книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

x ^ ± Y ^ - = ± l Y 4 f r ^ ± l V 2 ( 8 - 8 \

б « 1 .

/?(**) = — о х » +

p*2 =

0;

*, =

/ V r 2 6 + б2 ;

7?'(JSJ = — а +

ЗР*. =

л 2

1 —

*2 Л

У ^ н *

К ( ^ + / 2 ) 3

Решая эту систему и используя обозначения (1.48), находим

г? 6( 6 + 2) . Q

я»

п , п , .

а ~ Т

"

(1 +

6)2

' Р —

2(1 н - б ) 2 / а

*

V-0K))

для

больших

колебаний

б

(2

+

б) |

Л2

,

2_

Л2

2

2

3

Д) '

=F 1,54 Л [ /2б (2 + б)

со = 0,6л

• (1 +•б)2 2 L /2 б(2 + б) —2

—2

для

малых колебаний

Ю

2 = П 2

6(2 + 6)

Л2

Ш

"

(1+б)2

2 — /2б (2 + б)

б (2 + б)

S3

X

Л2

— 1

/2б (2 + б)

Амплитудно-частотные

характеристики,

приведенные на рис. 7,

могут быть использованы для фермы Мизеса

при выполнении усло­

вия б/2

(2 +

б) =

1.

РО/ Т<0

т.

/г>о

г

/ Г<0

\ ДА

х(дляЯл)

*7>о~

У

а

— жесткая (а > 0, 0 > 0,

4 а 0 >

V 1 ); б — п о л у ж е

с т к а я

(а >

О, 0 > 0, 4а 0 = у1);

в

— мягкая ( а > 0, 0 < 0); г

— п о л

у м я г к а я ( а > 0, 0

> 0,

4а 0 <

уг).

уравнения (1.51) путем замены

х = у — xQ; х0 = const.

(1-52)

Подставляя

это равенство

в

уравнение

(1.51),

получаем у +

+ (а - 2ухй

+ ЗхоВ) у + (у — ЗВл:0) г/2 +

№ = F cos at+ ах0 — yxl

-

— 6*0 — б0 . Выбираем

х0 так, чтобы

исчез

член,

содержащий

г/2.

Имеем

?

- З в * 0

=

0, * 0

= - ^ _ .

(1.53)

Теперь уравнение (1.51) принимает вид

У + ац/ + № = &* + Р<жЫ,

(1.54)

где

V2

з р

Путем замен (1.3), аналогично (1.16), приведем

уравнение (1.54)

к виду

2 "(e) +

2(e) =

4 - ( 6 * +

F c o s

^ - 8 ) -

О-5 6 )

z = cos -g- е -\- Са , Cj = const, С2 == const.

(1-57)

в решение (1.57) и переходя к старым

переменным в

соответствии

с формулами (1.3) и (1.13), получаем

решение

для

стационарных

колебаний:

Полагая здесь у = ±Ат-т,

cos

= ± 1 , приходим

к уравнению

амплитудно-частотной

max

хар актеристики

/ (rp Amax)

=

±

^ _ .

(1.58)

'

max/

6 ±

е 2 - 0 ) а

1

Заметим, что для

частного

случая 6^ = 0

выражение (1.58)

вид амплитудно-частотных характеристик оказывает знак коэффи­

циента при у. Поэтому рассмотрим два возможных случая.

I . В случае

> 0 (Зсф > у2), аналогично тому, как это сделано

выше, для определения амплитудной функции следует

пользоваться

формулой (1.32). Тогда уравнение

(1.58)

принимает

вид

± A*,*

+

=

± - р = з г

•

fl.59)

определить

по приближенной

формуле 1

где

0

= ж

[N> + VNl +

т -N$"5" ) •

( L 6 0 )

^ = 1 — ! - - ! - / » ;

N2 = V^=F-^^Amax.

(1.61)

e

а *

4а» у а ,

min

Заметим,

что формула (1.60)

справедлива

для любого р > 0 и

Р <

0 при выполнении условия

устойчивости колебаний

9 „

, 0 .

2

6

которое для А = 0 принимает вид

i l P l | - < l .

2. В случае

<

0 и Р >

0 (Зсф <

у3),

аналогично тому, как

это

сделано

в

предыдущем случае, для

определения

амплитудной

(1.58) принимает

вид

+

то-

С-6 2 >

Здесь, как показано ранее [13], частоту свободных

колебаний боль­

ших {а^ >

aj и малых ^А^ <

— aj можно

определить по

приближенным формулам

^*<^ е

а.

