=	± 0 , 7 7 F " \| / 2 a \|з / -~rAz	— 2,	(1.103)

На рис. 29 приведены амплитудные кривые, построенные по


этой формуле при а			= 1 сект-2, (J = 1 смг2	• сект2,	п — 0,16 сект-1,
а также	показаны		результаты решения 1	на ЭЦВМ «Урал-3»		при
нулевых	начальных		условиях. Данные 2 , полученные для тех			же
параметров		с учетом субгармонических колебаний			(см. § 5 данной
главы)	при	ненулевых начальных условиях, представлены				на

.см

"max

/-г

0,6

1,6

о,сен'

0,16

0.J2 п.сек'

Рис. 30.

Сопоставление аналитических

Рис. 31. Зависимость максимальной ам

и машинных решений для амплитуд

плитуды

колебаний

от

коэффициента

но-частотных

характеристик системы

затухания для системы

перескоком

перескоком при вязком трении:

при вязком трении

для

различных

«• - 2 .

F, см •

сек~2.

F — 0,5

см

•

0,25

см •

сек

рис. 30^ Здесь совпадение аналитических и машинных решений не

сколько худшее, чем на рис. 29. О причине		этого будет сказано в
§ 5 данной главы.
Подставляя выражение (1.42) в (1.101), получаем зависимость
максимальной	амплитуды от коэффициента	затухания:
		(1.104)
Построенные	по этой формуле графики для ос = 1 сек—2, 6 =
= 1 смт2 • сект2 приведены на рис. 31.

Далее рассмотрим малые стационарные колебания системы с перескоком, происходящим при выполнении условия (1.38). Под ставляя выражения (1.40) и (1.45) в (1.99), получаем уравнение амп литудно-частотных характеристик для малых колебаний:

	Р А2			2	I
	Р А2	/г2 — со2 + 2а (2		^- А2	+ 4л2 со2 }2 =
	/2g
	=	±FV2a	У2 —	-^-А\	(1.105)
1	Решения получены Л. В. Велик и А. С. Третьяковой.
3	Результаты получены Н. Г. Новиковой и Л. И. Бобровой.

Построенные по этой формуле амплитудные кривые изображены на рис. 29 (п = 0,15 сек—1) и 30 (п = 0,16 сек-1). Эти кривые практи чески не отличаются от приведенных на рис. 7.

Подставляя выражение (1.50) в формулы (1.103) — (1.106), полу чаем амплитудно-частотные характеристики и зависимость Л т а х от

пдля фермы Мизеса (см. рис. 8) с малой подъемистостью (б <^ 1): большие колебания [А >> " j / " — j

An, У ^ ~ Л 2 - 8 { \ п 2 - а2 + 1,18п2.б (1±*. А2-2^~ +

+ 4 n w } ~ = ± 0,77/Ъ* 1/26 • ^ " W " А * ~ 2 '

	1	+ *	л2	-	б	- f
где		4 / 2	^ т а х		О -	"2^-
где
малые колебания	[A <Z ^	~~jfir~)
л* ( - § - У Т Т б - б/ YTTT				(["2 _		0 ) 2 + 2	R T ' 6	Х
2	12
* ( 2 - " W ^ 2 ) 9	] ' + 4 n W	} 2	= ± 7 ? / г *				2 — w ^ 2 -
Аналогично, подставляя		выражение			(1.50') в		(1.103) — (1.105),
получаем зависимости Л от со и Л г а а х				от п для фермы Мизеса в слу
чае произвольной подъемистости б.
Несимметричные характеристики. Добавляя к уравнению (1.51)
член, учитывающий вязкое трение, имеем
х + 2пх + б0 - f ах + ух2 + $x3						= F cos at.		(1.106\
С учетом (1.52) и (1.53) уравнение (1.106) приводим к виду
у + 2пу + ау + № = 6 + F cos at.								(1.107)

Здесь использованы обозначения (1.55). Путем замен (1.86), анало гично (1.92), приходим к уравнению с постоянными коэффициентами

г"(е) + 2(е) = - д - е° \д, + Fcos*).

(1.108)

Стационарные колебания определяются частным решением урав

нения (1.108), которое находим в виде
г -(CiCOs^-e+Cjsin-^-e-t-CaJe 9 .	(1.109)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 224 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