Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2219 20 21 22 > Следующая >>>

Пусть на систему (III.70) воздействует периодическая сила (Ш.ЗЗ) (см. рис. 100). В соответствии с формулами (III.35), (111.71) и (III.72) уравнения критических состояний будут иметь следующий вид:

для кривой I

а	- 4 - Л		(111.73)
	- 4 - Л		(111.73)
		,3,5,...
		/=12

для кривой / /

3 V 3 \|Р \|	л	г \ Ь	• IaCus I	(111.74)

		(=1,3,5,...

Если в этих формулах ограничиться только одним членом ряда, то Yi = 1 и выражения (III.73) и (III.74) принимают такой вид:

для кривой /

	а	• со'	(111.75)
для кривой / /	Т
для кривой / /
	~ 6 У 3 \| р \| 1 а	со	(111.76)
	~ 6 У 3 \| р \| 1 а	со

Для диапазона низких частот форма возмущения мало сказыва ется на амплитуде колебаний и представляется возможным уточне ние формулы (III.74) приближенной подстановкой в (111.72) i = 1 и

			2	4 ^ ^ .			(Ш.77)
			1=1
Тогда условие устойчивости				(III.74) примет вид
			/ 7 о = - \| - 1 / Г з Ш - \| а ~ С й 2 1 ,				( I I L 7 8 )
а кривая	77 будет		пересекать ось F в точке с координатой F//
4 - /	3IM		Построенные по формулам (III.75),				(III.76) и
				состояний	для системы с параметрами
(III.78) кривые критических
а — 1 сек-};		В =	—0,2 см—2 • сект2		изображены	на	рис. 112
сплошными линиями. Здесь же кружками (кривая I) и точками
(кривая	II)	представлены		результаты	решения 1 на	ABM МН-7
уравнения (III.70) при возбуждении (Ш.ЗЗ).

Пусть на систему (III.70) воздействует периодическая сила (111.37) (см. рис. 102). В соответствии с формулами (III.39), (III.71)

1 Результаты, приведенные в этом параграфе, получены В. С. Горбатовым.

180

и (111.72) уравнения критических состояний будут иметь такой вид: для кривой /

( - 'У yt

(II 1.79)

£=1.3.5..

для кривой / /

/'=0,1.2...

3IPI

( - 1)'

У1

(111.80)

1=1,3,5,...

Если

этих формулах

ограни

/=0.1,2....

сн-ин''

читься

только

одним

членом

ряда,

то ух = 1

выражение

(II 1.79) принимает вид

F ° ~ 8 V | в

— со

/ f °

(Ш.81)

г /

Это

выражение определяет кри

/ ,

вую

критических

состояний.

Что

касается уравнения

кривой

/ /

критических

состояний, то,

/ /

подставляя приближенное равен

if V—

ство

(II 1.77) в формулу

(II 1.80),

получаем

выражение (III.78).

• о- /

Кривые критических

состоя

*.-2

ний,

построенные по формулам

(III.81)

(111.78), изображены

на

рис. 112 штрих-пунктирной

линией.

Здесь же

крестиками

Рис. 112. Кривые

критических

состоя

(кривая // ) и черточками в круж

ний симметричной системы

при п — 0:

ках (кривая I) представлены ре

/ — п р я м о у г о л ь н о е

в о з б у ж д е н и е ;

2 —

зультаты решения на АВМ МН-7

т р е у г о л ь н о е в о з б у ж д е н и е .

уравнения

(III.70)

при возбуж

дении

(III.37). Как

видно из рис. 112, совпадение аналитических

и машинных результатов можно признать удовлетворительным. Из сопоставления графиков на рис. 112 и рис. 59 следует, что форма возбуждения незначительно влияет на характер кривой / / крити ческих состояний, в то время как кривая / критических состояний отражает существенное влияние формы возбуждения на устойчивость

колебаний,	особенно для амплитуды	возбуждения		F0 >• Fu.
Влияние	сопротивлений. Сначала	рассмотрим		влияние вязко
го трения на устойчивость стационарных			колебаний, описываемых
уравнением
x'(t) + 2пх (I) - f ах (t) + pV (t) = F (t),			cc>0,	p < 0.(111.82)

Амплитудно-частотная характеристика для умеренно больших амплитуд колебаний при произвольном периодическом возбуждении

12*

181

определяется выражениями (III.26) и (1.32). Как показано выше (см. § 6 гл. I), этими же выражениями можно воспользоваться и для колебаний, близких к неустойчивости, если скорректировать час тоту 0, заменив ее на 0 (1 + 2В), т. е.

