книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания
.pdfСчационарные колебания определяются частными решениями уравнения (П.З), которые будем искать в виде
zl = Cj cos -5р е; г2 = С2 cos ц -2- е. (II.4)
Подставляя эти выражения в уравнение (П.З) и приравнивая к нулю
коэффициенты |
|
|
при косинусах |
одинаковых |
аргументов, получаем |
||||||||
|
Г |
|
— |
F ' |
- |
г |
|
— |
F" |
|
|
||
Поскольку |
|
уравнение (П.З) линейное, |
суммируя частные реше |
||||||||||
ния (II.4), |
|
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Q |
г |
/ |
m |
F, |
а> |
. |
|
F„ |
., |
cos L I -jT- e |
|
2 = |
0 |
|
|
,v2 |
cos -к- е |
|
— W l — " . , |
||||||
|
|
|
|
у 9* — со2 |
8 |
|
1 |
S2 — ц-ш-5 |
f |
Э |
|||
Переходя здесь к старым переменным в соответствии с формулами
(1.3) и (1.13), |
находим |
решение для |
стационарных |
колебаний х : |
|||||
/ (*) = 9 ( 62 F_l c o s a t |
+ |
е2 - |
^со- |
c |
o s ^ ю / ) • |
( I L 5 ) |
|||
Исследуем |
решение (П.5) на экстремум в интервале изменения |
||||||||
времени /: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jT<£t<jT |
+ Z-, |
|
j = |
0, |
1, 2, 3, . . . . |
(II.6) |
|||
где Т — основной период возмущения, Т — |
|
Для этого продиф |
|||||||
ференцируем -выражение |
(II.5) |
по времени |
и приравняем к нулю: |
||||||
/ (*) = |
— 9 ( " ё ^ г sin at + |
g |
, ^ |
, |
sin |
= 0. |
|||
Вводя обозначения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F 1 |
|
92 |
— L I 2 C O 2 |
0 |
|
|
Т Т |
|
|
"77 |
= Vo; |
е 2 - с о 2 |
= Q > |
|
( I L 7 > |
|||
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"й0 |
sinco* + |
sinixco* = 0. |
|
(П.8) |
||||
|
М- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ивестно, что sin ц.со* при целочисленных значениях LI можно раз ложить по степеням основной гармоники sin at по формуле
sin pep = р cosP_lcpsin cp — Cp cos^cp • sin3 cp -f- Csp соэр _ 5 ф sin5 cp — - • •
(II.9)
Тогда, введя обозначение
* < 0 - - S £ - . |
(11-Ю) |
1 Предполагается, что свободные колебания с частотой 9 затухли.
110
запишем уравнение (II.8) так:
^+ /e(/)lsinco/ = 0.
Отсюда получагм два уравнения для критических значений аргу мента со t:
|
|
|
|
|
|
sinco^ = |
0; |
YoQ +1 - ^(0 |
= |
0. |
(11.11) |
|||
|
Из первого |
уравнения (11.11) найдем |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
t = |
]T |
= / - ^ , |
/ = |
0, |
1, |
2, 3, . . . |
(11.12) |
|||
Следовательно, |
|
cos |
со/Т = |
cos2/n = |
± 1 ; |
cos\xajT = |
cos2/fin = |
|||||||
= |
± 1 , /; (-i = 0, |
1, 2, 3, ... Здесь знак «плюс» будет иметь место при |
||||||||||||
четном /, |
а «минус» — при |
нечетных / |
и }ц. |
Легко видеть, что оба |
||||||||||
эти случая 1 |
соответствуют |
максимальному |
абсолютному |
значению |
||||||||||
выражения |
(II.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
Поскольку |
для |
монотонной |
амплитудной |
функции |
/ (х)г а а х = |
||||||||
/ (А), |
то |
для |
амплитудно-частотной |
характеристики |
получаем |
|||||||||
выражение
/ И ) ° е ( - ^ А 5 Г + ) = ^ ^ ( 1 + ^ г ) . (11.13)
Здесь использованы обозначения (П.7).
