книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

Подставляя выражения (IV.22) в формулу (IV. 10) и учитывая приближенное равенство (1.13), получаем закон движения на первом полупериоде:

к нулю скорость, определим значение момента времени осуществле­ ния .максимального перемещения: .

где

„ . р # = arctg х

200

Рис. 121. Амплитудные характеристики при возбуждении колебаний групповыми импульсами:

Подставляя это выражение в (IV.23) и полагая sin (Qt + р) = ± I r получаем приближенное выражение для амплитудно-частотной ха­ рактеристики:

201

Если положить здесь т = 0, то получим выражение (IV. 15) при ус­ ловии замены 25 на 5.

а также точками представлены результаты решения на ЭЦВМ «Наири», полученные для систем с теми же параметрами, что и на рис. 119, при Sim = 0,5 см • сект1 и т = 7710. Как видим, сов­ падение результатов можно признать хорошим. На рис. 121 приве­ дены также амплитудно-частотные характеристики для системы без трения (п = 0), построенные по формуле (IV.27). На рис. 120

В случае турбулентного сопротивления, пропорцио­ нального квадрату скорости, уравнение движения имеет вид

x(f) + nx* sgnx+ R(x) = 4-6(0, 0 < / < - у - . Свободные колебания, возникающие после приложения импуль­

Здесь /„. (х) — амплитудная функция, определяемая по точной фор­ муле (1.130) или приближенной формуле (1.143).

Дифференцируя решение (IV.28) по времени t и учитывая соот­ ношение (1.127), получаем выражение для скорости:

v = x{t) = е_пх [— ft {х0) sin ф (0 + v ^ ' cos ф (t)]. (IV.29)

Подставляя в формулы (IV.28) и (IV.29) t = Т/2 и учитывая соотно­ шения, вытекающие из стационарности процесса (см. рис. 118, б

и 120, б), х {^-j = х—1= — *о> находим значение амплитудной

202

функции и скорости перед действием очередного импульса:

Входящее сюда значение д:0 определяется из выражения для /„. (л:0) Сделать это точно затруднительно, и поэтому остается путь прибли­ женного решения. В частности, для кубической характеристики (1.31), используя приближенные формулы (1.13) и (1.143), а также равенство 2пх0 =» 0 для знаменателя формулы (IV.30) и полагая t = 0, х = х0, приближенно имеем

откуда * - / f f / ' + - i - i ' ( 4 ) V 4 ~i (1V.33)

Используя те же приближения в равенстве (IV.31), получаем при­ ближенное выражение для амплитудно-частотной характеристики

В формулах (IV.33) и (IV.34), которые необходимо разрешить сов­ местно, приняты обозначения (IV. 16).

203

Для оценки точности полученных данных на рис. 122 точками представлены результаты решения на ЭЦВМ «Наири», полученные 1 для системы с параметрами Sim = 1 см • сек-1; а = 1 сект2. Здесь же по формулам (IV.33) и (IV.34)c помощью ЭЦВМ«Промшь» построены амплитудно-частотные характеристики. Как видим, сов­ падение результатов можно признать удовлетворительным. Заме-

^ ^ ^ ^ ^

Рис. 122. Амплитудные характеристики при возбужде­

тим, что решения на ЭЦВМ «Наири» получены при нулевых на­ чальных условиях и поэтому реализованы нерезонансные коле­ бания.

Полученные результаты тривиально обобщаются на случай групповых импульеов (см. § 3 данной главы). Для случая двух оди­ наковых импульсов (см. рис. 120, а) аналогично (IV.27) получаем приближенное уравнение амплитудно-частотных характеристик в виде

sec-|- • cos 4 9т, (IV.35)

Вычисления проводились В. И. Федько.

204

Входящее сюда значение х0 для т <^ 772 может быть определено по

построены амплитудно-частотные характеристики по формулам (IV.33) (с заменой 5 на 25) и (IV.35). Совпадение результатов можно признать удовлетворительным.

Как видно из рис. 122, а также из сопоставления рис. 119 и 121, для групповых импульсов максимальные амплитуды меньше, а ми­ нимальные — больше, чем соответствующие амплитуды для оди­ ночных импульсов. Это объясняется интерференцией колебаний, вызванных каждым импульсом в группе. В предельном случае т - > Т/2, как видно из формул (IV.27), колебания взаимно погаша­ ются и амплитуда перестает зависеть от0/со. При наличии сопротив­ лений полного погашения происходить не будет, но разница между максимальной и минимальной амплитудами будет незначительна.

§ 5. Устойчивость колебаний

Рассмотрим орбитальную устойчивость мягких систем с кубической характеристикой без трения. Амплитудно-частотная характеристика для умеренно больших амплитуд колебаний в этом случае определяется выражением

(IV.9). Как показано выше (§ 6 гл. I), этой же формулой можно воспользоваться и для колеба­ ний, близких к неустойчивости, если скорректировать частоту 0, заменив ее на 0 (1 + 25), т. е.