л у .

• i p ^ - f ,

е " + 2 В > <

£J

У [ „ ' 2 _

6 a ( l

+ 2В)2 ]2 + 4rt2t'2co2

Подставляя сюда формулы (1.243) и (1.250), получаем

уравнение

для кривой I критических

состояний:

/=1

In 2

— ;2 ш2 +

- | - )

+ 4n2i2co2

При значительных коэффициентах трения и частотах

со < )/сГ

следует принять приближенное выражение (11.90). Тогда

уравнение

для кривой / критических состояний упрощается к виду

,•=1

]

_ PcoiJ 4 - 4л2 ш2 £а

Для

кривой

/ /

критических

состояний,

аналогично

тому, как

это сделано в случае бигармонического

возбуждения (см. §5 гл. II),

получены следующие приближенные выражения:

при малых

коэффициентах

затухания

Г 3 | Р |

У ( а — i«co2)2 +

4я2 /2 со2

при

больших

коэффициентах

затухания

_ _

d i

3 з/в I

~ > Ч

)

+ 4n

12шш ( / a —

to)

' Р '

i=\

Via— t

iB качестве примеров рассмотрим влияние вязкого трения на ус тойчивость колебаний системы (III.82) при возбуждениях (III.33)

и(111.37).

Вслучае воздействия на систему возбуждения (III.33), в соот ветствии с формулами (III.35), (III.83) и (III.84), уравнения кри тических состояний будут иметь следующий вид:

для кривой 1

	/=1,3,5,... I "\|/	(п? — £2со2 + - \| - \| 2 +	4п*Р
для кривой I I	т
	т		.
_JL_ = —4 р Vv i		1	.
3 I P I	я ° / = 1 д 5 > - _	£ \| / ( а —i2 co2 )2 + 4л2 !2 ш2

182

Ограничиваясь		здесь первыми		членами	рядов, т. е. полагая
т = 1, и учитывая для кривой			I I равенство		(III.77),	приближенно
получаем:
для	кривой /
	' • - T / T F T I / ( * 2			- * 2 + - f ) 2 + W		;
для	кривой / /
	F » =	" Г V " W	^ ( « - " > 2 ) a		+ W .	(111.85)

Рис. 113. Кривые	критических состояний симметричной си
стемы при вязком трении:
а — п = 0,05 сек~';	6 — п — 0,2 сек~!;	. п р я м о у г о л ь н о е в о з б у ж
д е н и е ; ^ — т р е у г о л ь н о е в о з б у ж д е н и е .
Построенные по этим формулам		кривые критических, состояний

для системы с параметрами а = 1 сек—1; 6 = — 0,2 смг2 • сект2, изображены на рис. 113 сплошными линиями.

В случае воздействия на систему возбуждения (II 1.37), в соответ

ствии с формулами (III.39),	(III.83) и (III.84),	уравнения критиче
ских состояний будут иметь такой вид:
для кривой I
m	( - 1 ) '
	( - 1 ) '
/=1,3,5,.	» j / ^ / i * — /«со3 +	- \| - ) 2 + 4na i3 m3
/=0,1,2,...

183

для	кривой / /
_2_ 1 /		= J _ Р			V		(~ ^		_
3	V	3JM	я 2	° г	= 1 ^ 5	. "	« / ( о	+ 4пЧ»ш»		'
				/=0.1:2;™
Ограничиваясь здесь первыми						членами	полиномов,		т. е. полагая
т = 1, для кривой / приближенно получаем
	^ = -т- Т^ттг • V [пг -0)2+т-)2+4*2c°a									• ( I I L 8 6 )
Учитывая приближенное					равенство		(II 1.77), для		кривой	/ / по
лучаем	выражение		(III.85).
Построенные по формулам (III.85) и (III.86) кривые критических
состояний		изображены		на рис. 113 штрих-пунктирными линиями.
Здесь же условными			обозначениями 1 показаны					результаты		реше
ния на	АВММН-7		уравнения			(111.82)	при возбуждении (III.33) и

(111.37).

