Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.10.2023

Размер:

7.67 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Влияние турбулентного сопротивления. Рассмотрим влияние турбулентного сопротивления на стационарные колебания, описы ваемые уравнением

х + пхг • sgn х -4- б0 + ах -f- -ух2 + fix3	=
= F0 + Ft cos (at -4- Vj) -4- Z7., cos (р,со/ +	v2 ).	(11.66)

Рис. 81. Амплитудно-частотные характеристики жесткой несимметричной систе мы при вязком трении:

а — четное бигармоническое в о з б у ж д е н и е ; б — нечетное бигармоническое возбуждение .

Если принять замену (1.278) и воспользоваться формулами (1.280), то уравнение (11.66) приводится к виду

У + ny2sgny	+ а*у + fiy3 =
= °* + ^ i cos (at +	Vj) + F2 cos (pat + VjJ.	(11.67)

Здесь использованы обозначения (1.282).

Используя замены (1.3) и формулы (1.14), (1.15), (1.133) и (1.134), преобразуем нелинейное уравнение (11.67) в линейное:

	z"(e) + z(e) =
= Т Г е ^	^ [ 6 * + F i C 0 S ( - f - e + v i ) + / ? 2 C O S ^ 4 e + v2 J .

130

Частное решение этого уравнения, полученное аналогично изложен ному выше (см. § 7 гл. I и § 2 гл. II), имеет вид

Z e ^ T ^ ) [ ^ + a1 cos(-fe + v 1 - - p 1 ) +

+ a2 cos (р, -J- е + v2 — paJ ,

где at и p, определяются по формулам (11.48). Возвращаясь к ста рым переменным в соответствии с заменами (1.3) и (1.15) и учитывая, равенство (1.134), для стационарных колебаний получаем прибли женное выражение

/* (У) =

= ехр (пу	• sgn у) -ф- + ах cos (at + V[—px) +a2 cos (pat +
Далее	рассмотрим частный	случай, когда		vx да рх и v2 да р 2 г
и решение упрощается к виду
/* (#) = е х р (пу • sgn^r) ("Iе-		+	cos со/ +	а2 cos [iatj.	(11.68)
Заметим,	что поскольку член	в	решении	(11.68) не	зависит

от времени t, то условия максимума выражений (11.68) и (11.58) ничем не отличаются, т. е. они определяются формулой (11.12). Это дает право воспользоваться равенствами (11.59). Подставляя

их, а также sgn у = 1 в решение (11.68), имеем

fm(A) = e»A(-^- + a i + a2y

Подставляя сюда формулы (1.133) и (11.48), получаем выражение для амплитудно-частотной характеристики

/* ("F -<4тах) =

min

= е			6 F,
	е	/ Л 2	\	2	Л3

/	и ^ 4 —	п * - 1 ) +	е\| +1 6 — ,
	и ^ 4 —	п * - 1 ) +	е\| +1 6 — ,
±				(11.69)
±				Л 2
] / " ji2co2 ^4	л 2 — 1 j	+ е 2 +	16	"я2 л2 ц4 со*

Если использовать приближенное выражение (1.143), то за счет уменьшения точности, уравнение амплитудно-частотной характе ристики можно упростить к виду

б, ,	е л
/(+" -Aiax)
min
/ И 4	- 5 - , j a - j ) + е Т + 1 6	л а щ 4

	6Л,		(П.70)
] / \| c o 2 H 2 ^4	л 2 — lj + 02		Л2
] / \| c o 2 H 2 ^4	л 2 — lj + 02	+ 16	Л2(Х4СЙ*
9*			131

•	В формулах (11.69) и (11.70) верхние знаки соответствуют Л т а х ,
нижние — Атт.			исследуем случай	линейной характеристики
	Для	примера
R	(у) =	оу/,' т. е.	когда в уравнениях	(11.66) и (11.67) у = 0 и р =

Атах-,СМ

1,5

•

1,0

• ^

0,5

1],25

. о, 5

1,5

цсен1

-0,5

0,25

\М

~1,0

/У

/ Я

•

Amim

Рис. 82. Амплитудно-частотные харак-

Рис. 83. Амплитудно-частотные

харак

теристики

линейной

несимметричной

теристики жесткой несимметричной си-

системы при турбулентном сопротивле-

стемы

при турбулентном

сопротивле

нии

бигармоническом

возбуждении.

нии

и бигармоническом

возбуждении.

