книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

Сопоставляя решения (1.231) и (1.319), устанавливаем, что в не­ симметричных системах при несимметричном возбуждении возника­ ют суб- и ультрагармонические колебания такие же, как и в сим­ метричных системах. Следовательно, для определения амплитуд этих колебаний можно полностью воспользоваться результатами § 5 на­ стоящей главы, только 0 и В следует определять по формулам данного параграфа. Наличие несимметрии приводит к появлению ко­ лебаний с частотой 20, амплитуды которых, как видно из формулы (1.319), определяются уравнением

Входящие сюда величины 0 и В определяются по приведенным в данном параграфе формулам в зависимости от амплитуды колеба­ ний с частотой со возбуждения. Обобщая эти результаты на случай колебаний при наличии вязкого трения, для решения уравнения (1.107) получаем выражение

У | / « * + 4 " № = -|р + a cos (at — р) + ас cos [(со — 20) t — рс ] —

— а у cos [(со -+- 20) г? —Р у ] + а2о cos (20с" — р2е),

где амплитуды колебаний и сдвиги фаз определяются по формулам, приведенным в § 5 данной главы. Кроме того,

Сопоставляя полученные данные с результатами § 5 данной главы, видим, что в несимметричных системах при вязком тре­ нии возникают суб- и ультрагармонические колебания, амплитуды которых можно определять по формулам § 5. Кроме того, возникают колебания с частотой 20, амплитуды которых определяются из приближенного уравнения, полученного аналогично (1.321):

Полагая в формуле (1.322) п = 0, как и следовало ожидать, при­ ходим к выражению (1.321).

100

В случае несимметричного возбуждения симметричных систем в приведенных выше формулах следует использовать равенства (1.291).

Более подробно1 рассмотрим стационарные колебания при турбу­ лентном сопротивлении. Используя замены (1.3) и формулы (1.133)

— 2BF0 cos 26i! — BF [cos (ю — 26) t + cos (со + 26) *]}.

Используя приближенное равенство (1.15), запишем это урав­ нение в виде

—c o s ( 4 — 2 ) е - b c o s ( - r + 2 ) e }•

Частное решение этого уравнения, полученное аналогично из­ ложенному выше (см. § 3, 5, 7), имеет вид

1 В § 5 влияние сопротивления не рассматривалось.

101

то аналогично изложенному выше (см. § 5) можно обнаружить коле­

чай отсутствия трения, т. е. когда колебания описываются уравне­ нием (1.54), где параметры и \ определяются по формуле (1.282).

Как следует из изложенного в § 5, неустойчивыми могут быть только колебания в мягких системах (р < 0), характеристика кото­ рых имеет ненулевые корни (см. рис. 9, е). Используя выражения (1.32) и (1.58) и заменяя 0 на 0 (1 + 2В), аналогично (L247) получа-

102

ем следующее уравнение амплитудно-частотных характеристик коле­ баний, близких к неустойчивости:

Как показано выше, формула (1.212) остается справедливой и для случая несимметричных колебаний мягких систем. Используя вы­ ражения (1.212) и (1.296), для критического состояния имеем

Из третьей формулы (1.296) видно, что величина ц. выражается через корни уравнения энергии (1.295). Выразить ее аналитически через параметры системы невозможно. Однако, как показывают вы­ числения, хорошую сходимость дает весьма простое выражение

аналогичное формуле (1.250) для симметричных систем. Причем не­ симметрия системы учитывается параметром а), определяемым из уравнения (1.287) и первого равенства (1.285). Точность приближенно­ го выражения (1.326) тем выше, чем меньше несимметрия, т. е. чем меньше \у^\.

Подставляя формулу (1.326) в равенство (1.325), после простых преобразований получаем уравнение критических состояний

Входящая в эту формулу критическая амплитуда Л к р равна ненулевым корням характеристики уравнения (1.281), которые свя­ заны с ненулевыми корнями характеристики уравнения (1.284) пер­ вой зависимостью (1.292), т. е.

