Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

возбуждения (111.29) на ЭЦВМ «Урал-3». Как видим, совпадение аналитических и машинных результатов можно признать хорошим.

Далее рассмотрим периодическую силу (рис. 100), которая опи сывается уравнением

/40 =

(111.33)

Подставив выражение (III.33) в формулы (III.2), определим коэффициенты разложения функции F (/) в ряд Фурье:

(111.34)

а' = JL J F (/) cos ajdt = F0 П cos mtdt — j cos /се/Л = 0.

Отсюда следует, что функция (II 1.33) является симметричной и не четной.

Далее определяем

b] = j F (/) sin co,/d/ = F,, I j sin mtdt — ]" sin mtdt J =

0, если i четное;

4F,0

если t нечетное.

Таким образом, разложение функции (III.33) в ряд Фурье } имеет вид

4F„	у	1	(111.35)
F(/) = J 5 L	2	-j-sin/со/.	(111.35)

i=l,3,5,...

В соответствии с формулами (1.32), (III.26) и (III.35) амплитуд но-частотная характеристика имеет вид

( = 1 д 5 > . . . i У (л2 — i2co2 + 02 )2 + 4л2 ;2 ш2

(111.36)

Построенные по этой формуле при m = 1 главные резонансные зоны амплитудно-частотных характеристик для системы с параметра-

160

а.сен'

Рис. 101. Амплитудные характеристики для главного резонанса						при вязком тре
нии и прямоугольном возбуждении:
а— жесткая	снстеыа	(0 =	0,2	см	-сек ); 6 — мягкая система (Р =	—0,2	см * -сек—*).
ми а =	1 сек-2;	п	=	0,02	сек—1; F0 = 0,3 см • сек-2		приведены

на рис. 101. Здесь же точками представлены результаты решения 1

на ABM МН-7				уравнения (III.20) для					возбуждения	(III.33). Как
видим, несмотря на использо								f(t)i
вание только одного члена ря-									7 = —
да	(III.36),		соответствие				ма-	'	а
шинных		и аналитических					ре
зультатов можно признать хо
рошим.
Как видно из рис. 99, выс
шие резонансные					зоны	имеют
второстепенное значение.							По
этому на рис. 101					они не при
водятся.		При		необходимости
их	определения				в формуле
(III.36)		следует			принять		то
значение		/л,	которое			совпа		Рис. 102. График периодического («тре
дает	с числом			интересующих				угольного») возбуждения.
резонансных			зон.
Рассмотрим периодическую силу, описываемую следующим урав
нением (рис.			102):
				2F0^-t,					0 < / < - ^ ;
				F0-2F0^[t-				к	^<t<^-T;	(HI.37)

1 Результаты получены В. С. Горбатовым и О. И. Мерзликиной.

11 4-5

161

Подставив .выражения (III.37)" в формулы (III.2), определим коэф фициенты разложения функции F {t) в ряд Фурье:

F0T

(Ш;38)

cos a-tdt ••

cos iwtdi i +

+ П1 -*-г-('-к-)	cos iatdt

- И 1 - . * - ? ( ' - - = • ) ] « • iatdt

Отсюда следует, что функция (III.37) является симметричной и не четной. Далее определяем

(Г

b: =	-^^F(t)smw(tdi=^-F0 J 2-^sinjcoM-f>

+И 1 - 2 - s - ( ' - - = • ) ' sin —

				sin ШсИ
( о,		если	i	четное;
8Л,	(— I)',	если	I	нечетное, а / = 0, 1,2,...
£ 2 Я 2

Таким образом, разложение функции (III.37) в ряд Фурье имеет вид

	те	(111.39)
	= ^ 2 ( - l ) ' - ^ s u n W .	(111.39)
	= ^ 2 ( - l ) ' - ^ s u n W .
	(=1,3,5....
	/=0,1,2,...

162

В соответствии с формулами (1.32), (III.26), (III.35) амплитудночастотная характеристика имеет вид

( - 1)'

1=1,3,5,... J2 у („2 _ ,-am2 _|_ Q2)2 _|_ 4П 2/2Ш 2

/=0,1,2....

(111.40)

Построенные по формуле (111.40) при т = 1 главные резонансные зоны амплитудно-частотных характеристик для системы с теми же параметрами, что и на рис. 101, изображены на рис. 103. Здесь же

			А, си
			2	\
				\
				\
				)\
		2.0	0,4	0,В	1.2	1,6 а, сеif'
Рис.	103. Амплитудные	характеристики для главного резонанса при вязком тре
нии и треугольном возбуждении:
а — ж е с т к а я система (0 =		0,2 с л Г - 2 • с е к -	2 ) ; б — мягкая		система	(0 = —0,2 см~2х
X	сек—2).

