книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

Заметим, что при больших коэффициентах затухания естествен­ но вместо равенства (1.250) принять приближенное выражение

Подставляя в эту формулу со = 0, находим координату точки пересечения кривой / критических состояний с осью F (см. рис. 84):

ских состояний с осью F должна совпадать с точкой Fu в случае от­

лучаем выражение (11.87). Подставляя его в равенство (11.93),

Заметим, что уравнение (11.94) кривых 77 критических состоя­ ний, являющихся геометрическим местом точек срыва колебаний, справедливо для малых коэффициентов затухания. При больших коэффициентах затухания лучше соответствует машинным решени-

1 Формулой (II.9Г) следует пользоваться для со < У^сГ. Это ограничение вы­ текает из сравнения аналитических и машинных решений.

140

ям следующее выражение х :

амплитудно-частотную характеристику (11.54) заменой Э на 0 (1 4

Кривая / / критических состояний может быть построена по урав­ нению, полученному аналогично уравнению (11.94) для вязкого

1 Эмпирические формулы, приведенные в этом параграфе, получены В. С.Гор­ батовым.

141

Этим уравнением пользоваться неудобно, так как в нем содержит­ ся амплитуда колебаний А в момент срыва. Вычисления показывают, что результаты расчетов хорошо аппроксимируются выражением

Для оценки точности полученных результатов на рис. 85 постро­ ены кривые критических состояний для системы с параметрами а =

рис. 86 — по формулам (11.96) и (11.97). Здесь же приведены резуль­ таты решений на ABM МН-7. Как видно, совпадение аналитических

142

и машинных результатов можно признать удовлетворительным *•. Порядок пользования графиками рис. 85 и 86 такой же, как и гра­ фиками рис. 71.

Несимметричное возбуждение. Рассмотрим случай отсутствия трения, т. е. когда колебания описываются уравнением (11.57). В § 3 данной главы получена амплитудно-частотная характеристика

^92(1 + 2В)3 — рАо2 -

Подставляя сюда выражение (1.326), после простых преобразо­ ваний получаем уравнение критических состояний

F =

Здесь использованы обозначения (1.282) и (11.78). Параметр а"опре­ деляется из уравнения (1.287) и первого равенства (1.285).

Из двух значений (1.328) критической амплитуды Л к р в формулу (II.98) подставляется то, которое дает минимальную по абсолютному значению амплитуду возбуждения F.

Исследование выражения (11.98) показывает, что кривая / критических состояний (рис. 87) пересекается с осями в точках

скоординатами

Кривая I I критических состояний от срыва колебаний может быть построена путем совместного решения системы уравнения амплитуд-

1 Следует иметь в виду, что ошибка решений на ABM МН-7 может составить 10—15%.

143

но-частотной характеристики и ее производной по Л, где принято

J®. - О- dA

(/0 — К) С02 - й 2 ) (02 — I-*2"2) = ^02 (р 1 0 2 —ы 2 1 + 1 0 2 — ^2ю21); (11.99)

(/'0 + /0') (02 — со2) (03 — uAo2) + 200' (/0 — бJ [202 — (1 + ii2 ) со2] =

= 2FQQ' (р 1202 — со21 + 1203 — рАо21).

Решая параметрические уравнения (11.99), аналогично изложен­ ному выше находим координаты пересечения кривой / / с осями:

Построение кривой / / критичес­ ких состояний с использованием па­ раметрических уравнений (П. 99) весьма сложно из-за громоздкости вычислений. Результаты этих расче­ тов хорошо аппроксимируются прос­ тым выражением,'полученным анало­ гично формуле (11.86):

и машинных результатов можно признать хорошим. Порядок поль­ зования графиками рис. 87 такой же, как для графиков рис. 84.

Далее рассмотрим устойчивость стационарных колебаний при наличии вязкого трения, т. е. когда колебания описываются урав­ нениями, (11.60) или (11.61). Амплитудно-частотная характеристика в этом случае определяется формулой (11.63). Заменив в ней 0

1 4 4

на 0 (1 + 2В) и используя выражения (1.326) и (11.78), получаем уравнение кривой / критических состояний:

(11.101) подставляется то, которое дает минимальную по абсолют­ ному значению амплитуду возбуждения F. При больших коэффи­ циентах затухания и со <; |/"^*следует использовать приближенное

выражение (11.90), т. е. в круглых скобках формулы (11.101) сле­

состояний для системы с теми же параметрами, что и на рис. 87 при различных значениях п. Здесь же приведены результаты реше­ ния на АВМ МН-7. Как видим, соответствие аналитических и машинных результатов можно признать удовлетворительным.

Рассмотрим устойчивость ста­ ционарных колебаний при тур­ булентном сопротивлении, т. е. когда колебания описываются уравнением (11.66) или (11.67). Амплитудно-частотная характе­ ристика для этого случая опре­ деляется выражениями (11.70) и (11.72). Заменив в них 0 на

Рис. 88. Кривые критических состоя­ ний несимметричной системы при вяз­ ком трении и бигармоническом возбуж­ дении:

0 (1 + 2В) и используя формулы (1.326) и (11.78), получаем урав­ нение кривой / критических состояний:

F = ± _ ^ ] / 2 a , - | P | 4 p - 2 J ± \ X

(11.104)

146

4

2 o,ce/f'

Рис. 91. К оценке влияния взаимодействия гармоник на устой­ чивость симметричных колебаний при вязком трении:

•а — п = 0,2 сек—1; б — п = 0,5 сек—1.