Как видно из рис. 113, соответствие машинных и аналитических результатов хорошее.

Теперь рассмотрим влияние турбулентного сопротивления на

устойчивость	стационарных	колебаний, описываемых уравнением
x\t) + пхг(0	• sgnx + ах( 0 +	№(t) = F(t), а>О,	В < 0 . (III.87)

Амплитудно-частотная характеристика для умеренно больших амплитуд колебаний при произвольном периодическом возбуждении определяется выражением (III.48). Этим же выражением можно вос пользоваться и для колебаний, близких к неустойчивости, если заменить в них 0 на 9 (1 + 25), т. е.

	A]/roc+-L	2 ВЛ2 =
	0(1 +2B)d*
\|^со2	ла — l) +	0а (1 + 25)а ' + 16 4 « w

Подставляя сюда (1.243) и (1.250), получаем уравнение кривой / критических состояний:

(I II.88)

1 Здесь и дальше обозначения такие же, как на рис. 112.

184

Для кривой / / критических состояний, аналогично тому, как
это сделано в случае бигармонического возбуждения (см. § 5 гл. II),
получено	выражение
3 Vт	\	~ 2 "

г = 1

Этим выражением пользоваться неудобно, так как оно содержит амплитуду колебаний. Хорошее совпадение с машинным решением обеспечивает эмпирическая формула

=1	/со)3	пно
=1	" \| / " ( а - «*соТ + 6 У -g^-j- (Уа - ь

(111.89)

Вкачестве примеров рассмотрим влияние турбулентного сопро тивления на устойчивость системы (III.87) при возбуждениях (111.33) и (111.37).

Вслучае воздействия на систему возбуждения (III.33), в соответ ствии с формулами (III.35), (III.88) и (III.89), уравнения крити ческих состояний будут иметь следующий вид:

для кривой /

		т
	а	-шг~*				1
								16
	для	кривой	/ /	V 31 В
				V 31 В		I
=	—	F
—	1	п	i \| / " ( а - i^co3) + 6			У	-^щ-	(fa-	ш>)3 • nia
		1=1,3.5,.	i \| / " ( а - i^co3) + 6			У	-^щ-	(fa-	ш>)3 • nia
Ограничиваясь			здесь первыми		членами		полиномов,		т. е. полагая
т = 1, и учитывая				для кривой	/ / равенство			(III.77), приближен
но получаем такие уравнения критических состояний:
	для	кривой	/
' • - т У т ! г У И 4 - ^ т - - ' ) + т								2 , 1 6	«
' • - т У т ! г У И 4 - ^ т - - ' ) + т
	для	кривой	/ /	V^-^+^V^-(Va-^n..
'	•	- Т У Ж '		V^-^+^V^-(Va-^n..					( I l l .90)

185

Построенные по этим формулам кривые критических состояний для системы с теми же параметрами, что и на рис. 113, изображены на рис. 114 сплошными линиями.

В случае воздействия на систему возбуждения (III.37), в соответ ствии с формулами (III.39), (III.88) и (III.89), уравнения критиче ских состояний будут иметь такой вид:

для кривой /

У ж -

= —	F	( - О''	16	а
т 2 1	О	+	16	а
для	кривой / /	+	я*	\|\|31
для	кривой / /	4У:3IPI
		4У:3IPI
= —	F	(-D1
= —	F
	(=1.3,5,...	V \| / " ( а - Ло»)« + б " \| / " - щ у (Уа -		шсо
	/=0,1,2,...

186

Ограничиваясь здесь первыми членами		полиномов, т. е. полагая
т = 1, для кривой / приближенно	получаем
	Г		16	•п2а>1,
п>\|Р!	Г	2	я 2 \| Р \|	•п2а>1,
• т / т ? г / [ - № - 0 + т
				(111.91)

Учитывая приближенное равенство (III.77), для кривой /7 получаем выражение (III.90).

Построенные по формулам (III.90) и (III.91) кривые критических состояний изображены на рис. 114 штрих-пунктирными линиями. Здесь же представлены результаты решения на ABM МН-7 уравне ния (III.87) при возбуждении (Ш.ЗЗ) и (III.37).

Как видно из рис. 114, соответствие машинных и аналитических результатов можно признать хорошим.

Несимметричные колебания. Рассмотрим устойчивость стацио нарных колебаний систем без трения, описываемых уравнениями

(III.49) или (111.50).

