Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

/ ( T w ( ° = R ( x ) l		( I J )
^-Н(г)	=Fcos(x>t.	(1.8)

Выражение (1.6) можно записать так:

d/' (x)

d(p(0

или

(х)_ d(j)(0

Г (*)	qi (о
Интегрируя, получим In /' (х) = In ф (t) +		С0 . Полагая произволь
ную постоянную равной нулю (С0	= 0), приходим к равенству
П*) =	Ф(0-	(1-9)

Подставляя это равенство в формулы	(1.7) и (1.8), будем	иметь
f(x)f'(x)=R(x);		(1.10)
Я (в) =-Д—cosarf.		(1.11)
Ф(0
Теперь уравнение (1.2) можно записать так:
2" (е) -ф- г (в) = - Д -	cos arf.	(1.12)

В случае стационарных вынужденных колебаний амплитуда бу дет постоянной. В этом состоит аналогия между стационарными и свободными колебаниями. В последнем случае, как известно [10, 131, для устойчивых колебаний с умеренно большими амплитудами допустимо линеаризовать фазовую функцию, т. е.

в в ф ( 0 » В ( .	(1.13)
Дифференцируя это выражение по времени, получаем
ф ( 0 » е ,	(1.14)

где 0 — частота свободных колебаний. Кроме того, приближенное равенство (1.13) позволяет записать соотношение

* = - § - .

(1.15)

Подставляя выражения (1.14) и (1.15) в уравнение (1.12), находим

z"(e)-fz(e) = ^-cos^-e.

(1.16)

Стационарные колебания определяются частным решением урав нения (1.16), которое находим в виде

z = сх cos

е, сг = const.

(1.17)

Подставляя это выражение в уравнение (1.16), имеем

<в	F	ш
cos —Q- е =	—Q- cos -g- е.

Группируя члены и приравнивая нулю коэффициент при косинусе,

получаем сг = —-;	ГТ~~- Следовательно, частное решение (1.17)
принимает вид
	2 = =	cos^-e.	(1.18)
Переходя здесь к	переменным	в соответствии	с формулами (1.3)

и (1.13), находим решение для стационарных колебаний г :

Амплитудную функцию найдем из выражения (1.10), которое можно записать так: fdf = R (х) dx. Интегрируя это выражение,

получаем JL = j # (х)	dx + С„	откуда
		1
f(x) =	[2^R(x)dx	+ C]2 , С = 2С2 .	(1.20)

Как показано в работе [13], произвольная постоянная может принимать любые значения, что физически соответствует произ вольному выбору начала координат. В частности, полагая С = 0, получаем

			1
f(x)	=	[2 ^R(x)dx)2	.	(1.21)
Иногда удобно положить	С = — 2 j R (х) dx \| ж = 0 . Тогда			формула
(1.20) принимает вид		X
		X	_1_
f(x)	=	[2 \R{u)du]2	.	(1.22)
		6
Полагая в решении (1.19) cos со? = 1, х =			Л, приходим к уравнению
амплитудно-частотной характеристики
		=		С1 -2 3 )

устанавливающей зависимость между амплитудой Л стационарных колебаний, частотой возмущения со и частотой свободных колебаний 0, в свою очередь зависящей от амплитуды.

Проиллюстрируем построение амплитудно-частотной характе ристики конкретными примерами.

Предполагается, что свободные колебания затухли.

Рассмотрим стационарные колебания маятника. Физический ма ятник (рис. 1) подвешен в точке О и колеблется в плоскости ху под воздействием пульсирующего момента М0 cos at. Положение центра тяжести С определяется координатами х и у. Если пренебречь тре нием в шарнире О и сопротивлением воздуха, то на маятник, помимо веса W и момента Af0cos at, будут действовать силы инерции: гори-

Ид COSCjt	W ••			w ••
Ид COSCjt	зонтальная	— х и вертикальная		у,
	зонтальная	— х и вертикальная		у,
	где g — ускорение силы		тяжести.	Кроме
	того, будет действовать инерционный мо
	мент — /г\|з, где ар — угол		поворота	маятни
	ка, / — момент	инерции	маятника	относи

тельно оси, проходящей

через

центр тя

жести

С перпендикулярно

к плоскости ху.

Применив

принцип

Даламбера,

запи

шем уравнение движения как уравнение

равновесия.