Для доказательства того, что при значениях времени (11.12) амплитудная функция действительно достигает наибольшего значе ния, необходимо рассмотреть второе уравнение (11.11). Проделаем
это для частных случаев р, = 2 и р, = |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
В случае р, = 2 формулы (П.9) и (11.10) принимают вид: sin 2ср = |
||||||||||||||||||
= 2 sin ф cos ф; k |
{t) — 2 cos |
at. |
|
Тогда |
второе |
уравнение |
(11.11) |
|||||||||||
можно |
записать |
так: |
Y0 Q + |
4 cos |
со^ = |
0. |
Если |
y£l = |
4, |
то |
||||||||
cos со^ = |
— 1 , |
a cos 2at |
= 1 и выражение |
(П.5) |
будет меньше |
ра |
||||||||||||
венства (11.13). То же самое будет |
иметь |
место |
при |
произвольном |
||||||||||||||
y0Q, так как в этом случае | cos |
at\ |
<; 1 и | cos |
2со / j <г 1. |
|
|
|||||||||||||
В случае |
р, = |
3 |
формулы |
(П.9) |
и |
(11.10) |
принимают |
вид |
||||||||||
sin Зф = |
3 sin ф — 4 sin3 |
ф; |
k [t) |
= 3 — 4 sin2 |
at. Тогда |
второе |
||||||||||||
уравнение (11.11) можно |
записать |
так: y0Q 4-9— |
12 sin2 со^ = |
0. |
||||||||||||||
Отсюда следует, что sin со t Ф |
0 и |
| cos |
со 11 < |
1, | cos 2 со t \ < 1, т. е. |
||||||||||||||
приходим к такому же |
выводу, как |
и для |
случая |
р, = 2. К |
анало |
|||||||||||||
гичному выводу приходим для любого |
|
целочисленного |
значения |
р,. |
||||||||||||||
Нечетное |
возбуждение. Рассмотрим |
|
стационарные |
вынужденные |
||||||||||||||
колебания, |
описываемые следующим |
уравнением [34]: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
x\t) |
+ |
R (х) = |
Fx |
sin со* + |
F2 |
sin jico*. |
|
|
(II. 14) |
||||||
Поступая аналогично предыдущему, находим решение для стацио нарных колебаний:
f(*) = e(- e-rz^r sin coi + & i Д3 ( в 2 sin iicoij . |
(II. 15) |
1 В случае четного / и нечетного /р. получается меньшее значение, так как чле ны в равенстве (II.5) имеют разные знаки.
l i i
Исследуем данное решение на экстремум в интервале (II.6). Для это го продифференцируем выражение (11.15) по времени и приравняем к нулю:
/ W |
= 6 ( 9 » ° ? ^ |
cos Ы + |
Q 2 |
|
cos |
цсо^) = 0. |
||||
Используя |
обозначения |
(II.7), |
получаем |
|
|
|
||||
|
|
|
|
cos at + |
cos fxco t = |
0. |
|
(II. 16) |
||
В отличие от предыдущего |
при решении |
уравнения (11.16) |
||||||||
возможны два случая. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если (д, — нечетное целое число, то в разложении cos ]iat в ка |
||||||||||
честве сомножителя |
присутствует |
cos at и, следовательно, одна из |
||||||||
труп п корней определяется уравнением eos со^ = |
0, т. е. |
|||||||||
Поскольку |
в этом случае |
|
|
|
|
|
|
|||
sinco(; T + |
|
- L ) = s |
i n J/_|L + |
J L j м |
= = J, |
/ = |
0 , |
1, 2, . . . ; |
||
sin |ш |
+ |
- LJ = |
S in ( / - 2 1 + |
J1 _ J |
LXCO = 1, |
ц |
= |
1, 5, 9 |
||
то, подставляя данные выражения в решение (11.15), получаем урав нение амплитудно-частотной характеристики в виде (11.13).
Если [д, =,3, 7, 11, |
то |
|
|
|
sin (ico (У Т + - £ - ) = |
sin (/ |
+ J L ) ^(о = |
_ l |
|
и формула (11.15) приводится к виду |
|
|
||
W = б ( т £ * г - |
И Г |
^ ) = |
- g i ^ - (1 - |
^ г ) • (И-17) |
Для того чтобы установить условия, при которых выражение (11.17) будет являться амплитудно-частотной характеристикой, сле дует рассмотреть другую группу корней.
