книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

Г Л А В А I I I

ПЕРИОДИЧЕСКОЕ

ВОЗБУЖДЕНИЕ

Рассмотрим случай периодического возбуждения, т. е когда возмущающая сила F (/) задана в виде периодической функции

ложив функцию F (/) удовлетворяющей условиям Дирихле, предста­ вим ее в виде разложения в ряд Фурье [4 ]:

о

Как показано выше (см. § 7 гл. I и § 3 гл. II), наличие постоян­ ной составляющей в функции возбуждения делает его несимметрич­ ным (см. § 3 данной главы).

Сначала рассмотрим более простой случай симметричного воз­ буждения, т. е. когда в разложении (III.1) а0 = 0.

t=i

Рассмотрим три возможных случая [30 ] симметричного возбужде­ ния:

1. Если Ъ\ = 0, то F (— /) = F (/); возбуждение четное.

151

2. Если а' = 0, то F (— t) = — F {t)\ возбуждение нечетное.

Линеаризуя фазовую функцию в соответствии с выражением (1.13)

Здесь использована последняя формула (III.2).

Подставляя выражения (III.7) в уравнение (III.6) и приравнивая к нулю коэффициенты при косинусах одинаковых аргументов, получаем

. ( . - » - £ )

Поскольку уравнение (III.6) линейное, то, суммируя частные реше­ ния (III.7), имеем

ос > Ш

1=1

Переходя здесь к старым переменным в соответствии с формулами (1.3) и (1.13), находим решение для стационарных колебаний1 :

1 Предполагается, что свободные колебания с частотой G затухли.

152

Исследуем решение (II 1.8) на экстремум в интервале (II.6) изменения времени. Для этого продифференцируем выражение (III.8) по времени и приравняем к нулю:

S°° Qia*,ю

35—Lj-g.siniorf-0. (III.9)

Как указывается выше (см. § 1 гл. II), синус кратного аргумента можно разложить по степеням синуса основного аргумента по фор­

Отсюда получаем два уравнения для критических значений аргу­ мента со/:

Для первого уравнения одна группа критических значений опре­ деляется формулой (11.12), т. е. когда cos/со/ = 1. Подставляя эти значения в равенство (III.8), получаем выражение для амплитудночастотной характеристики, аналогичное (11.13):

СО ф *

Аналогично изложенному можно получить частное решение уравне­ ния ( I I I . 14) в виде, подобном (III.8):

с=\

1 5 3"

Приравнивая к нулю производную выражения ( I I I . 15) по времени t, находим 1 i критических значений аргумента, из которых хотя бы

Произвольное возбуждение. Рассмотрим стационарные колеба­ ния нелинейной системы, описываемые уравнением

х (t) - f R (х) = 2 [a* cos att - f b* sin соД i=i

Это уравнение можно записать еще так:

(111.16) и ( I I I . 19), описывающие амплитудно-частотные кривые нели­ нейных систем для различных характеров симметричного воз­ буждения, в координатах со, | А \ качественно одинаковы. Как вид­ но из рис. 96, несмотря на то что рассматриваются системы 2 с одной степенью свободы, под влиянием периодического возбуждения они могут бесчисленное число раз вступать в резонанс по гармони­

нусов кратных аргументов в степени cos со/, получим полином i-й степени относи­ тельно cos at, имеющий t корней.

а На рис. 96 изображен частный случай жесткой системы.

154

= 1, 2, 3, ... Для динамических систем, в которых явление резо­ нанса является неблагоприятным фактором, существенную роль играют интервалы между резонансными значениями частот со =

Q

= -j-, а также правее первой резонансной частоты, когда со > 0. В этих интервалах влияние гармоник, начиная со второй, сказыва­

приближаются к вертикали.

Ниже будет показано, что учет сопротивлений приводит к тому, что амплитуды резонансных колебаний существенно уменьшаются по мере возрастания порядка i. Практическое значение могут иметь только несколько первых резонансов, а чаще всего резонанс по ос­ новному тону возбуждения.

§ 2. Симметричное возбуждение систем с трением

Как показано в § 1 данной главы, характер возбуж­ дения не влияет на качество стационарных колебаний. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать произвольное возбуждение, учи­ тывая, что четное и нечетное возбуждения можно расценивать как частные случаи.

Вязкое трение. Рассмотрим стационарные колебания нелинейной системы, описываемые уравнением

Используя замены (1.86), преобразуем нелинейное уравнение (III.20) в линейное:

155

Линеаризуя фазовую функцию в соответствии с выражением (1.13) и используя зависимости (1.14) и (1.15), а также последнюю формулу (III.2), получаем уравнение, аналогичное (11.32):

г"(е) + z(е) = -±-е6 8 £ d]sin[i-^z+vt J. (111.21)

Частные решения для каждой из гармоник находятся так же, как это сделано в § 2 гл. I , и определяются по формуле (1.95), исполь­ зуя которую, аналогично (11.33) получаем

Здесь в соответствии с формулами (1.96) и (1.97) аналогично (11.34) обозначено

Поскольку уравнение (III.21) линейное, то, суммируя частные решения (II 1.22), имеем

z = е8 Е 2 o-i sin [i -j- e+ v£ — p; ).

Переходя здесь к старым переменным в соответствии с формулами (1.13) и (1.86) и учитывая обозначения (III.23), находим решение для стационарных колебаний, аналогичное (11.35):

ходимо определить максимум выражения (III.24). При этом возни­ кают еще большие трудности, чем в случае бигармонического возбуждения. Чтобы избежать их, следует, во-первых, как и при гармоническом возбуждении, приближенно считать сдвиги р{ не за висящими от амплитуды и определять их как для линейных коле­

,-=i / о — ; ш + е ) +

Заметим, что решения (III.8) и (III.25) аналогичны. Следовательно, условия их максимума одинаковы и определяются выражением cos iat^ = I . Подставляя это выражение, а также х — А в формулу

156

(111.25), получаем уравнение амплитудно-частотной характеристики

ный на рис. 97, и описывается уравнением

F ( 0 - ^ ( < - / - £ ) ( - l / .

Подставляя выражения (III.27) в формулы (III.2), определяем коэф­ фициенты разложения функции F (t) в ряд Фурье. Имеем

Отсюда следует, что функция (II 1.27) симметрична.

1 Количество членов определяется путем анализа быстроты сходимости ряда.

157

Далее определяем

г-Т_

2

а* = ^ F (t) cos со,* dt = 1 F (*) cos «со* dt 4

Рис. 98. К аппроксимации периодического возбуждения тригоно­ метрическим полиномом.

158*

Разложению (III.28) можно придать одночленную форму:

Теперь в соответствии с формулой (III.24) выражение для ста­ ционарных колебаний при возбуждении (III.30) принимает вид

соответствии с выражением (1.32) уравнение (III.31) можно запи­ сать так:

m

+ 4rt2 i2 C03

1,3.5,...

( I I 1.32)

На рис. 99 изображена амплитудно-частотная характеристика, построенная по формуле (III.32) при m = 3 с использованием ЭЦВМ

159