Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2220 21 22 > Следующая >>>

Для построения кривой / / критических состояний при умерен ных сопротивлениях можно пользоваться выражением

1 2 f

(Ш.95)

При больших значениях п лучшую сходимость с машинными результатами обеспечивает формула

1 lj_ 2 ц лГ		а*	а	- у	d<
I	3 • Г	3 \| Р \|	'min	Ь	V"(a *_i2c o 2)a+ i2w -u ) (yr t F-ico)a"

Ограничиваясь в формулах (III.94) и (III.95) первым членом полиномов (т = 1) и принимая во внимание равенство (III.77), для частных случаев возбуждений (III.33) и (III.37) приближенно получаем следующие уравнения критических состояний:

для кривой / при возбуждении (111.33)

• £ и± У		а	2		а
• £ и± У		а	кр		а
			кр
X					min
при возбуждении	( I I	1.37)			min
при возбуждении	( I I	1.37)
			42					X
X Уг.			+ 4л2 ©2		mfn		)	+	4л min
(±	«."j/^jf +		в.) К ( ; - с о				)	+	4л min
для кривой / / независимо от формы возбуждения
				а		2	2		2 ш2
Построенные по этим формулам кривые критических									состояний
для системы с теми же параметрами, что и на рис. 115,								изображены

на рис. 116 при возбуждении (III.33) (сплошные линии) и (III.37)

(штрих-пунктирные линии). Здесь же		представлены	результаты
решения на АВМ МН-7.	Как видим,	сходимость аналитических
и машинных результатов	улучшается	с увеличением	значения п.
Рассмотрим влияние турбулентного		сопротивления	на устой
чивость стационарных	колебаний,	описываемых	уравнением

(III.62) или (III.63). Амплитудно-частотная характеристика для умеренных амплитуд колебаний определяется выражением (III.65). Заменяя в нем 8 на G (1 + 2В) и используя формулу (1.326), полу-

190

чаем уравнение для кривой / критических состояний

± Л р у ^ ( « . - 4 | Р | 4 Р ) - ^ б

min

i/[f+w (4n ! -'

смсен~*	/ /

А 2

- | - 16 !Ш_«2,-4Ш4.

(II 1.96)

У /"

/• /•		1•.• " /
»	/ *	1•.• " /
i -	/I -

	/			/
	I			l/J
//о				l/J
/	/			//
//				//
/ 1	.»./			у
/ 1	1 —г			у
a		so	S	а.сенг'
a			S

Рис. 116. Кривые критических состояний несимметричной системы при вязком трении:

а — л = 0,05 сек

б — л = 0,2 сек

/ — п р ямоуголь ное в о з б у ж д е н и е ; 2 —

тр е у г о л ь н о е в о з б у ж д е н и е .

Для построения кривой / / критических состояний можно вос

пользоваться выражением, аналогичным (11.105), т. e.j

^ | ± X a - / - 3 f p T + 6 ' U =

* I

- ±	У	] - 7 =		(IH.97)
	u=i		V («* — ш 2 ' 2	) 2 + 6Л»/шо (У а* — ico)3
где Л, определяется			по формуле	(11.106).
Ограничиваясь в равенствах (III.96) и (III.97) первым членом
полиномов (т =	1)		и принимая	во внимание выражение (III.77),

для частных случаев возбуждений (III.33) и (III.37) получаем при ближенно такие уравнения критических состояний:

191

для кривой 7 при возбуждении (III.33)

р =	J L i _ S _ . V 2 a . H P M i		2	X
р =	J L i _ S _ . V 2 a . H P M i		*	X
	К a
X	+ соМ4	л 2 —1

min

а	.	f	а. сея

Рис. 117. Кривые критических состояний несимметричной системы при тур булентном сопротивлении:

а — п

= 0,05

л -

б — п =

0,2 с

и -

/ — п р я м о у г о л ь н о е возбуждение ; г —.

треугольное

возбуждение .

при

возбуждении

(II 1.37)

^ 0

со'

4 . - " Р

л 2

— 1

+ 1 6 ^-л2

со*

\ *

п«

- yj

я*

min

для кривой

/7 независимо от формы возбуждения

X V(a\ — со2)2 + бЛ.лсо(Va* — со)8

min'

Построенные по этим формулам кривые критических состояний для системы с теми же параметрами, что и на рис. 115, изображены на рис. 117 при возбуждении (III.33) (сплошные линии) и (III.37) (штрих-пунктирные линии). Здесь же представлены результаты решения на АВМ МН-7. Как видим, соответствие машинных и ана литических результатов можно признать удовлетворительным.