Например, если ц, = 3, то уравнение (11.16) принимает вид
cos at + 4 cos2 of — 3J = 0.
Эта группа корней определяется уравнением
- ^ - + 4cos2atf — 3 = 0,
откуда
cos at = |
"|^3 |
j - y0Q. |
112
Находим |
|
|
|
|
|
|
sin at = УI — cos2 at = |
"j/"1 + |
у0 й; |
sin dat |
= |
sin at (3 — 4 sin2 coi) == i - j |
/ 1 - f i - 7 |
o Q (2 — -^-y^j. |
Подставляя |
эти значения в формулу |
(11.15), получаем выражение |
||
Сопоставляя выражения (11.17) и (11.18), легко установить, что
если Y„Q < 9, то / ( х ) т а х = |
/2 |
(х), |
а |
если |
y0Q > |
9, |
то f (x) m a x = |
||
= h (*)• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким |
образом, в случае |
= |
3 |
выражение |
для |
амплитудно- |
|||
частотной |
характеристики |
определяется |
формулами |
(П.17) при |
|||||
V„Q > 9 и (11.18) при y0Q < |
9. |
|
|
|
|
|
|
||
Иная |
картина имеет место в случае четного ц. Тогда уравнение |
||||||||
(11.16) приводится к алгебраическому |
уравнению второго и более |
||||||||
высоких порядков. Например, для ц, = |
2 уравнение (11.16) принима |
||||||||
ет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 at + |
4— cos at |
|
~- = 0. |
|
|
|||
|
|
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
Разрешая это квадратное уравнение, получаем два корня |
|||||||||
|
(cos coOi.2 = - |
|
Q ± |
У |
A |
- Q2 + |
± - , |
(II. 19) |
|
которые соответствуют двум экстремальным значениям амплитудной
функции (11.15). Так как (cos со^ > |
0, то аргумент первого корня |
||
(11.19) находится в |
интервале |
|
|
/ Т < г |
1 < / Т + - ^ , |
/ = 0 , 1 , 2 , . . . , |
(11.20) |
а поскольку (cos со^г < 0i т 0 аргумент второго корня (11.19) нахо дится в интервале
/ Т + - £ - < * „ < / Т + - £ - , |
/ = 0 , 1 , 2 , . . . |
(11.21) |
Определим, какому из этих значений t соответствует макси мальное значение амплитудной функции / (х). Для этого исследуем вторую производную от функции / (х) по времени
f(x) = - e ( - ^ ^ s m a t + |
sinuWJ, ц = 2. |
(11.22) |
|
Для значения tlt |
находящегося в интервале (11.20), |
|
|
|
sinco*>0, |
sin2co*>0 |
(П.23) |
и, следовательно, |
/ (х) <; 0, а значит, |
|
|
|
f W M , = / ( J t U |
(П.24) |
|
8 4-5 |
И З |
Для значения t2, находящегося в интервале (11.21),
sinco/>0; |
sin 2со* < 0 . |
(11.25) |
Покажем, что в этом случае / (х) > |
0. Как видно из формулы (11.22), |
|
для этого необходимо, чтобы |
|
|
Используя обозначения (II.7) и подставляя ц. = 2, находим yuQ <С 4. Из решений (11.19) вытекает, что второй корень (11.19) будет
иметь место при условии
которое приводится к неравенству |
|
7 0 Q < 2 . |
(11.26) |
Следовательно, |
|
/(*),=,, = f ( x ) m i n . |
(11.27) |
Итак, при выполнении условия (11.26) функция / (х) |
имеет два |
экстремальных значения, причем | / ( * ) т а * | > | / ( * ) m i n | . |
Последнее |
неравенство вытекает из того, что при максимуме (11.24), в соответ ствии с (11.23), оба члена в решении (11.15) однозначные, а при мини
муме (11.27), в соответствии |
с (11.25), они имеют |
противоположные |
знаки. |
|
|
Таким образом, если ввести обозначение |
|
|
К (cosco^ = |
£>- Й + j / ^ - Q 2 |
+ - L , |
то для амплитудно-частотной характеристики получим выражение