этом случае

соответствии

формулами (1.32),

(1.140)

й (1.146) амплитудные функции имеют вид

/ Л Т Д ™ * )

= - J r

1 / Ч г

^ m a x — 1) exp (qr 2яЛ т а х )];

(11.71)

min

m(n

/(4Anax) =

T4naxKa*.

(И-7Г)

min

На рис. 82 изображены амплитудно-частотные характеристики,

вычисленные1

по

формулам

(11.69),

(II.71) (сплошные

линии)

и (11.70), (11.71') (штриховые линии)

на ЭЦВМ «Промшь»

для

си

стемы с

параметрами

а.,. =

1 сек- 2 ; п =

0,5 см.—1; б.,. =

= F2

= ,F,,CM

-.сект-2.

1 Вычисления выполнены Л. И. Кожуховой.

132

Точками изображены результаты решения 1 уравнения (11.67) при 8 = 0 на ЭЦВМ «Урал-3». Как и следовало ожидать, более точ ная формула (11.69) лучше соответствует машинным решениям.

Однако менее точная	и более	простая	формула	(11.70) удовлетво-
			Т А Б Л И Ц А З
	/=• =	« . =	F=6,	=
Амплитуда	= 0,4 см • сек		= 0,2 см • сек—'
Амплитуда
колебаний
i4max	1,09	1	1,07	1
Amln	1,18	1,06	1,17	1,04

рительно соответствует машинным решениям. Это дает право реко

мендовать для

сложных

характеристик

более простую,

хотя и

менее точную, формулу (11.70).

Для случая кубической характеристики (1.31)

уравнений

(11.66)

(11.67)

в соответствии

с формулой

(1.32)

имеем

f (=F Л™*) =

Атах

l / a „

4 " №™* •

( 1 L 7 2 )

min

min '

min

На

рис. 83 изображены

амплитудно-частотные

характеристики,

вычисленные 1

по формулам

(11.70) и (11.72)

на ЭЦВМ «Наири-С»

Т А Б Л И Ц А 4

F =

б , =

1 см-сек

= 0,5

см • сек 2

Параметр

0,25

см

сек~2

Амплитуда

нелиней

колеба

ности

ния

ft21

(3 =

j4max

1,30

1,20

1,24

1,16

1,19

A n i n

1,58

1,32

1,53

1,17

1,24

1,05

р =

Л т а х

1,12

1,17

1,23

/4min

1,17

1,10

1,08

для

системы

параметрами

= 1 сек-2;

В =

1 см.—2 • сект2;

п = 0,1 см~{

; б% =

Fx = F2

= F, см • сект2

. Здесь

же

точками

показаны

решения 2

уравнения

(11.67) на ЭЦВМ

«Урал-3». Как

видим, совпадение аналитических и машинных решений можно признать удовлетворительным.

Взаимодействие гармоник. Попытаемся на частных примерах оценить взаимодействие гармоник. Для этого подобно изложенному

Вычисления выполнены Л.	И. Кожуховой.	1
Результаты получены Н. Г.	Новиковой и Л. И. Кожуховой.	; ' :

13S

выше (см. § 2 гл. II) вычислим отношения максимальных значений амплитудно-частотных характеристик для бигармонического и мо ногармонического возбуждений.

Сравнивая рис. 68 и 81, находим kX2 и k21 для случая вязкого трения (табл. 3).

Сопоставляя данные, приведенные на стр. 121 и в табл. 3, видим, что для минимальных амплитуд взаимное влияние гармоник больше, чем для максимальных, на которые вполне можно распространить выводы о взаимодействии гармоник для случая симметричного воз буждения (см. § 2 гл. II).

Для случая турбулентного сопротивления, сопоставляя рис. 69 и 82 а также рис. 70 и 83, получаем данные, которые приведены в табл. 4. Как видно из табл. 3 и 4, взаимное влияние гармоник за метно больше проявляется в системах с линейной характеристикой, чем в нелинейных системах; при турбулентном сопротивлении, чем

при вязком трении; на Атщ, чем на Атах;		на первом максимуме,
чем на втором.
§	4. Субгармонические
и	ультрагармонические колебания

Выясним закономерности стационарных колебаний с частотой, отличающейся от частоты возбуждения. Сначала рас смотрим более простой случай возбуждения.