2 K { k )

где обозначено

At = а + ЬАг

6»

а =

(1.64)

чину х0

-щ- получаем

харак­

J0cosat

теристики для х.

S

МЛЛЛ—|

Проиллюстрируем вышеизло­

женную теорию примером. Рас­

смотрим

упруго

подвешенный

I—wwh

проводник под током. Пусть

от­

резок

проводника

длиною

/, по

которому проходит ток I , удер­

живается на расстоянии

от

не­

подвижно

закрепленных

беско­

нечных

проводников,

находя­

XcOSQt

щихся под токами

/

и / 0

cos

at,

Рис. 10. Схема

упругими

пружинами с

жест­

упруго

подвешенного

костью

с

(рис. 10).

Если

про­

проводника подтоком.

водники

не находятся

под то­

ком, то пружины не

нагружены

и

расстояние

между

ними равно

г и г^.

Когда в проводниках бу­

ординатой х, пружины и неподвижные

проводники действуют на

подвижный проводник с силой

P = k-

ill

,

и Ш0

cos at — cx,

+

k

тх + cx — k

= k

— cos at.

Допустим, что г ^ г . Тогда r^Jpx

и можно пренебречь значени­

мает

вид

i

HI

l HIa

i

тх + cx — k

V

= k —— cos cor.

1

Взаимодействием

1

r

r

проводников пренебрегаем.

неподвижных

бесконечных

п2 = ±-

; К =

m

получаем возможность упростить уравнение движения к виду

7 +

"2(<7 r ^ - ) = J F o c o s 0 ^ .

(1.65)

ми линиями. Из физических соображений

очевидно (см. рис. 10),

что х <

г,

т. е. | q \ <

1. Это

дает право воспользоваться би­

JL-0 ^

номом Ньютона: 1/1—q= 1 +

+ q +

q2

+ q2 + ....

Огра­

ничиваясь

четырьмя

членами

этого

разложения,

прибли­

женно

представим уравнение

-о,г

0

- х — - А - 1,0 ТГ

(1.65) в

виде

а =

л 2 ( 1 - Л ) ; 80

= -п*Хг;

v =

р = _ п а _ * .

(1.68)

Теперь

по формулам

(1.55) находим

2

r ( l +

- » * ) ,

(1.69)

3

V

'

9

Подставляя выражения (1.68) в равенство (1.53), получаем:М

%П

У

г_

(1.70)

no

;

зр

необходимо

откорректировать

приближенную

характеристику.

Если принять

Р — =

К 4-).

(1.71)

сохранив значения (1.68) для а, б0

и у, то приближенная

характери­

стика, изображенная

на рис. 11 штрих-пунктирной

линией,

лучше

ч

Amax

аппроксимирует

истинную

харак-

теристику, чем

при

р =

г

л .

\\

В случае использования

равенства

v

\\%

3 ( 1 + Ь ) - 4 Х « .

\

(1.71) по формулам

(1.55) находим

3(1 + 2%)

4ял 7

...

(длях)

=» nVA,{l

+

27(1

+2Я,)2

X

^ > \ . - д а

(1 +

Я,)— 7Я.' } .

А/

(1-7Г)

На рис. 12

приведены

постро­

v l ; //X

енные по формулам

(1.59) — (1.61)

--и/% А

амплитудно-частотные

характери­

стики системы с параметрами я =

Рис. 12. Амплитудно-частотные ха­

=

1 сект1, К — 0,2,

г =

10 ом, для

рактеристики упруго подвешенного

которой в соответствии с формула­

проводника

под

током без трения

ми

(1.70)—(1.7Г)

имеем

\

=

для различных F, см • сек—2

=

0,82 сект2; 6* = 2,8 см • се/с~2; Р =

Характеристики с

=

—0,007 см-2-

сек~2;х0

=

3,3

см.

разрывами

и

люфтами. Рассмотрим

стацио­

нарные колебания массы / на двух

предварительно сжатых линейно

v

г

а

Рис. 14. Параметры осциллятора с предва­

Рис. 13. Схема осциллятора с пред­

варительно

сжатыми пружина-

рительно сжатыми линейными пружинами:

с разрывной симметричной

характеристикой (рис. 14, а):

R(x) = 80 + ax,

х>0, б 0 > 0 , * < 0 , б 0 < 0 .