f(*U* = ПА) = - р ^ з г VT=k* ( l + J * - ) . |
(11.28) |
Заметим, что первый корень (11.19), соответствующий (coscoOi. всегда имеет место, так как условие его существования
приводится к очевидному неравенству y0Q > —2. Амплитудно-частотные характеристики. Как показано выше,
для четного возбуждения при любом ц, и нечетного возбуждения при нечетном у. = 1, 5, 9, ... справедлива амплитудно-частотная харак теристика (11.13), которую запишем так:
/ (± А) - в ( - ё г ^ г + е * Д с о 2 ) • |
(П.29) |
Отсюда видно, что это уравнение биквадратно относительно частоты возбуждения со и, следовательно, может иметь до четырех положи-
114
тельных значений со при заданной амплитуде А. В частности, для стационарных колебаний, описываемых уравнением
x(t) + ax{t) + В*3 (/) = Fx cos со/ + F2 |
cos port |
(II. 30) |
при а > 0 и В ^ 0 , в соответствии с формулами |
(1.32) и (11.29), для |
|
амплитудно-частотной характеристики получаем выражение |
|
|
Здесь 0 определяется по формулам (1.33) или (1.207)—(1.209). |
|
|
Характер изменения амплитуд для случая |
р. = 2 и В > |
0 по |
казан на рис. 74. С увеличением частоты возбуждения со, когда раз
ность 0 — (хсо далека |
от нуля, ам- • |
|
|
|
|||||||
плитуда колебаний при совместном И' | |
|
|
|||||||||
действии |
двух |
|
гармоник |
больше, |
|
|
|
||||
чем при |
раздельном |
их действии. |
|
|
|
||||||
На этом участке |
влияние |
основной |
|
|
|
||||||
гармоники |
на |
амплитуду |
колеба |
|
|
|
|||||
ний, |
вызванных |
действием |
второй |
|
|
|
|||||
гармоники, |
существенно. |
В |
даль |
|
в |
а |
|||||
нейшем, |
с |
возрастанием |
со, когда |
J L |
|||||||
разность |
|
9 — р.ш - v 0, |
развива |
г |
|
|
|||||
ются |
колебания |
с |
резонансными |
Рис. 74. Амплитудно-частотные |
ха |
||||||
амплитудами |
от |
действия |
второй |
рактеристики жесткой системы при |
|||||||
бигармоническом |
возбуждении |
без |
|||||||||
гармоники с частотой цсо (ветвь/). |
трения. |
|
|
||||||||
На этом участке |
влияние основной |
|
|
|
|||||||
гармоники на ход развития колебаний невелико. Затем идет участок развития колебаний, вызванных действием основной гармоники,
причем пока разность 9 — со |
не близка нулю, влияние второй гар |
моники существенно. Когда |
же эта разность 9 — со ->• 0, развива |
ются колебания с резонансными амплитудами гармоники с основной частотой со (ветвь / / ) . Здесь влияние второй гармоники мало. После резонанса по основной частоте со развиваются колебания с амплиту
дой, большей, чем при раздельном действии гармоник. |
Количествен |
||
ная оценка влияния взаимодействия |
гармоник дана |
ниже |
(см. § 2 |
гл. II). |
|
|
|
Для систем с перескоком, когда |
в уравнении (11.30) |
а < ; 0, а |
|
В ;> 0, как показано выше (см. § 1 гл. I), возможны большие колеба ния, происходящие относительно неустойчивого положения равно весия х9 = 0, а также малые колебания относительно устойчивых
положений равновесия х^ = ± j / ^ - j p |
|
|
В соответствии с формулами (1.42) и (11.29) для больших |
колеба |
|
ний амплитудно-частотная характеристика принимает вид |
|
|
± А У±- ( М - . - а = 9 ( p A j r + ^ |
) , |
• |
где 9 определяется по формулам (1.41) или (1.214). |
|
|
8* |
115 |