Г Л А В А I V

ИМПУЛЬСНОЕ

ВОЗБУЖДЕНИЕ

Задачу о воздействии на нелинейный осциллятор перио дически повторяющихся ударов, которые допустимо идеализировать мгновенными импульсами, можно решить в соответствии с методикой, изложенной в предыдущей главе. Однако, поскольку ряд Фурье, в который разлагаются периодически повторяющиеся мгновенные импульсы, плохо сходится, то предпочтительнее замкнутое решение [49, 50], которое и рассматривается в настоящей главе *, посвящен ной изучению только кососимметричных колебаний.

§ 1. Колебания без трения

Рассмотрим задачу о стационарных колебаниях нели нейного осциллятора, когда прикладываемые через промежуток времени 772 мгновенные импульсы 5 симметричны, т. е. имеют противоположные направления (рис. 118, а). Период повторения

импульсов обозначен через	Т.
Дифференциальное уравнение движения имеет вид
() + /?(*) = - \| - 6		^ '	0 < * < - ^ ,
где т — масса осциллятора;	R	(х) — симметричная характеристи

ка; 6 (/) — функция, равная нулю для всех t, кроме моментов прило жения импульсов, когда 5(£) = ± 1 сек-1.

Рассмотрим один из полупериодов колебаний, приняв за начало отсчета момент исчезновения первого импульса. После действия этого импульса будут иметь место свободные колебания, которые, ву соответствии с методом переменного масштаба [13], описываются амплитудной функцией

/(*) = / W cos ф (0 + v0 sin Ф (0,

(IV. 1)

определяемой по формулам (1.21) или (1.22). Здесь ф (f) —фазовая функция, которая для систем с умеренно большой нелинейностью

1 Данные, приведенные в этой главе, получены совместно с Н. М. Поповичем.

193

допускает линеаризацию (1.13); х0	и v0 — начальные значения пере
мещения и скорости.
Дифференцируя решение (IV. 1) по времени t и учитывая соотно
шение (1.9), находим выражение	для скорости:
х = v = — / (х0) sin	ф (t) + v0 cos ф (t).	(IV. 2)

Подставляя в формулы (IV. 1) и (IV.2) t = 772, определяем ампли тудную функцию и скорость в конце полупериода, непосредственно перед действием очередного им

пульса:

Рис. 118. К задаче возбуждения ко лебаний одиночными импульсами:

а—эпюра импульсов; б — перемещения; в — скорости.

/ ( * - i ) = f(*o)cosq>(-x) +

+ u0 sin ф ( -

(IV.3)

=— /(*o)s i n <p(-ir) +

+v0 cos

Здесь	и дальше		индексами —1
обозначены		значения		f (х)	и	v
до действия		очередного		импульса,
индексами		+ 1 — значения			/	(х)
и v	после	действия		очередного
импульса.
После действия			очередного			им

пульса перемещение (рис. 118, б)

сохранит	свое значение		(х + 1 =
= x_i), а	скорость	(рис. 118, в)
мгновенно	изменится	на	величину

Sim и будет

o+i = ~ f (хо) si" Ф (4г) + vo c°s Ф (-j-) —

•

(IV.4)

Амплитудные функции для симметричных характеристик, как это видно из формулы (1.32), являются нечетными, т. е. / (—х) = = —/ (х). Из этого условия, а также из рис. 118 видно, что усло вия осуществления стационарного режима следующие:

/ (*Э = - / ( * + , ) ;

vо = - v+,.

(I V.5)

Подставляя в условие (IV.5) формулы (IV.3) и (IV.4), получаем

f(o) = — f (о) cos Ф	+ о 0 я п ф ( у )	;
— / (*0) sin Ф	+ щ cos ф	— А

194

Решая эту систему, находим

5 1 П Ф ( 4 " )

1 + COS ф

Подставляя эти выражения в решение

(IV. 1), получаем закон дви

жения на первом полупериоде:

/ /т . \ 1

/ Л \

(IV.6)

f W = 4 г s

e c 4" ч» (-г)S IП

[ <Р W -

4" ч> ( 4 )

Движение на втором полупериоде будет

кососимметричным с

центром симметрии в момент / =

772.