(1.72)

f(x)=V(280

+ ax)x.

(1-73)

0,4

0,8 t,Z

1,6

а.сек

Рис. 15. Амплитудно-частотные ха­

Рис. 16. Параметры осциллятора с предва­

рактеристики осциллятора

с пред­

рительно сжатыми

нелинейными пружи­

варительно

сжатыми

линейными

нами:

пружинами без трения для различ­

а — характеристика;

б — амплитудная функ ­

ных F, см •

сек~2.

ция.

У (2б0 +

ах) х =

QF

• cos at.

Полагая здесь х ~ \ ±А

\

и cos

= ± 1 ,

приходим к уравнению

амплитудно-частотной

характеристики

У(2б0 +

аЛ)Л =

± - е Т

? ^ - .

Представим это уравнение так:

QF

(1.74)

г

8 = , 2

. 6 , ,

(1.75)

1

п

arcsin — . ,

-

аА +

о0

строенные по

формулам (1.74)

и (1.75)

при а = 1 сект2, б0 =

= 1 см • сект2.

Рассмотрим

случай,

когда

предварительно сжатые

пружины

(см. рис. 13) нелинейно

упруги

(например,

конические

пружины).

ложения, имеем R

(х) = б0 + ах + ух2

Р*3> х > 0, б0 >

0, 7 >

> 0, х <С 0, б0 <

0, у <. 0. Подставляя это выражение в формулу

(1.21), получаем амплитудную функцию (рис. 16, б):

f(x)

= У 280х + ах* + -|" У** + -Т Р ^

<L76)

У (2 60 +

ах + -§- ух- + 4 - Р*°) * =

- g ^ j r

cos at.

Полагая здесь х =

\ ± А [ и cos at

=

± 1 , получаем уравнение амп­

литудно-частотной

характеристики

со2 = 0 а

±

Q

F

(1.77)

] / ( 2 б 0 + аА + - | - Y / l 2

+ 4 " РЛ З )

л

подбора по

формуле

9

-

.

а.78)

где

3 р (л 1 М2 1- 3

(Л I 7 1

д - 1

Р 6 *

8Р

/

6,

У8 .

8а.

п =

3 Р

"

is

р

е

К + ) / « . + - И * + + ) ' - - * - '

литудно-частотные

характеристики,

построенные по формулам

(1.77) — (1.79) при

а = 1 сект2, 6„ = 0,074

• сект-2,

6* = 0,

у = \ cm • сект2, р" =

1 е ж - 2 • се/с- 2 .

массы т,

Далее рассмотрим

стационарные

колебания

располо­

R(x) = ax~80,

х>а0,

б 0 > 0 , х < — а0 , б 0 < 0 ;

^ 8 0 ^

#(лг) = 0, — а0 <

х <

а0 ,

f(x) = V(x — 2a0)ax, х>а0, б 0 > 0 , х<—а0,

б 0 < 0 . (1.81)

0,4

0,6

1,2.

1,6

о,се/гг

Рис. 17. Амплитудно-частотные

харак­

Рис. 18. Схема осциллятора с люф-

теристики

осциллятора

с

предвари­

тами.

тельно сжатыми

нелинейными

пружи­

нами для различных F, см •

сек~2.

Заменяя в формуле (1.74) 6d на аа0, получаем уравнение амплитудно-

частотной

характеристики

0)2 = е2 ±

QF

.

(1.82)

УаА{А-2а0)

Заметим,

что формула (1.82)

справедлива

при

условии А > а^.

(1.82), только

для

А>2ай.

В то же время из физических

соображений

ясно,

что для

о(а0

с

со = 0

(случай

статического

воздействия)

независимо от F

/° -сСд

люфт выбирается и амплитуд­

но-частотные

характеристики

а.

должны

начинаться

с

точки

Рис. 19. Параметры осциллятора

с люф-

А =

Oq.

Этому

условию фор­

мула

(1.82) не

удовлетворяет

тами:

а — характеристика; б — амплитудная

ф у н к -

и, следовательно,

она

дает

ция.

неустойчивые левые ветви ам­

плитудных кривых. Это условие будет удовлетворено, если

в

урав­

нении

(1.82)

вместо

абсолютного значения амплитуды принимать

максимальное отрицательное значение.

Тогда

(1.82) принимает вид

со2 = 92 ± . Q F

.

(1.82')

можно определить по известной

[13, 49] формуле

6 =

^ 2а„ .

(1.83)

1 +