В соответствии с формулами (1.45) и (11.29) для малых колеба ний амплитудно-частотная характеристика принимает вид
|
|
y i p |
У 2 |
|
|
I |
е а - ш з |
т |
ea — yPtifi ) • |
|
|
||||
Характер изменения амплитуд для систем с перескоком |
показан |
||||||||||||||
на рис. 75, из которого видно, что возможны два резонанса |
больших |
||||||||||||||
колебаний, |
после |
которых |
большие колебания сменяются малыми. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
Возможен и второй |
случай |
|
(при ма |
|||||||
|
|
|
|
|
лых |
амплитудах |
возбуждения), |
когда |
|||||||
|
|
|
|
|
малые колебания |
переходят |
в |
боль |
|||||||
|
|
|
|
|
шие, |
которые |
затем |
снова |
переходят |
||||||
|
|
|
|
|
в |
малые. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характер |
|
влияния |
взаимодейст |
||||||
|
|
|
|
|
вия гармоник на амплитудно-частот |
||||||||||
|
|
|
|
|
ные характеристики для систем |
с пе |
|||||||||
|
|
|
|
|
рескоком примерно |
такой |
же, как и |
||||||||
|
|
|
|
|
для систем |
с |
кубической |
характери |
|||||||
Рис. 75. Амплитудно-частотные |
|
стикой. |
нечетного |
возбуждения, |
|||||||||||
характеристики системы с пере- |
|
|
В случае |
||||||||||||
с к о к о м |
п р и о и г а р м о н и ч е с к о м |
|
|
|
|
|
|
" г |
|
i ft 3 |
|
||||
ГУПИПМ |
ППИ ЙНГЯПМПННЦРГКПМ |
Т ' |
|
е * |
когда |
|
х -(- ссх -\- рх |
|
|||||||
возбуждении |
без трения. |
|
|
|
|||||||||||
ц = 1 , |
5, 9, ... приведенные |
= |
Fx |
sin at - f F2 |
sin (icoi, и кратности |
||||||||||
выше формулы справедливы. |
|
||||||||||||||
Для |
а > 0 , Р § 0 Й ( 1 |
= |
2 В соответствии |
с формулами (1.32) |
|||||||||||
и (11.28) |
амплитудно-частотная |
характеристика |
принимает |
вид |
|||||||||||
± |
A y . + ± f # - ± ^ |
|
у г = р ( i + |
J J r . ) . |
|
||||||||||
Для систем с кубической характеристикой и параметром крат ности [i = 3 в соответствии с формулами (1.32), (11.17) и (11.18) амплитудно-частотные характеристики будут иметь вид
± ^ / « + 4 - P ^ , - ± T ^ / 1 + T - T « Q ( i - + iir) .
vo^ > 9; |
|
± Л Уа + 4 - ВЛ* = 1 J ^ _ (! _ _ ! _ ) , |
Y O Q < 9 . |
Характер кривых, построенных по этим формулам, такой же как для случая четного возбуждения (см. рис. 74). Совершенно аналогично можно построить амплитудно-частотные характерис тики для случая нечетного возбуждения систем с перескоком (см. рис. 75).
Следует отметить, что здесь и в дальнейшем в качестве примеров нелинейных систем рассматриваются симметричные и несимметрич ные системы с кубической характеристикой и с перескоком. Однако эти результаты тривиально обобщаются на случай других систем. Для этого достаточно подставить в соответствующие формулы значение амплитудной функции f (А), заимствованное из главы I .
116
§ 2. Симметричное возбуждение систем с трением
Как показано в предыдущем параграфе, характер воз буждения (четное и нечетное) влияет на количественные оценки ам плитудно-частотных характеристик, но не влияет на качество ста ционарных колебаний. Поэтому в дальнейшем будем рассматривать произвольное возбуждение (со сдвигом фаз гармоник), имея в виду, что четное и нечетное возбуждения можно расценивать как частные случаи произвольного возбуждения.