Приравняв нулю

алгебраиче

скую

сумму

моментов

относительно

точ

ки О, получим

, г

—

ХУ

у х +

—1

— )

Рис. 1. Схема физического

Я —S—

\ — (8

м а я т н и к а '

+ М0 cos at =

(1.24)

Из рис. 1 видно, что х = h sin

у = h cosi|). Дифференцируя эти

равенства дважды по времени, имеем х = А-ф cos тр;

у = —/zip sin -ф;

* =

Л (opcosij)—i|j2sini|?);

у =

—/г (-ф sinг|з

T]J2 COS-ф).

Подставляя

эти

выражения

в уравнение (1.24), находим

(sin2 ajj + cos2 г|з)

— Wh sin +

cos at = 0.

I + —h2

Поскольку sin2 ij) + cos2 -ф = 1;

/ = — r2

где r — радиус инерции,

то после преобразований окончательно получаем

•ф +

-у- sin -ф =

М cos at,

(1-25)

Здесь / = h + 4h

- ',

М = М0

Итак,

характеристика

уравнения

(1.25)

^ ("Ф) =

-f- sin гр

(1.26)

является симметричной, непрерывной и мягкой (рис. 2, а).

Подставляя выражение (1.26) в формулу

(1.22) с заменой х на

находим амплитудную функцию

_£_

sin udu

= Y2JT(l-cosi))

= 2

]/-f

sin - | - .

(1.27)

График амплитудной функции (1.27) представлен на рис. 2, б.

Как известно [10, 13], приближенная зависимость между 0 и А имеет вид

» - / + [ ' - т ( - 4 ) 1

<1.28)

Ошибка этого приближенного равенства для А <: 120° не превы шает 6%. Подставляя выражения (1.27) и (1.28) в формулу (1.23)

Rffi

3 L

Рис. 2. Параметры маятника:

а — характеристика; б — амплитудная функция .

и полагая F = М, приходим к уравнению амплитудно-частотной характеристики

2 s i „ 4 ( X [, _ 4. ( s i n

_ _ м [, _ _•. ( s i „ 4.)

Для удобства построения графиков амплитудно-частотных ха рактеристик их уравнение следует разрешить относительно со и

учесть, что А может иметь как положительные, так и отрица \А\,град

тельные значения. Имеем

со2	XI
	м		1	/ .	А \21
2 sin •
					(1.29)		1,6	о,сен
Здесь	верхний		знак	соответст
						Рис. 3. Амплитудно-частотные		харак
вует А < 0,		нижний — А > 0.
						теристики маятника	без трения для
Задаваясь		в	равенстве (1.29)
						gll = 1 сек~2 и различных М,		сек~2-
значениями амплитуды в пределах
0 <. А <: 120° и принимая во внимание только							положительные
действительные			значения		со, легко	построить графики амплитудно-

частотных характеристик (рис. 3). Заметим, что в зоне А > 0 одному значению со соответствуют два значения амплитуды. В соответствии с теорией Ляпунова [62] устойчивой будет меньшая амплитуда. От резки кривых, которые соответствуют большим неустойчивым ам плитудам и не могут быть реализованы, представлены штриховыми

линиями. Переход с ветви А <с 0 на ветвь А > 0 осуществляется путем перескока. Штрих-пунктирной линией нанесена так называе мая скелетная кривая, уравнение которой получается из формулы (1.29) при М = 0:

со	= 9.

Сопоставляя это выражение с равенством (1.28), видим, что скелет ная кривая показывает характер зависимости частоты свободных колебаний от амплитуды.

f(x) Afi>0

/Л<0

J5<t

fi>07

Рис. 4. Параметры осциллятора с кубической характеристикой:

вхарактеристика; б — амплитудная функция .

Далее рассмотрим осциллятор с кубической характеристикой, колебания которого описываются уравнением Дуффинга [57, 69]

х + ах + 8л:3 = F cos at, ct > 0, Р § 0.	(1.30)
Кубическая характеристика
R (х) = ах + рг>	(1.31)

может рассматриваться как результат разложения произвольной слабо нелинейной характеристики в ряд Маклорена с сохранением двух членов разложения (рис. 4, а). В соответствии с формулами (1.22) и (1.31) получаем выражение для амплитудной функции:

/ (х)-[2J(«

+ 6х3 ) dx]2 = х У а + -±- Р*2 .

(1-32)

К такому же результату приходим, используя формулу (1.22). Гра фики амплитудной функции приведены на рис. 4, б.

Как известно [10, 13], зависимость между частотой свободных колебаний и амплитудой имеет вид 1

e = ] / " a ( l + 0,756-|-Л2 )

(1.33)

1 Точные формулы приведены в § 5.