Симметричное возбуждение. Исследуем случай отсутствия тре ния при четном" возбуждении, т. е. когда колебания описываются уравнением (II.2). Используя замены (1.3) и выражение (1.227), преобразуем нелинейное уравнение (II.2) к линейному, аналогич

ному

(1.228):

? Ы

— Л cos at + F

cos parf

„

гГ (e) +

z (e)

e(l+2Bcos2a )

•

( U -

7 c i )

Рассматривая

умеренно

нелинейные

системы,

для

которых

25 ^

1, представим приближенно уравнение (11.73) так:

г" (Б) + г (е) =

- i -

(Fx

cos erf +

cos pat) (1—25

cos 290 =

{Fx cos at + F2

cos pat — BFX

[cos (со — 29) t +

cos (со +

20) t] —

— BF2

[cos (pa — 20) t +

cos (pa +

20)

/]} .

Используя приближенное равенство (1.15), запишем это уравне

ние

в виде

2" ( 8 ) + 2 ( б )

1 Для случая Р = 0 сопоставлялись амплитудно-частотные характеристики, изображенные сплошными линиями и построенные по более точным формулам.

134

= -g- j / 7 ! cos -g— e -f- F 2	cos [i -g— 8	5	^	cos ( - j - — 2Je +
+ cos(4 + 2)e — BF, 3	( ( i T " 2 ) E	+	c 0	S ( l i T + 2	) e ]
					(11.74)
Сопоставляя уравнения (11.74) и (1.229), устанавливаем, что
помимо суб- и ультрагармонических колебаний				с частотами (со Т
=F 29), рассмотренных в § 5 гл. I , возникают также колебания с час
тотами (LUO + 26). Амплитуды	этих колебаний могут быть				найдены
по формулам, приведенным в § 5 гл. 1 с заменой частоты					со на р,со

и амплитуды F на F2. Этот вывод справедлив не только для основно го тона, но и для высших тонов.

Заметим, что сделанный вывод тривиально обобщается и на слу чай колебаний при наличии сопротивлений, т. е. когда движение

описывается	уравнениями (11.31) и (11.45). Разумеется, что сформу
лированный	выше вывод справедлив для частного случая	v1 =а рх
и v3 » р2 , т. е. когда сдвиги фаз вынужденных колебаний		весьма
малы и ими можно пренебречь.
Покажем, что такая же картина имеет место при нечетном воз
буждении,	когда колебания без трения описываются уравнением
(11.14).

Используя замены (1.3) и выражение (1.227), преобразуем нели

нейное

уравнение

(11.14) к

линейному,

аналогичному

(11.73):

г" ( 8 ) + 2 ( 8 )

F, sin at +

sin u.cctf

(11.75)

6(1 + 2 B cos 200

Рассматривая

умеренно

нелинейные

системы,

для

которых

2В < 1, представляем приближенно

уравнение

(11.75)

так:

г" (е) + г (е) =

4 " ( Л sin at +- F2

sin \xwt) (1 — 2B cos 260

= -g- {F1 sin at +

F 2

sin pat — BF± [sin (со — 20) t +

sin (со + 26) t] —

— BF2

[sin ([ico —

26) t +

sin (p,co + 26) t]).

Используя

приближенное

равенство

(1.15), запишем это уравне

ние

виде

2" ( Б ) + 2 ( 8 )

-g- p i

sin - | - е + F2

sin у. 4 s — BFX sin

2J е +

sin(4 + 2 ) e

•BF,

sin (ц

—

2J е - f sin ((i, - | - +

2J e

j .

(11.76)

Легко видеть, что амплитуды частных решений уравнений (11.74) и (11.76) будут одинаковы, поскольку они не зависят от фазы

135

возбуждения. Следовательно, выводы, полученные для четного возбуждения, справедливы также для нечетного и произвольного возбуждений. При наличии сопротивлений эти выводы справедливы

тогда, когда в уравнениях (11.31) и (11.45) рх — vx			=	и р2	— v2 =
=	4 " , где значения	рх и р2 определяются по	формулам		(11.34)
и	(11.48).
	Несимметричное	возбуждение. Рассмотрим	случай	отсутствия

трения при четном возбуждении, т. е. когда колебания описыва ются уравнением (11.57). Используя замены (1.3) и выражение (1.227),

преобразуем нелинейное уравнение		(11.57) к линейному, аналогич
ному (11.73):
z\4-t-z(b)~	0(1+2Bcos20/)
В случае 2B -С 1 приближенно		имеем
г" (6 ) -\|-2 (е ) = - L (6* +	cos со/ +	F2 cos [Mat) (1—2B	cos 20/) =
= -g- {6# -f- F x cos со/ +	F2 cos p,co/ — 2B6* cos 20/ — BFX		[cos (со —-

— 29) / + cos (to -4- 29) /] — BF2 [cos (цсо — 20) / + cos (цю -f- 29) /]} .