точками представлены результаты решения1 на ABM МН-7 уравнения (III.20) для возбуждения (111.37). Несмотря на исполь зование только одного члена ряда (II 1.40), совпадение машинных и аналитических результатов хорошее.

Турбулентное сопротивление. Рассмотрим стационарные коле бания нелинейной системы, описываемые уравнением

	со
	х + пх- sgnx + R (х) = 2 d] sin (сог + V \| ) .		(III.41)
Используя метод переменного масштаба (см. § 3 гл. I), преобразуем
нелинейное уравнение (II 1.41) в линейное:
	г"(г) + г(е) = ±-е И ) V &\ sin [i	е + vc).	(111.42)
	г=1
Сопоставление уравнений (III.21) и (111.42)		показывает, что
для	частных решений уравнения (111.42) можно	воспользоваться
1	Результаты получены В. С. Горбатовым и О. И. Мерзликиной.
11*			163.

выражениями (III.22), заменив			показатель степени /г-\|- на k ^—
т.	е.
г, =	а/ ( т ~ т ) sin (i -J- в +	v, — р,),			/ = 1 , 2	(111.43)
Здесь в соответствии с формулами (1.136) аналогично						(11.48) обозна
чено
л _	^£	.	х	._	2ki(Q	,ттт . . .
	i =	1, 2,		3

Поскольку уравнение (III.42) линейное, то,	суммируя частные
решения (II 1.43), имеем
г = е * (е т) Jjjа . s j n (/ - \| - е - f v, —	рД

', '=1

Возвращаясь здесь к старым переменным в соответствии с заме нами (1.3) и (1.15) и учитывая приближенное равенство (1.134), для стационарных колебаний получаем выражение

				оо
	/* (х) =	ехр (пх • sgn*) 2			a-i sin (/со/ +			v, — р,).	(111.45)
				i=i
Здесь амплитудная функция				(х) определяется по формулам (1.140).
Выше (см. §3, 7 гл. I и §3 гл. II) было показано, что можно поль
зоваться	приближенным		выражением			(1.143).		Подставляя его,
а также формулы (1.133) и (111.44) в решение							(II 1.45), имеем
„ ,	ТО	,		*		.
„ ,	чс-ч	,	Ы, sin (Ш + V/ — pt)
	<=1 1 /	/2Ш 2 U	_ d l	„2 _ ! j	+ Q2	+ ] 6	_ ^ ! _ Я 2( -4Ш 4

Ограничиваясь в (III.46) конечным числом членов ряда и пола гая х = А и sin (/со/ + V;. — Р[) да 1, аналогично (III.26) получаем приближенное выражение для амплитудно-частотной характерис тики

/ ( Л ) = Х	•	-	42	— ( I I L 4 7 )
			-\|_ 16-^5- Л214С04
			Я2

В качестве примера рассмотрим кубическую характеристику (1.31). В этом .случае в соответствии с формулами (1.32) и (III.47) для ' амплитудно^астотной характеристики получаем выражение

у	( 4 -	+ е з ] + 1 6	НйГл 2 '4 »4
		:	. ( I I I . 48)

164

Проиллюстрируем точность этой формулы примерами. Рассмотрим воздействие периодической силы (III.33) (см.

рис. 100). В этом случаев соответствии с формулами (III.35) и (111.48) амплитудно-частотная характеристика имеет вид.

					+ 1	+	16				л2£4со4
					А,сн
					\	"\	-и
					\	"\
					\ \\		\		о о
						\	\	/		1
					од	\	*\	/		1
					од	\	1Г			'
					Ц4\		i
					Ц4\				X
				о.сен'	ASJ		1.0		X
				о.сен'	Рис. 105. Амплитудные
Рис. 104.		Амплитудные			Рис. 105. Амплитудные
характеристики			для глав		характеристики						для
ного резонанса			при тур		главного резонанса при
булентном		сопротивлении			турбулентном					сопро
и	прямоугольном			возбуж	тивлении		и	треуголь
дении.					ном возбуждении.
При	воздействии			периодической	силы (III.37)			(см.			рис. 102),

в соответствии с формулами (III.39) и (III.48) амплитудно-частотная характеристика имеет вид

А ] Л с + -6Л2	=
( -	О'

i = S t : '2 l / H ( 4 - ж п 2 - 1 ) + 9 3 Г + 1 6 - 5 - n W

Построенные 1 по этим формулам при т — 1 с помощью ЭЦВМ «Н'аири-С» главные резонансные зоны амплитудно-частотных харак-

1 Вычисления выполнены В. В. Дволучанским.