Амплитудно-частотная характеристика для колебаний с уме ренно большими амплитудами определяется выражением (III.55). Заменяя в нем а* на d* и 0 на Э (1 + 2В), получаем характеристику для колебаний, близких к неустойчивости, при произвольном воз буждении:

еа(1 + 2 В ) 2 — ;2 ш2

Подставляя сюда (1.326), после простых преобразований получаем уравнение для кривой / критических состояний:

А<Р-\|/"А г	( « . - 4 - 1 6		ИКР)	2 <
				rain

	ХЧ		di	(111.92).
=	± 2л	к	.„ „

Здесь параметры а*, а . и 6f		определяются по формулам (1.282),
(1.285) и (1.287) с заменой F0 на ZaQ.

Из двух значений (1.328) критической амплитуды Акр в формулу (III.92) подставляется то, которое обусловливает минимальное значение левой части равенства (III.92).

Для кривой /7 критических состояний можно воспользоваться формулой, полученной аналогично случаю бигармонического воз буждения:

I N	min	(111.93)
		(=1

187

Рассмотрим частные случаи периодических возмущений (III.33)

и(II 1.37).

Всоответствии с формулами (111.35), (III.39), (111.92) и (III.93) уравнения критических состояний будут иметь вид:

при возбуждении (III.33) для кривой /

±Лру^4-(«.--4-|РК)-4-в.

min

со

= ± 4 r F « 2 ~ Т 7
<=I,3,5.... i	I^CO2

для кривой / /

I	_2_ -tf	а»	с	I _ _ L F V
a .	± 3 a . y	3 \| p \|	0 .	- ± n r0

при возбуждении (III.37) для кривой /

( | а ' _ ( - 2 ш а |

± A ^ y r 4 - ( « . - - r i P M k ) — ^ - б -

2	' - "
(=1.3.5,... (
/=0.1,2,...
для кривой I I
	( - D '
min	(=1,3,5,... t* а —
	/=0,1,2,...

Ограничиваясь здесь одним членом ряда и используя равенство (III.77), получаем такие приближенные уравнения критических со стояний:

для кривой / при возбуждении (III.33)

F = — ( ± ^ v 2 o . _ i P l 4 „ - ^ 6 . ) ( 4 - a . )

min

при возбуждении (111.37)

mtn

для кривой I I независимо от формы возбуждения

( ± х а У з т р Т + б - ) ( а - - С й 2 ) min

188


Построенные по этим формулам кривые критических								состояний
для системы		с параметрами			а = 1 сек~2\ В =	—0,2	см~2	• сект-2;
у = 0,15	см-1		• сек~2; б0 =		— 0,5 см • сект2;	п =	0 изображены
на рис. 115 для возбуждения
(П1.33)	(сплошные			линии)	и
(II 1.37) (штрих-пунктирные					ли
нии). Здесь же представлены
результаты		решения		на АВМ
МН-7. Как видим, соответствие
аналитических			и машинных		ре
зультатов	можно признать удов

летворительным.

Выясним влияние вязкого трения на устойчивость стацио нарных колебаний, описываемых уравнением (III.56) или (III.57). Амплитудно-частотная характе ристика для умеренных ампли-

Рис. 115. Кривые критических	состоя
ний несимметричной системы при коле
баниях без трения:
/ — прямоугольное возбуждение; 2— тре		О,сен"
угольное в о з б у ж д е н и е .		О,сен"

туд колебаний определяется			выражением				(III.61).	Заменяя	в нем
0	на 0 (1 + 25), получаем		уравнение			амплитудной кривой			вбли
зи	неустойчивости:
					6 ( 1 +		2В) dt
	6(1 + 2S)	У [л2		— t2co2 +		б2	(1 + 2В) 2 ] 2	+ 4л2(2а>2
Подставляя в это выражение (1.326), после простых								преобразований
получаем уравнение для кривой I критических состояний:
								mtn
	= ±							( I I 1.94)
	1 = 1	1 / ( - j - + i 2 —					+ 4 л 2 ; 2
	При больших значениях п и со <				y~tf	следует использовать при
ближенное выражение		(11.90),		т. е.	в	круглых скобках правой

.части формулы (111.94) следует положить п = 0.

189

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1819 / 2219 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