Вязкое трение. Рассмотрим [11] стационарные колебания нели нейной системы, описываемые уравнением
х + 2пх + R (х) = F1 cos (at + vx) -f- F2 cos (LUO/ + v2 ). (11.31)
Используя замены (1.86), преобразуем нелинейное уравнение (11.31) к линейному:
z" (е) + г (е) = —г- [Fx cos (at + vx ) + F2 cos (pat + v2 )].
Ф
Линеаризуя фазовую функцию в соответствии с выражением (1.13) и используя зависимости (1.14) и (1.15), получаем уравнение, аналогичное (1.92):
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г" (г) + |
z (е) = \ |
е0 |
|
Fx |
cos (-jp е + |
vA J + F2 |
cos ^ |
- | - г -f- v. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.52) |
Частные решения для каждой из гармоник находятся аналогич |
|||||||||||||
но изложенному |
выше (см. § 2 гл. I) и определяются по формуле |
||||||||||||
(1.95), используя которую получаем |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
п |
|
/ |
со . |
|
|
ч |
|
|
|
|
гх |
= ахе |
Т е |
cos |
vx — |
|
|
||||||
|
|
|
-g- е + |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
е- е |
|
V |
|
со |
, |
|
|
|
(И.ЗЗ) |
|
z2 |
= aze |
|
/ |
|
— р2 |
|
||||||
|
|
cos 1ц -g- е + v2 |
|
||||||||||
Здесь в соответствии с формулами (1.96) и (1.97) обозначено |
|||||||||||||
a i = |
—/• |
|
|
|
= — |
J |
' |
tg р, — |
л 2 — ш 2 + 03 ' |
||||
|
/ ( л 2 - со2 + О2 )2 + 4л2 ш2 |
|
S |
1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11.34) |
a |
|
6 F |
i |
|
|
|
|
|
tso |
|
- |
2 |
щ а |
2 |
V (л2 — ц.2со2 + О2 )2 + 4лV c o 2 ' |
|
|
|
л 3 _ |
^ 2 f f l 2 + 0 2 |
|||||||
Поскольку уравнение (11.32) линейное, то, суммируя частные решения (11.33), имеем
а-л cos [ - | - е -f- v, — рх ) + а2 cos (и -у- е + v8 — p2j
117
Переходя здесь к старым переменным в соответствии с формулами (1.13) и (1.86) и учитывая обозначения (11.34), находим решение для стационарных колебаний:
г , . _ |
6Ft cos (at + Vi — Pi) |
j |
Щ cos (nat -f- va — pa) |
|
У (л2 — ш2 + б 2 ) 2 + 4л2 со2 |
|
У (п2 — u 2 ^ 2 + G2 )2 + 4л2 ц2 со2 |
|
|
|
(11.35) |
Для построения амплитудно-частотной характеристики необхо димо определить максимум выражения (11.35), пользуясь методикой, изложенной выше. При этом следует иметь в виду трудность, воз никающую при учете вязкого трения. Она состоит в том, что фазы вынужденных колебаний рх и р2 , как видно из (11.34), зависят от частоты свободных колебаний 0, которые в свою очередь зависят от амплитуды колебаний. Следовательно, строго говоря, определение максимума выражения (11.35) возможно только путем последова тельных приближений. Однако, учитывая приближенность реше ний, а также наличие колебаний с умеренными амплитудами, сдвиги фаз рх и р2 можно считать фиксированными и приближенно вычис лять для значения частоты 0 линейных колебаний.
Определять максимум (11.35) удобно для конкретных значений параметров. Поэтому ограничимся рассмотрением в общем виде простейших частных случаев.
