книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

п

W-

Рис. 107. Амплитудно-частотные характеристики для глав­ ного резонанса мягкой несимметричной системы при вязком трении и прямоугольном возбуждении для различных

F, см • сек~2:

а — п = 0,05 с е к - 1 ; б — п = 0,2 « к - 1 .

Рис. 108. Амплитудно-частотные характеристики для глав­ ного резонанса мягкой несимметричной системы при вязком трении и треугольном возбуждении для различных

F, см • сек~2:

Влияние турбулентного сопротивления. Рассмотрим стационар­ ные колебания, описываемые уравнением

Если принять замену (1.278) и воспользоваться формулами (1.280), то уравнение (III.62) приводится к виду

Заесь использованы обозначения (1.282) с заменой F0 на - у «о- Используя замены (1.3) и формулы (1.14), (1.15), (1.133) и (1.134),

преобразуем нелинейное уравнение (III.63) в линейное:

Частное решение этого уравнения, полученное аналогично изложен­ ному выше (см. § 7 гл. I и § 2, 3 гл. II), имеет вид

OQ

Возвращаясь здесь к старым переменным в соответствии с замена­ ми (1.3) и (1.15) и учитывая приближенное равенство (1.134), для стационарных колебаний получаем выражение

но пользоваться приближенным выражением (1.143). Подставляя

172

Рис. 109. Амплитудно-частотные характеристики для глав­ ного резонанса мягкой несимметричной системы при турбу­ лентном сопротивлении и прямоугольном возбуждении для различных F, см • сек~2:

А,

T

a c e / t 1

Рис. ПО. Амплитудно-частотные характеристики для главного резонанса мягкой несимметричной системы при турбулентном сопротивлении и треугольном возбуждении для различных F, см • сек~2:

а — п = 0,05 см.—1; б г-, л = 0,02 C J K -

аналогично (111.48) получаем приближенное выражение для ампли­ тудно-частотной характеристики

моугольного возбуждения (III.33) уравнения амплитудно-частот­

Построенные по этой формуле при m = 1 амплитудные кривые по­ казаны на рис. 109. Уравнения амплитудно-частотных характе­ ристик для случая треугольного возбуждения (III.37) в соответствии с формулами (III.39) и (III.65) имеют вид

min ' '

А _ ± _ ! ^ е У

2

/=1,3,5... Р " у ^ ш 2 ( 4 - ^ - л 2 — l j + e 2 + 16 — n4*a>*

/=0,1,2,..

Амплитудные кривые, построенные по этой формуле для т = 1, изображены на рис. ПО. Точками на рис. 109 и 110 показаны ре­ зультаты решения на АВМ МН-7 уравнения (III.62) соответственно при возбуждении (III.33) и (III.37).

Как видно из рис. 109, 110, несмотря на то что в формулах учиты­ вался только первый член ряда, совпадение машинных и аналити­ ческих результатов удовлетворительное.

175

уравнением (111.4). Используя замены (1.3) и выражение (1.227), преобразуем нелинейное уравнение (III.4) к линейному, аналогично­ му (11.73):

Использовав приближенное равенство (1.15) и последнее выражение (III.2), запишем это уравнение в виде

оо

справедлив не только для основного тона, но и для высших тонов. Покажем, что такая же картина имеет место и при нечетном возбуж­ дении, т. е. когда колебания описываются уравнением ( I I I . 14).

Используя замены (1.3) и выражение (1.227), преобразуем не­

176

представляем приближенно уравнение (III.68) так:

г" (е) + z (в) = ~ (1 — 2В cos 29/) j j j sin со,/ =

= 4 - S b't {sin — 5 [sin (со; — 29) / + sin (со,- + 29) /]} .

Использовав приближенное равенство (1.15) и последнее выражение (II 1.2), запишем это уравнение так:

от фазы возбуждения. Следовательно, выводы, полученные для чет­ ного возбуждения, справедливы также для нечетного и произволь­ ного ( I I 1.3) возбуждений.

Заметим, что вывод о справедливости формул § 5 гл. I для слу­ чая периодического возбуждения с заменой со на /со и F на d) триви­ ально обобщается также на случай колебаний при наличии сопро­

ются быстро сходящимися рядами. Поэтому наибольший интерес представляют суб- и ультрагармонические колебания, которые описываются формулами § 5 гл. I с заменой F на d\.

Несимметричные колебания. Рассмотрим случай отсутствия тре­ ния, т. е. когда колебания описываются уравнением (III.50). Ис­ пользуя замены (1.3) и выражения (1.227) и (III.3), преобразуем нелинейное уравнение (III.50) к линейному, аналогичному (III.66)

Используя приближенное равенство (1.15) и последнее выражение (III.2), записываем это уравнение в виде

вывод справедлив и для высших тонов, а также тривиально обобща­ ется на случай колебаний при наличии сопротивлений.

Как и в случае симметричных колебаний, наибольший интерес представляют суб- и ультрагармонические колебания, которые описываются формулами § 5 и 7 гл. 1с заменой F на d'.

§ 5. Устойчивость колебаний

Исследуем устойчивость симметричных и несиммет­ ричных стационарных колебаний, вызываемых периодическим воз­ буждением.

Симметричные колебания без трения. Сначала рассмотрим слу­ чай отсутствия трения для системы с мягкой кубической характе­ ристикой, т. е. когда колебания описываются уравнением

x{f) + ax{() + №(f) = F{t), а > 0 , р < 0 . (111.70)

Амплитудно-частотная характеристика для умеренно больших амплитуд колебаний при произвольном периодическом возбужде­ нии определяется выражениями ( I I I . 19) и (1.32). Как показано выше (см. § 6 гл. I), этими же выражениями можно воспользоваться и для определения колебаний, близких к неустойчивости, если

Подставляя в это выражение формулы (1.243) и (1.250), полу­ чаем уравнение критических состояний:

1=1 H p — Ш 1

17»

Это уравнение определяют кривые / критических состояний (рис. 111), которые для различных случаев произвольной возму­ щающей силы F (t) будут иметь качественно одинаковый вид. Как видно из формулы (III.71) и рис. 111, кривая / бесчисленное мно­ жество раз пересекает ось со в точках с координатами сот =

как это сделано для бигармонического воздействия (см. § 5 гл. II), можно получить приближенное уравнение кривой II:

На рис. I l l сплошные линии разграничивают параметры воз­ буждения на две зоны. Верхняя зона соответствует параметрам, при которых стационарные колебания неустойчивы, нижняя — параметрам, при которых стационарные колебания устойчивы. Заштрихованные зоны соответствуют параметрам возбуждения, для которых устойчивость стационарных колебаний зависит от началь­ ных условий. Для начальных условий, при которых реализуются резонансные колебания, стационарные колебания будут неустой­ чивы, а для начальных условий, при которых реализуются нерезо­ нансные колебания — устойчивы. Штриховые участки кривой // соответствуют параметрам возбуждения, при которых происходит срыв колебаний с нерезонансной ветви на устойчивую резонансную ветвь. Рассмотрим два примера.