Используя приближенное равенство (1.15), запишем это урав нение так:

г" (е) +			г (е) =	J5* -4- F x cos		е + F2 cos р,	/ — 2В6* cos 2е —
-	ВВг		[cos	2J 8 +	cos	+ 2J ej - SF2	[cos ^ - \|		2^ s - j -
				+	cos(t i-\|- + 2 ) 8 ] } .
	Отсюда видно, что помимо суб- и ультрагармонических								колеба
ний с частотами (со =F 29) и 29, рассмотренных в § 7 гл. I , возникают
также			колебания с частотами			(р,со + 29). Амплитуды этих			колеба
ний могут быть найдены по формулам § 5 гл. I с заменой частоты со
нар,со. Этот вывод справедлив также и для высших тонов.
	Заметим,, чтосформулированный вывод тривиально обобщается
и	на случай			колебаний	при	наличии сопротивлений		для	v, да рх
и v2		«	р, при четном возбуждении и р{ — vx				да и р2	— v2 да ~
при		нечетном		возбуждении.

§ 5. Устойчивость колебаний

Выше было показано, что характер возбуждения су щественно влияет на параметры стационарных колебаний. Естест венно, что характер возбуждения должен повлиять и на критерии устойчивости стационарных колебаний. Поэтому будем исследо-

136

вать устойчивость стационарных						колебаний как для симметричного,
так	и для несимметричного				бигармонического возбуждения.
Симметричное		возбуждение.				Сначала	рассмотрим	простейший
случай отсутствия сопротивления для системы с мягкой								кубической
характеристикой, т. е. когда					колебания		описываются	уравнением
(11.30), где В <		0.
Амплитудно-частотная характеристика для умеренно больших
амплитуд колебаний			получена		в § 1 гл. I I . Этим же выражением,,
как	показано	выше (см. §			6
гл.	I), можно воспользоваться и
для	колебаний,	близких к не
устойчивости, если скорректиро
вать	частоту 0,	заменив		ее на
0 (1 + 2В), т. е.
	/ 5 ] / a - 4 - \| P H 2			=
= 0 ( 1 + 2 5 ) [-р		(1	F l	— со2
	02	(1	2В)2	— со2

02 (1 + 25)* •

Подставляя сюда формулы (1.243) и (1.250), получаем уравнение критических состояний

X	( а - • 2ша) (а — 2ц2 щ2 )		Z о,яи~'
	р \| а — 2ш2	\| + \| а — 2ц2 со2

где	(11.77)
где
F, = F; р=-	(11.78)
	Fx

Рис. 84. Кривые критических состоя ний симметричной системы без трения при бигармоническом возбуждении.

В знаменателе уравнения (11.77) выражения берутся по абсолютному значению, так как появление отрицательного знака у одного из

выражений	соответствовало			бы случаю действия одной гармоники
в противофазе		с другой.
Из выражения (11.77) видно, что кривые / критических						состоя
ний (рис. 84), построенные для системы с параметрами					ее =	1 се/с- 2 ,
\| В\| = 0,2 см~2		• сект2,	\к =	2, р = 1, пересекаются	с осями ко
ординат в	точках
a	-I Г	а		со,
_ _ 2 ~	У Т ё Т '		1 + р

Выше (см. § 6 гл. I) было показано, что срыв колебаний также приводит к неустойчивости. На рис. 84 кривые _// критических состояний представляют собой геометрическое место точек срыва колебаний. Параметрическими уравнениями кривых //'• являются

137

амплитудно-частотная характеристика (11.29)

производная ее

по со, в которой принято

= 0, а именно:

f (92 — со2) (б2 -

ц2со2) =

FQ (р | б2 — со21 +

| 9а

— |л2со21);

(11.79)

f (92 — со2) (б2 — |х2со2) + 299'/ [202

— со2 (1 + ц2 )]

= FQ' (р | 392

— со21 + | 392 — ц2со21).

Определим координаты точек пересечения

кривых

/ /

осями

и и Р . Полагая

в уравнениях

(11.79) F =

0, имеем

/(92 —со2 )(92 —ц2 со2 ) = 0;

? (92 — со2) (92

— ц2со2) + 2087 (292 — to2 (1 +

ц2)] = 0.

(11.80)

Поскольку / Ф 0 и 202

— со2

(1 -4- LI 2 ) ф 0, из

системы (11.80) на

ходим

со = 0, со = 0/ji, 200'

= 0, dQVdA =

= const.