205

Это же значение будет иметь место дл сог, определяемых по формуле (IV.38) при четном i. Заметим, что знак ]/21 р" | выбирается так, что­

уа—^(РИ3

Для нахождения производной dQ/dA воспользуемся формулой Дуффинга [69]

Уравнение кривой / / критических состояний определяется вы­ ражением (IV.36). Полагая в нем В — 0, и учитывая (IV.39), имеем

Заметим, что в формулу (IV.44) подставляются значения амплитуд, найденные из трансцендентного уравнения (IV.43). Из (IV.44) следует, что кривая I I критических состояний пересекается с осью со в точках

206

Далее перейдем к учету вязкого трения. Амплитудно-частотная характеристика для колебаний, близких к неустойчивости, может быть получена по формулам (IV. 15) и (IV. 16) с заменой 9 на 0 (1 -f- + 2В). Если подставить в них выражения (1.243) и (1.250), то полу­ чим уравнение кривой I критических состояний:

(IV.46)

l / " - | - ( e * + cosy2A*) + n s i n l / 2 f t »

На рис. 123 сплошными линиями показаны кривые критических состояний. Область, расположенная выше этих кривых, определяет параметры, при которых стационарные колебания орбитально не­ устойчивы. Заштрихованные области определяют собой параметры, при которых колебания неустойчивы в случае реализации резонанс­ ных колебаний (см. § 6 гл. I).

207

ЛИТЕРАТУРА

подобность и доказательность в прикладной механике.— Механика твердого тела,

ские методы в теории нелинейных колебании. Физматгиз, М., 1963.

8. Б о н д а р ь Н. Г. Применение метода переменного масштаба времени для изучения нелинейных колебаний осциллятора, возбуждаемых импульсами.— В кн.: Исследования по теории сооружений, 13. Стройиздат, М., 1964.

9. Б о н д а р ь Н. Г. Новый метод теории нелинейных колебаний.— Buletinul institului politehnic din Jasi, serie noua, 1963, 9, 3—4.

10. Б о н д а р ь H. Г., К а з а к е в и ч M. И. К обоснованию приема линеа­ ризации фазовой функции в методе переменного масштаба.— В кн.: Труды ДИИТ,

нелинейной механики, разрешаемых с помощью метода переменного масштаба.— кн.: Проблемы нелинейных колебаний, 12. Изд-во АН ПНР, Варшава, 1971.

16.6 о н д а р ь Н. Г. Нелинейные автономные системы в строительной механике. Стройиздат, М., 1972.

17.Б о н д а р ь Н. Г. Стационарные колебания нелинейных систем при вязком трении.— В кн.: Труды ДИИТ, 126. Днепропетровск, 1972.

18.Б о н д а р ь Н. Г. Стационарные колебания нелинейных систем при тур­

булентном сопротивлении.— В кн.: Труды ДИИТ, 126. Днепропетровск, 1972. 19. Б о я д ж и е в Г., Д а л к а л ь ч е в X . — Годишник Выс. техн. учеб-

них завед. Матем. 1965 (1966), 2, 3, 123—130.

208

24.Г р и г о л ю к Э. И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих стержней и оболочек.— Изв. АН СССР, ОТН, 1955, 3.

25.Г р и г о л ю к Э. И. О колебаниях пологой круговой цилиндрической панели, испытывающей конечные прогибы — ПММ, 1955, X I X , 3.

26.Д е н - Г а р т о г Дж. П. Механические колебания. Физматгиз, М.,

1960.

33.К а з а к е в и ч М. И. Бигармоническое возбуждение систем с переско­ ком.— В кн.: Динамика и прочность машин. II . Изд-во ХГУ, Харьков, 1970.

34.К а з а к е в н ч М. И. К вопросу о бигармоническом возмущении не­ линейных систем.— В кн.: Труды ДИИТ, 53. «Транспорт», М., 1964.

35.К а н н и н г х э м В. Введение в теорию нелинейных систем. Госэнергоиздат, М., 1962.

41.Л е й т е с С. Д. Нелинейная упругость и конечные деформации в зада­ чах устойчивости.— В кн.: Расчет пространственных конструкций, 6. Госстройиздат, М., 1961.

42.Л у р ь е А. И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования. Гостехиздат, М., 1951.

43.Л ю К. Применение ультрасферических полиномов в задачах нелиней­ ных вынужденных колебаний.— В кн.: Труды американского общества инже­ неров-механиков. Прикладная механика, 1. «Мир», М., 1967.

44.М а л к и н И. Г. Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории нелинейных колебаний. Гостехиздат, М., 1949.

45.М и р о н о в М. В. Использование принципа Гамильтона — Остроград­

209