165

теристик для системы с параметрами а = 1 се/с2 ; п = 0,05 см—';

0 = 0,1 см • сек—2

приведены соответственно на рис. 104 и 105.

Точками

(В = — 0,2 см~2

• сект2)

и кружками

(В = 0,2 смг2 х

X сек~2)

представлены результаты

решения 1

на ABM МН-7 урав

нения

(III.41) для возбуждений

(111.33) (см. рис. 104) и (III.37)

(см.

рис. 105).

Как видно из рис. 104 и 105,

несмотря

на использование толь

ко одного

члена

ряда,

совпаде

ние машинных и

аналитических

результатов

можно

признать

о,сек

удовлетворительным.

опреде

Рис.

106. Амплитудная

характеристи

Рассмотрим

пример

ления

нескольких

резонансных

ка

жесткой системы,

возбуждаемой

тремя гармониками при турбулентном

зон при воздействии периодиче

сопротивлении.

ской

силы (III.27) (см. рис. 97).

В этом случае в соответствии с

формулами (III.30) и (III.48) амплитудно-частотная

характеристи

ка имеет вид

ВЛ2

У4 +

Рп*

1=1,3,5,... I*

+16

л2

л 2

Построенная 2 по этой формуле при m = 3 с помощью ЭЦВМ


«Наири-С» амплитудно-частотная			характеристика для системы с па
раметрами	а = 100 сект2; В = 60 см—2 • сек—2; п = 0,01 см—1;
F0 = 0,5 см • сек—2		изображена	на рис. 106. Здесь же точками
показаны	результаты	решения ~	на ЭЦВМ «Урал-3» уравнения
(III.41) для возбуждения (III.29). Как видим,				совпадение аналити
ческих и машинных решений можно признать				хорошим.

§ 3. Несимметричное возбуждение несимметричных систем

Рассмотрим более общий случай, когда периодическое возбуждение разлагается в ряд (III.1), где а0ф0. Как показано ранее (см. § 7 гл. I и § 3 гл. II), наличие постоянной составляющей возбуждения симметричной системы переводит ее в несимметричную систему. Поэтому в данном параграфе рассматриваются несиммет ричные системы, и, следовательно, частота свободных колебаний должна определяться в соответствии с указаниями § 7 гл. I .

1	Результаты получены В. С. Горбатовым и В. В. Дволучанским.
2	Вычисления выполнены В. В. Дволучанским.
3	Результаты получены В. С. Горбатовым и В. В. Дволучанским.

166

Системы без трения. Сначала рассмотрим случай несимметрич ной кубической характеристики без трения при произвольном воз буждении, т. е. когда колебания описываются уравнением

Если воспользоваться		заменой (1.278) и формулами (1.280), то урав
нение (III.49) примет вид
£ + c y , + P^ = 8 , + Sd/sin((D t							f+v f ) ,	(III.50)
где параметры а* и б* определяются					по формулам (1.282) с заменой
F0 на 1/2flg-Путем замен			(1.3),	аналогично (1.56), приведем уравне
ние (II 1.50) к виду
г" (в) + 2	(в) =	- д -	б*+	S d j s i n ( - ^ - в + v t				(111.51)
Частное решение	этого уравнения, найденное аналогично тому,
как это сделано в § 7 гл. I и § 2 гл. I I I , имеет вид
- I	*	V	0 d *		• lb*	г	\
Z	Л	1=1
		1=1

Переходя здесь к старым переменным в соответствии с формулами (1.3), (1.13) и'(1.32), получаем решение для стационарных колебаний:

У V"* + -ir№ = -k- + Ц 9 2 _ - а		и 2 sin(Ш + v( ).	(111.52)
Рассмотрим частный случай	четного	возбуждения, т.	е. когда
d't sin (Ш -f-	= a* cos Ш.		(II 1.53)

В этом случае условия максимума выражений (II.5), (11.58) и (III.52)

ничем не отличаются, т. е.		они определяются формулой (11.12).
Используя	ее и подставляя	в	решение	( I I I . 52) формулу ( I I I . 53) и
	cos Ш =		± 1; у=Т	АтВХ, .	(111.54)
				min
приходим	к выражению для амплитудночастотных				характеристик

=F Л™ ]/«* + 4-И2 -	± \|	- В Г ^ г • <IIL55>
Здесь верхние знаки соответствуют	Атах,	нижние —	Ат-т.
Легко видеть, что в этом случае, так же как для симметричной
системы (см. рис. 96), будет иметь	место бесчисленное		множество

резонансов.