Для

малых

значений

F при со4

Ф со Ф со3

будут

иметь

место

малые линейные колебания. Следовательно, 02 = а. Таким

обра

зом, получаем координаты двух точек (см. рис. 84) пересечения

кри

вых / /

с осью

со : соа =

— ]/сх;

со4

У а.

Полагая в формулах

(11.79) со =

0, Находим

fe=F„(l+p);

f 0 2 +

4907 =

3F/ / 0'(] +

р).

(11.81)

Исключая отсюда Fu (1 + р), получаем

/'9 + /9' = 0.

(11.82)

При

статическом

воздействии

(со =

х =

0, х = А0)

уравне

ние колебаний (11.79) принимает вид

aA0

— \$\Al=,F/t(l+p).

(11.83)

Дифференцируя это равенство по А0,

имеем

а — 3|В| A% = F'„(\

+р).

(11.84)

Дифференцируя

по А0

первое выражение

(11.81),

получаем

f'Q +

+ /8' =

F/r (1 + р). Сопоставляя

это равенство с формулой (11.82),

определяем FIt

(1 +

р) =

0. Далее, из выражения

(11.84)

находим

А0 =

з "р | •

Подставляя

это

значение

равенство

(11.83),

окончательно получаем

F,,

—

Т /

(П.85)

3 ( 1 + д )

V 3 | 6 | •

;

Построение

кривых

/ / по уравнениям

(11.79)

требует

весьма

громоздких вычислений. Оказывается, что результаты этих вычис лений могут быть аппроксимированы сравнительно простым выра жением

	(а - со2) (а — )х2со2)	(11.86)
31 Р \|	р \| а — со21 + \| а — ц2й>21

Это выражение получено из следующих соображений.

138

Принимаем для частоты линейное приближение 02		= а. Тогда
0' = 0 и второе	уравнение (11.79) принимает вид /' (02	— со2) (02 —
— р,2со2) = 0.	Поскольку (02 — со2) (02 — р2со2) ф 0,	то /' = .0,

откуда f = С — const, т. е. линейное приближение для частоты вле


чет	за собой		осреднение амплитудной функции. Теперь пер
вое	уравнение		(11.79)	принимает вид С (а — со3) (а — р,2ш2) =
= F ] / а (р\а		— со2 \ +		\| а — р2 со2 1). Используя граничные условия
со =	0 и F =	FJI и принимая во внимание формулу (11.85), находим

что и приводит к выражению (11.86).

На рис. 84 кривые II критических состояний построены по фор муле (11.86) для системы с теми же параметрами, что и кривые /. Здесь же точками и кружками показаны результаты решения 1 на ABM МН-7. Как видим, совпадение аналитических и машинных результатов можно признать удовлетворительным. Физический смысл кривых и порядок пользования ими такой же, как для графиков на рис. 59 для моногармонического возбуждения.

Далее рассмотрим устойчивость стационарных колебаний при вязком трении, т. е. когда колебания описываются уравнением

х + 2пх + ах — | Р | хя = Fx cos cat + F2 cos \iwt. В этом случае, как показано выше (см. §2 гл. II), амплитудно-частотная характеристи ка для колебаний с умеренно большими амплитудами определяется выражением (11.41). Заменив в нем 0 на 0 (1 + 2В), получаем вы ражение характеристики для колебаний, близких к неустойчивости:

АЛГа-\	1 Р И 2 =	,	6 ( 1 +	2 Б	> ^	+
'	2 1 1	У [л2 — со2 + 82 (1 + 2 £ ) 2 ] 2 + 4л2 ш2
+	,	6(1 +	2 ^ ,
	У [л2 — ц2 ш2 + б 2		(1 + 2S)2 ]2	+	4л2 ц2 <о2

Подставляя сюда формулы (1.243) и (1.250), находим уравнение критических состояний

\| / " \|	+ я 2 — co2 j2 + 4л2 ш2	+ л 2 — ц 2 ш 2 \| 2 + 4я2 р.2 со2
х
Р Y(jj-	+ « 2 — ш 2 \| 2 + 4я2 ш2 + У ^ - ^ + п* — H2 co2 j2 + 4л2 \|х2 со2

(11.89)

Здесь использованы обозначения (11.78). Полагая в формуле (11.89) п = 0, получаем, как и следовало ожидать, выражение (11.77).

1 Приведенные в данном параграфе результаты решения на АВМ МН-7 полу чены В. С. Горбатовым.

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2214 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