Наиболее простым является случай, когда vL да pl f v2 да р2 , а сдвиги фаз вынужденных колебаний весьма малы и ими можно пренебречь. Тогда решение (11.35) приближенно упрощается к виду
с , \ |
QF\ cos со/ |
. |
OF, cos цсо/ |
' ( |
~~У'(п? — со2 + 02 )2 + 4л2 со2 |
У ( л 2 |
— ц% 2 + б2 )2 + 4n2 coV |
|
|
|
(11.36) |
Заметим, что решения (II.5) и (11.36) аналогичны. Следователь но, условия их максимума одинаковы и определяются выражением (11.12). При этом обе гармоники одновременно принимают макси мальные значения cos at = 1 и cosp,co/ = I . Подставляя эти зна чения, а также х = А в (11.36), получаем выражение для амплитуд но-частотной характеристики:
f /М — |
6 f l |
I |
|
0 ^2 |
|
|
У (л2 — со2 + б 2 ) 2 + 4я2 соа |
У (л2 — ца со2 + 92 )2 + 4я2 ц2 со2 |
|||
|
|
|
|
|
(11.37) |
В случае возбуждения колебаний одной гармоники |
с частотой |
||||
со или ца |
(монохроматическое движение) в соответствии с формулой |
||||
(1.100) максимальные значения первого и второго членов |
выражения |
||||
(11.37) будут иметь место при выполнении |
условий |
|
|||
|
со2 = |
02 — п2 , |
р,2со2 = |
02 — п2. |
(11.38) |
Поскольку \i > 2, то согласно вычислениям, приведенным ни же, условия (11.38) можно рассматривать как приближенные для характеристики (11.37). Итак, максимальные значения амплитуд
118
Л т а х можно приближенно найти из выражений, получаемых путем
последовательной подстановки условий |
(11.38) |
в формулу |
(11.37), |
|||||
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ У (1 — ц 2 ) 2 |
QF., |
|
|
|
|
|
|
|
(0- — л 2 ) 2 |
+ |
4л 2 0 2 |
|
2л |
(11.39) |
|
|
/ ( | i a |
— l)2 (02 — л 2 ) 2 + 4n2 fi2 02 |
4- F i |
= |
F* h |
|
||
|
2л |
|
|
|
||||
Коэффициенты |
kijt |
входящие в |
формулу |
(11.39), |
характеризуют |
|||
взаимное влияние гармоник и имеют вид |
|
|
|
|
|
|||
к.л = |
1 + |
2nF., |
42 1 |
+ |
2n\xF, |
(11.40) |
||
8 ( n » - |
|
|
||||||
В качестве примера рассмотрим кубическую характеристику (1.31). В соответствии с формулами (1.32) и (11.37) для амплитудночастотной характеристики по лучаем выражение
У (л2 |
— со4 + |
02 )2 |
+ 4л%2 |
+ |
|
|
|
9F, |
|
|
|
|
|
+У (л2 — |х2 ш2 + 02 )2 + 4л2 ш-ц2 |
Рис. 76. Амплитудно-частотная характе |
|||||
|
|
|
(11.41) |
|||
|
|
|
ристика жесткой системы при вязком тре |
|||
Построенная1 по этой фор |
нии и бигармоническом возбуждении. |
|||||
муле |
амплитудно-частотная |
|
|
|||
характеристика для системы с параметрами сх=1 се/с- 2 ; 6=0,6 см~2 X |
||||||
X сект2; |
п = |
0,1 |
сек—1; F1 |
= F2 = 0,4 си • сек—2; \i = |
2 изобра |
|
жена на рис. |
76. |
Точками |
представлены результаты |
решения2 |
||
на модели ЭМУ-8. Поскольку эти данные получены при нулевых начальных условиях, то максимальные амплитуды не реализованы (см. § 2 гл. I).
Как видим, совпадение |
аналитических и машинных |
результатов |
|||||
вполне удовлетворительное. |
|
|
|
|
|||
Для систем с перескоком в соответствии с формулами (1.42), |
|||||||
(1.45) и (11.37) амплитудно-частотные |
характеристики |
имеют сле |
|||||
дующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
для больших колебаний |
|
|
|
|
|||
± Л ] / ~ 4 - 6 Л 2 - а = |
|
6А |
|
+ |
|||
|
|
У |
(„2 _ |
Ш2 92 )2 |
+ 4Я2Ш2 |
||
+ |
|
в/7 |
, |
|
|
(11.42) |
|
Y(п2 |
— р-2ш2 + 02 )2 + |
4л2 и.2 ш2 |
' |
||||
|
|
||||||
4.2 Результаты получены М. И. Казакевичем.
119