Это выражение дает практически точное значение частоты в пределах

Подставляя (1.32) и (1.33) в равенство (1.23), после преобразова ний получаем уравнение амплитудно-частотной характеристики

/	1-f 0	R \	f	(	1 + 0 , 7 5 б 4 - ^ 2	Y 2 "
шг = а	1-f 0	, 7 5 б 4 - Л Ч ч = 4 -			1	. (1.34)
Здесь верхний	знак	соответствует		А >	О, нижний — А •< 0.

На рис. 5 приведены амплитудно-частотные характеристики, построенные по формуле (1.34) для а = 1 сект2. Вычисления пока-

Рис. 5. Амплитудно-частотные кривые осциллятора с кубической характе ристикой без трения для различных F, см • сек~2:

а — ж е с т к а я система (р = 1 см 2 • сек~2): б — мягкая система (Р = —1 см 2 X X сек—2).

зывают, что радикал формулы (1.34) близок к единице и с достаточ ной точностью уравнение амплитудно-частотной характеристики можно записать так:

« - [ « ( ! + 0 , 7 5 ^ - ) 4 = 4 - ] ^ .

Этот результат получен ранее Дуффингом, [57, 69].

Заметим, что на рис. 5, б устойчивые ветви для А > 0,6 изобра жены пунктирными линиями, так как в этом случае формула (1.33) дает тем менее точные результаты, чем больше значение А. Об этом

свидетельствует	скелетная кривая	© == 0, изображенная штрих-
пунктиром для точного значения		0 и пунктиром для значения 0,
найденного по формуле (1.33).
Системы с	перескоком Ч Рассмотрим системы с симметричной

характеристикой, колебания которых описываются [12] уравнением

		х — ах-f- fix3 = Fcos<at, a > 0 , P > 0 .	(1.35)
[24,	1 Стационарные колебания систем с перескоком рассматривались		в работах
[24,	25,	32].

В отличие от (1.31) характеристика уравнения (1.35)
R(x) = — ах + р*3	(1.36)

имеет три корня, т. е. три положения равновесия (рис. 6, а).

К уравнению (1.35) приводятся колебания некоторых механиче ских систем (хлопающие мембраны, желобчатые полосы и гибкие пологие оболочки, обратный маятник со спиральной пружиной и т. п.). Эти системы обладают интересной особенностью, состоящей в том, что переход от одной устойчивой формы к другой происходит

jj	тельная амплитудная функция .

путем перескока. Как известно [13, 31, 64], в системах с перескоком могут иметь место «малые» колебания, происходящие относительно устойчивых положений равновесия,

х* = ±У^,

(1-37)

и «большие» колебания, происходящие относительно неустойчивого положения равновесия х^ = 0. Характер колебаний зависит от амплитуды. Малые колебания возникают при условии

Л < ] / Л 2 ^ ,	(1.38)
большие имеют место при
Л > ] / ~ 2 ~ ^ .	(1.39)

Как показано ранее [31], частоты свободных колебаний можно определять по приближенным 1 формулам:

1 Точные формулы приведены в § 5 данной головы.

малые колебания
0М	= V ^ ] / ^ 2	\| - Л г ;	(1.40)
большие колебания
0б =	О , 7 7 ] / 2 а ] / - \| - Л 2 — 2.		(1.41)

Исследуем большие стационарные колебания, происходящие сим метричноотносительно неустойчивого положения равновесия х^= 0. Амплитудную функцию для этого случая получим по формуле (1.32), изменив знак перед а:

f(x) = xY-L^--a.

(1.42)

Легко видеть, что для х% < ; -у- амплитудная функция будет мнимой

(рис. 6, б). Однако значение f (А), в соответствии с условием (1.39), будет действительным. Подставляя выражения (1.41) и (1.42) в фор мулу (1.23), после простых преобразований получаем уравнение

амплитудно-частотной характеристики	больших колебаний
2	1_
<о2 = 1,2а(^ - А 2 — 2) 3 =F 1 , 5	4 Л 2 — 2) 6 .	(1.43)

Здесь знак минус соответствует А > 0, плюс —А <. 0.