Ар = У = У* — - gjjj-r •

Ненулевые корни характеристики уравнения (1.284), как извест­ но [13], имеют вид

У * = ± ТГРГ ( ^ v 2 + 4 a : | P | ± У*

Следовательно, для критических амплитуд получаем два выра­ жения:

Из этих-двух значений в формулу (1.327) подставляется то, которое дает минимальную по абсолютному значению амплитуду возбужде­ ния F.

Заметим, что принимая в формуле (1.327) Л к р согласно выраже­ нию (1.243) и полагая а* = а и б* = 0, получаем, как следовало

103

ожидать, уравнение (1.251) критических состояний симметричной системы. Полагая в формуле (1.327) попеременно F = 0 и со = О, получаем координаты точек пересечения кривой / критических со­ стояний с осями координат (рис. 71):

< и Fi =

Использование выражений (1.329) и (1.330) затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому построим приближенную форму­ лу, приняв линейное приближение для частоты свободных колеба­ ний 02 = а;. Тогда 0' = 0 и выражение (1.329) принимает вид f У о ; (а; — со2) = 0.

Поскольку а ; ^ 0 и а ; — со2 Ф 0, то /' = 0, откуда / = с = = const, т. е. линейное приближение для частоты 0 (так же, как и для симметричных систем) влечет за собой осреднение амплитудной функции. Теперь уравнение (1.330) принимает вид

104

Используя граничные условия со = О, F = Fц, получаем

Здесь использована формула (1.331). Теперь уравнение критических состояний (1.332) принимает вид

На рис. 71 кривые критических состояний построены по форму­ лам (1.327) и (1.133) для системы с параметрами а = 1 се/с- 2 ; у =

= 0,15 см~х • сект"1; В = —0,2 см~2 • сект2; 6„ = —0,25 см • сект2; F0 = 0,25 см • сект2.

Кружками (кривая /) и точками (кривая //) представлены ре­ зультаты решения 1 на ABM МН-7. Как видим, совпадение аналити­ ческих и машинных решений можно признать удовлетворительным, если учесть, что машинные решения для кривой / занижены на 10—

Далее рассмотрим устойчивость колебаний с учетом вязкого трения.

Пользуясь формулой (1.110), записываем уравнение амплитудно-

+ 25), аналогично (1.248) получаем следующее уравнение для амп­ литудно-частотных характеристик колебаний, близких к неустой­ чивости:

Подставляя сюда приближенное выражение (1.326), приходим к уравнению критических состояний (кривая /)

В. С. Горбатовым.

105

В формулу (1.336) подставляется то значение (1.328) критической амплитуды /4к р , которое дает минимальное абсолютное значение F.

Исследуя выражение (1.336) на экстремум, определяем координа­ ты минимума кривой / критических состояний:

Заметим, что приближенное равенство (1.326) справедливо в случае отсутствия трения. Поэтому формулой (1.336) можно поль­ зоваться для малых сопротивлений; при больших сопротивлениях естественнее воспользоваться приближенным равенством

/г2 + 6 2 ( 1 + 2 В ) 2 ^ - ^ - .

Для приближенного определения геометрического места точек срыва колебаний в соответствии с изложенным выше примем в

F =

(1.340)

1 Ограничение со < J^a* вытекает из сопоставления аналитических и машин­ ных решений.

106

Этим уравнением следует пользоваться для умеренных значе­

На рис. 72 приведены построенные по формулам (1.336) — (1.341) графики критических состояний для системы с теми же параметрами,

что и на рис. 71. Здесь же условными обозначениями представлены результаты решения на ABM МН-7. Как видно, совпадение резуль­ татов можно признать удовлетворительным. Порядок пользова­ ния графиками такой же, как и для симметричных систем (см. § 6 динной главы).

чивости, имеем

107

Г Л А В А I I

БИГАРМОНИЧЕСКОЕ

ВОЗБУЖДЕНИЕ

только в случае кратности частот, т. е. со2 = р.©!, ц = 0, 1,2,3, ...

Так как только при периодическом возбуждении возможно появле­ ние стационарных колебаний, то в дальнейшем будем рассматривать случай кратности частот, т. е.

109