Как видно из рис. 118, максимальные значения перемещений,

равные амплитуде

колебаний

(хтах

А), будут

иметь место в мо-

менты времени, когда скорость v =

Т \

( 0 — g - x

sec -g- <p (-у- Icos Ф

определенная по формуле

(IV.2),

обращается в нуль,

т. е

когда

cos

Ф (0

^ ^ ( т )

0>и> следовательно, sin

Ф ( 0 -

— 2 ~ ^ ("^"У][

Подставляя это выражение в решение (IV.6) и

принимая х =

А,

получаем уравнение амплитудно-частотной

харак

теристики

/ И ) = ± 4 г 5 е с 4 - ф Ш -

( I V - 7 )

Использовав

приближенное

равенство (1.13)

и обозначая

через

со =

2я/Г

частоту

повторения

импульсов,

запишем

выражение

(IV.7) в виде

^ )

= i r s

4 -

( I V - 8 )

Это выражение стремится к бесконечности при cos-^- =

0. Отсюда

получаем условие ударного резонанса

9/со = 2/ — 1, i =

1,2, 3, ....

Для частного случая кубической характеристики (1.31)

в соот

ветствии с формулой (1.32) уравнение амплитудно-частотной

харак

теристики

(IV.8) принимает вид

А /

а +

- у Р Л 2

sec - g - .

(IV.9)

Входящую сюда частоту свободных колебаний можно определить по одной из известных приближенных формул, например (1.33).

§ 2. Учет вязкого трения

Уравнение движения с учетом вязкого трения имеет

вид х (t) + 2пх (t) - f R (х) = — б(/), 0 - < / < - 5 - , где я — малый

коэффициент затухания. Рассмотрим, как и выше, движение на

V4 *

195

полупериоде. После приложения первого импульса движение опи сывается следующим приближенным решением [13]:

/ (х) = е~п' [f (х0) cos Ф (0 + v0 sin Ф (/)].

(IV. 10)

Дифференцируя это выражение по времени t и пренебрегая малым членом, содержащим множитель п ^ 1, с учетом соотношения (1.9) приближенно получаем

х = v = е - " ' [— / (jc0).sin Ф (0 + v0 cos Ф (/)].

(IV. 11)

Используя условие (IV.5) стационарности, аналогично изложен ному выше находим

		•		(т
	епТ +		т_
1 +	епТ +	2е" 2		cos
2	\| е " 2	+ cos		ф (-^-j
S
vn =
l+e n r - f - 2 e		2	coscpHj-j
Подставляя эти выражения в решение				(IV. 10),	получаем закон
движения на первом полупериоде:
/ " l	' " ;	" n	^ - r t		,	( i v . i 2 )
] / 1+	епТ +	2 е П	2	созф( - ^ - )

где

Р = arctg

sin Ф (-^-)

4/ т \

е+ cos ф I -g-1

На	втором полупериоде перемещения будут кососимметричны от
носительно момента времени				t = 772.	Полагая в решении			(IV. 12)
п = 0,	получаем выражение (IV.6). Подставляя формулы для / (д:0)
и «о в равенство (IV.11) и приравнивая					его		нулю, получаем	значе
ние моментов		времени осуществления			максимальных перемещений
			т	т			т
		б е	2	+ с о з ф ( —	I	+	nsinq>(—-)
	<; =	- J - a r c t g - b - z		Ш±			Ш — .	(IV. 13)
		п \| е	2	+ cosq>^-j		—	8 s i r ^ — j

Заметим, что для получения наибольшей амплитуды А следует принимать во внимание минимальное значение определяемое по формуле (IV. 13).

196

Полагая в решении (IV. 12) х = А и sin [cp (t) — pi = ± 1, получаем приближенное выражение для амплитудно-частотной ха^ рактеристики

Лт--)	.	(IV. 14)
f{A) = ±	.	(IV. 14)
т
+ 2е	'* cos Ф ( - Т )

0,4

0,8

1,г

1,6

г.Оа.сек'4

\\\^

JI )!]

Рис. 119. Амплитудные характеристики при возбуждении колеба ний одиночными им пульсами:

о —жесткая	сн-тема	( Р =
= 0,2 см~'-сек	*);	б —

мягкая система ( Р = — 0,2


J,	см~'	• сек~~*);		1,3 — п	=
	см~'	• сек~~*);		1,3 — п	=
	= 0,1сек~\-		2, 4	— л =	0;

0,4	0,8	1,6	а,сек~ 1,2	— S/m	=> 0,5 см • сек~л;
			3,4	— S/m	=» I еж - с е к -

. Для частного случая кубической характеристики (1.31), в соот ветствии с формулами (1.13) и (1.32), уравнение (IV. 14) принимает, вид

Д 1 / * а + 4 М " = ± -

= - ,

(IV.-15)

13 4-5

197

^ 1 a r c t g e ( ^ + cosft) + w.sinfe I V 1 6 )

Полагая в формулах (IV. 15) и (IV. 16) п = О, получаем уравнение (IV.9).