Перейдем к рассмотрению малых стационарных колебаний, про исходящих относительно устойчивых положений равновесия (1.37), т. е. несимметрично относительно неустойчивого положения рав

новесия хщ — 0. Для этого случая		необходимо выбрать такую амп
литудную функцию, для которой имело бы место равенство
	f(±Y^)	= 0.	(1-44)
Подставляя выражение (1.36) в формулу (1.20) и интегрируя,			имеем
/(*) = ( _ сиг»+		+
Полагая здесь С =	приходим к выражению

Легко видеть, что амплитудная функция (1.45) удовлетворяет усло вию (1.44) (рис. 6, б). Подставляя (1.45) в формулу (1.19), получаем решение для стационарных колебаний в виде

Р	2	Л	0M f	*
2'	х1	У"2р==-- =	б£„-М а а	cos car.
2 4-5				17

Полагая	здесь х = А и
cos со/ =	± 1 , получаем урав
нение	амплитудно-частотной

характеристики
	•Л2 =		±
	2	+	/ 2 р	"
, — со
Принимая		во	внимание
формулу	(1.40),	после		преоб
разований	окончательно име
ем

							со2 = 2а (2 -			- i - Л 2 ) " ^
Рис. 7. Амплитудно-частотные характери								=F F V	M	* -
стики системы с перескоком без трения
(сплошные линии — амплитуды					устойчи
вых	колебаний, штриховые — амплитуды						- 1 л ° ) 9 ( А л * - 1 ) .
неустойчивых		колебаний).
										(1.46)
	Из графиков		на	рис. 7,		построенных		при а	=	1 сект-2, Р =
=	1 слг	секг',	можно		установить, что			следует различать два
типа амплитудно-частотных характеристик. Для больших амплитуд
возмущения		(F — 0,5;		1;	2;	4 см • сект7)		сразу	устанавливаются

большиеколебания, амплитуда которых возрастает с увеличением


частоты		возмущения.				Затем,		F0	cosut
при	некотором			значении			со,

амплитуда скачкообразно							из
меняется		и далее продолжает
плавно уменьшаться. При до
стижении		неустойчивого					зна
чения Л = ]/2				большие			ко
лебания		переходят			в	малые
вокруг положения равновесия
xij.=	1. При		малых		значени
ях	амплитуды			возмущения
(F =	0,25	см	• сект-'2) сначала Рис. 8. Схема фермы Мизеса.

устанавливаются малые колебания. Затем они переходят в боль

шие, которые в свою		очередь преобразуются в малые колебания.
Во всех случаях	при	со -у со Л -> 1, т. е. устанавливается положе
ние статического	равновесия.

В качестве примера рассмотрим стационарные колебания фермы Мизеса (рис. 8). Вокруг шарниров А а В, расположенных на расстоя нии 21, могут свободно поворачиваться два одинаковых упругих линейных элемента (стержни или пружины), длина которых в не напряженном состоянии равна /.,.. На свободных концах онисоеди-

нены шарниром С, масса которого т настолько велика, что массой упругих элементов можно пренебречь.

Будем рассматривать стационарные вертикальные колебания мас сы т вдоль оси х, вызванные пульсирующей силой F0 cos at, пре небрегая при этом сопротивлениями движению. В произвольном положении х на шарнир С со стороны упругих элементов будут дей ствовать силы Р = k (lx — у , равнодействующая которых направ лена по вертикали и составляет

Q = 2P sin			=	2k (lx — 4) sin wx,
где k — жесткость упругих			элементов; фх			— угол			наклона их к
горизонту. Из рис. 8 видно, что
/, — L =	Vx2	+ / 2	—	L ;	sin ф, =		.	*	..
Следовательно, уравнение движения имеет вид
тх + 2k (Vx^+P			-	g у	= р	=	F0	cos at. '
Это уравнение, с учетом обозначения					п = \| /		2		можно	предста
вить так:
х + п*х (1		, l*		) =	F cos Ы,		F =		.	(1.47)
Введя безразмерные	величины
	? =	- f 5		б =	- Ц ^ - ,					(1.48)
запишем уравнение (1.47) в виде

Разлагая характеристику этого уравнения в ряд Маклорена, имеем


R(q)=n2	• 8д + (1 +	6) (-±-q*-A		q* + -L-q> -	...)
Сохраняя два	члена ряда,	получаем	уравнение
	ц — n28q + - ^ - ( 1 + 6 ) ^ =			cos erf,	(1.49)
которое справедливо при малых \q \ <			1, т. е. когда б мало и колеба

ния происходят с малыми амплитудами. Используя первую замену

(1.48), перепишем уравнение	(1.49) так:
х — п2Ьх +	(1 + б) х3	=. F cos mt.
Это уравнение аналогично (1.35), причем
а = п28;	p = j £ - ( i	+ a).	(1.50)

1 9

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