Как показано выше, формулой (III.55) приближенно можно вос пользоваться также для случая произвольного возбуждения,

167

заменяя at на dt. Во всяком случае, это вполне допустимо для по строения амплитудно-частотных характеристик в зоне главного ре зонанса.

Учет вязкого трения. Рассмотрим влияние вязкого трения на ста ционарные колебания, описываемые уравнением

. . .	.	°°
х + 2пх + 80 + ах + ух2 + 6л:3 =	4 " а'о + 2 d' sin (со;* + v,). (111.56)

Если принять замену (1.278) и воспользоваться формулами (1.280), то уравнение (III.56) примет вид

со
у + 2пу + оу, + рУ = 6* + У, <С sin (со£* +	vt).	(111.57)
(=1
Здесь использованы обозначения (1.282) с заменой	F0	на х/а а'о-

Путем замен (1.86) приведем нелинейное уравнение (III.57) к урав нению с постоянными коэффициентами

z»(e ) + 2 (e) = - L e 0 8	S* + S d'sin ("тл8 + V()	(111.58)
	' = 1	.

Частное решение этого уравнения, найденное аналогично случаю бигармонического возбуждения (см. § 3 гл. II), имеет вид

Переходя к старым переменным в соответствии с формулами (1.13), (1.32) и (1.86), получаем решение для стационарных колебаний

		а* + 4 " ^ 2 = =		е + § а ' s i n		( ш	+ v ' ~ р<>- ( П 1 , 5 9 )
Здесь использованы обозначения (111.23).
Наиболее простым является					частный случай четного возбужде
ния.	Если	имеют	место приближенные			равенства vf — рс « —,
£ =	I , 2,	...,то	решение	(III.59) с учетом			обозначений (III.23)
приобретает вид
					%й{ cos Ш
					,		(111.60)
				= i	V («а — '2<о + б 2 ) 2 + 4л2 г2 соа

Заметим, что решения (III.60) и (III.52) в случае (III.53) аналогичны, и, следовательно, условия (II 1.54) их максимума одинаковы. Под ставляя выражения (III.54) в решение (III.60), приходим к уравне

нию амплитудно-частотных		характеристик
=F	У а, + 4 - И2 =	± g / ( Т ^ Г Т 2 ^ - Д 2 ) 2 + toW •

(111.61)

168


Здесь ряд заменен полиномом,			поскольку этот		ряд быстро сходя
щийся. В уравнении (II 1.61)			верхние	знаки	соответствуют	Атах,
нижние —	Amin.	симметричного		возбуждения (§ 2 данной
Аналогично случаю
главы) формулой (II 1.61)		приближенно можно воспользоваться				для

случая произвольного возбуждения, т. е. когда стационарные коле бания определяются выражением (III.59). Как показано в преды дущем параграфе, при необходимости построения амплитудно-час

тотной характеристики только в зоне главного резонанса			в формуле
(III.61) можно ограничиться одним членом ряда,	т. е. положить
т — 1.
Проиллюстрируем точность формулы (III.61) при т =			1 приме
рам,1.
Сначала рассмотрим воздействие прямоугольного возбуждения
(III.33) (см. рис. 100) на систему с параметрами а	=	1 сек-2		; р	=
- — 0,2 см~2 • сект2; у — 0,15 см~1 • сек-2; б0	=	—0,5		см	х

Xсек-2.

Всоответствии с выражениями (III.35) и (111.61) уравнения ам плитудно-частотных характеристик имеют вид

min '

К	,	4Fn	Q	у		1
9		п	",=1^5,... iV{n2		— i2co2 +	б2 )2 + 4л2г2й>а .
Построенные по этой формуле при т =						1 амплитудные кривые
изображены	на	рис.		107.
Теперь рассмотрим воздействие на систему с теми же пара
метрами треугольного				возбуждения	(III.37) (см. рис. 102). Уравне

ния амплитудно-частотных характеристик для этого случая в соот ветствии с формулами (III.39) и (III.61) имеют вид

= Р Л т а х ] / а ! ) ! + 4 - Р Л 2

min '

р у (л

)

+ 4я

•

— i

+ е

;

8Fn п

( -

О'

ым.2!™

Построенные по этой формуле при

т =

1 амплитудные

кривые

изображены на рис. 108. Точками на рис.

107

и 108

показаны

результаты решения1 на ABM ЛШ-7

уравнения

(III.56)

соответ

ственно при возбуждении (III.33) и (III.37).

Как видно из рис. 107, 108, несмотря на то что в формулах учи тывался только первый член ряда, совпадение машинных и аналити ческих результатов можно признать хорошим.

1 Приведенные в данном параграфе результаты решения получены В. С. Гор батовым.

169

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 2217 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