Для оценки точности полученных результатов на рис. 119 по формулам (IV. 15) и (IV. 16) с помощью ЭЦВМ «Промшь» построены


амплитудно-частотные		характеристики	при а = 1 сек—2. Здесь же
точками представлены		результаты решения 1		на ЭЦВМ		«Наири».
Как видим,	совпадение результатов		можно	признать		хорошим.
На рис. 119	приведены также амплитудно-частотные				характеристи
ки для колебаний без трения (п = 0), построенные					по формуле

(IV.9). Одна из возможных форм колебаний, полученная на ЭЦВМ

«Наири» для системы с параметрами	= 1	см • сек-1; а —
= 1 се/с- 2 ; В = 0,2 см~2 • сек—2; п =	0; Т = 10	сек, изображена

на рис. 118. Заметим, что на рис. 119 приведены результаты решения на ЭЦВМ «Наири», полученные при нулевых начальных условиях,

и поэтому для = 1 реализованы только нерезонансные колебания.

Как видно из графиков, резонансные амплитуды быстро убы вают по мере уменьшения частоты возбуждения.

§ 3. Групповые импульсы

Помимо периодически повторяющихся одиночных им пульсов в приложениях встречаются групповые импульсы. Если время т. между воздействием первого и последнего импульса мало по сравнению с полупериодом 772 повторения импульсов, то для приближенного решения задачи можно воспользоваться изложенной выше методикой, заменяя группу импульсов одиночным импульсом, равным сумме импульсов группы. Если время х соизмеримо с полу периодом Т/2, то приходится пользоваться способом припасовывания решений по участкам.

Проиллюстрируем эту методику на примере группы, состоящей только из двух импульсов (рис. 120, а). Рассмотрим один из полу периодов колебаний,"приняв за начало отсчета момент исчезновения импульса 52 . После приложения этого импульса будут иметь место свободные колебания, описываемые формулами (IV. 10) и (IV. 11).

Подставив в эти формулы t = Т/2 —г т, определим	амплитудную
Л. Вычисления на ЭЦВМ проводились-с участием Л. Н. Мокренко, (см. также
§ 3 данной главы).
198	w •

функцию и скорость накануне приложения импульса 53 :

/ (х_3 ) = е~" ( т _ т ) / (*0) cos ф (Z- — т) + v0 sin cp

— т )

(IV. 17)

и_з = е - " ( " т ) — / (х0) sin cp [Z- — т) + v0 cos Ф

_ T ) •

(IV. 18)

После приложения импульса S3 = St перемещение (рис. 120, б) сохранит свое значение (х-з = л:+з), а скорость (рис. 120, в) скачко образно изменится на величину SJm

и будет

1 т

• / ( x 0 ) s i n ?

—

—тj +

у0

cos ф

— т )

A L

JC.CH

1,6

(IV. 19)

0,6

После приложения импульса S3

t,CSH

будут

происходить

свободные

-ол

колебания

начальными

условиями

лц_3 и и+з. Они описываются выра- -1,б\

жениями

(IV. 10)

и (IV. 11) с исполь

зованием

равенств х0 = х+з

и+з. Полагая

т,

полу

чаем

значение

амплитудной

функции

и скорости накануне приложения им

пульса 5 4

5 2

(см. рис.

120):

/ (*_4)		=	e~nz	[f (х+3)	cos Ф (т)	+
		+	1)+ з5Шф(т)];
					(IV.20)
V-*	=	е _ л	т [— / (х+3)		sin ф (т)	+
		+	v+3	cos ф (т)].
П 0 С Л е	ПрИЛОЖеНИЯ ИМПуЛЬСа					St =
= S2 имеем

Рис. 120. К задаче возбуждения колебаний групповыми импуль сами:

а —эпюра импульсов; б — п е р ё м е щ е - ния; в — с к о р о с т и .

f (х+ 4 ) = / (х_4 ); г>+ 4 = и_4 •

(IV.21)

•• Аналогично (IV.5)? условия стационарного режима колебаний можно записать так: v0 = — ы+ 4 ; / (x0) = — / (х+Д. Подставляя сюда формулы (IV.20) и (IV.21) •» используя выражения (IV. 17),

13*

199

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2220 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