книги из ГПНТБ / Бондарь, Н. Г. Нелинейные стационарные колебания

Это уравнение, подобно (1.283), легко привести к виду (1.287) и ре­

из уравнения (1.284), а из уравнения (1.281). Тогда уравнение (1.295)

1 В работе 11] приведено решение уравнений (1.284) при начальных условиях у, (0) = 0 и у\ (0) Ф 0.

90

Отсюда видно, что один корень равен х = А, а три других определя­ ются из кубического уравнения

28* + к + 4 - Р Ч Л 2 + x2)YA + *> = °'

которое решается по формуле Кардана или в тригонометрическом виде.

Пример. Определим частоту свободных колебаний, описываемых уравнением

Характеристика уравнений (1.298), (1.299) и (1.300) представлена на рис. 67.

Результаты подсчетов частоты свободных колебаний приведены в табл. 1. Точное значение частоты 0Т рассчитано по формуле (1.296). Зона, в пределах которой справедлива эта формула, на рис. 67 обозначена т. Приближенные значения частот, найденные по фор­ мулам (1.60) и (1.293), обозначены соответственно через 0Х и 02 .

91

(1.60) и, наконец, для больших амплитуд следует пользоваться точ­ ными формулами (1.296) и (1.297).

Относительно определения частот свободных колебаний при дру­ гих типах характеристик можно сказать следующее.

При жесткой характеристике будет иметь место только один вещественный корень уравнения (1.287) и, следовательно, одно зна-

Т А Б Л И Ц А 1

Относительная ошибка

по точным и приближенным формулам такие же, как для мягкой характеристики.

При полужесткой характеристике определение частот аналогич­ но определению их при мягкой характеристике.

В системах е перескоком (полумягкая характеристика) будут иметь место два ненулевых вещественных корня уравнения (1.287), для которых а* > 0. Они определяют собой два устойчивых положе­ ния равновесия. Для определения малых колебаний относительно этих положений можно пользоваться как точными, так и прибли­ женными формулами. При определении больших колебаний следует пользоваться точными формулами для корня уравнения (1.287), при котором а* <с 0. В этом случае можно также пользоваться фор­ мулами (1.63). Однако, поскольку вычисления приходится произво­ дить путем последовательных приближений, то предпочтительнее пользоваться точными формулами.

Ангармонические колебания \ Как показано выше, несимметрич­ ное возбуждение эквивалентно симметричному возбуждению не-

1 Ангармоническими колебаниями иногда называют [1] несимметричные ко­ лебания.

92

симметричной системы. Это позволяет воспользоваться полученны­ ми выше результатами.

Так, в случае отсутствия трения, используя формулу (1.58), получаем выражение для амплитудно-частотных характеристик

Совершенно аналогично в случае наличия вязкого трения, ис­ пользуя формулу (1.110), имеем

/ ( = М mto) 8 W — со2 + 92 )а + 4па со2

Для определения наибольших по модулю амплитуд колебаний можно воспользоваться формулой (1.111):

В частности, для стационарных колебаний, описываемых уравнением х -f- 2пх + ах + fix3 = F0 + F cos coif, используя формулы (1.32) и (1.291), получаем следующее выражение для амплитудно-частот­ ных характеристик:

В приведенных выше формулах верхний знак соответствует макси­ мальной амплитуде Л т а х , нижний — минимальной амплитуде Л т ш, а частота свободных колебаний 8 вычисляется в соответствии с ука­ заниями предыдущего раздела.

На рис. 68 изображены амплитудно-частотные характеристики, построенные по формулам (1.302) для системы с параметрами а = = 1 сек-2; 6 = 0,6 см-2 • сект2, п = 0,1 сект1.

Здесь же точками представлены результаты решения 1 на ЭЦВМ «Урал-3». Как видим, совпадение аналитических и машинных ре­ зультатов можно признать удовлетворительным.

Более подробно2 рассмотрим стационарные колебания при тур­

1Результаты получены Н. Г. Новиковой и В. В. Потаповой.

аЭтот вопрос необходимо рассмотреть более подробно, так как в § 3 данной главы не рассматривались несимметричные системы.

93

Частное решение этого уравнения, полученное аналогично.изло­ женному выше (см. § 2 и 3) и определяющее собой стационарные колебания, имеет вид

г(е) = 4 - + a c o s ( - f e - p )

где а и р определяются по формулам (1.136). Возвращаясь к. старым переменным в соответствии с заменами (1.3) и (1.15) и учитывая

Рис. 68. Амплитудно-частотные характеристики несимметричных колебаний при вязком трении для различных F, см • сек~2:

а — в о з б у ж д е н и е F + F cos at; б — в о з б у ж д е н и е F + Fcos 2a>t.

приближенное равенство (1.134), для стационарных колебаний полу­ чаем выражение

-д2- + acos(co* — р) ехр {пх • sgn*).

94

Здесь амплитудная функция определяется по формуле (1.130). Используя приближенное равенство (1.143), упростим уравнение амплитудной кривой к виду

Рассмотрим два примера.

Исследуем простейший случай линейной характерцстики, т. е. когда в уравнении (1.303) R (х) = ах. Используя равенства (1.32),

95

(штриховые линии) на ЭЦВМ «Промшь» для системы с параметрами а = 1 сект-2; п = 0,5 см~х. Здесь же точками представлены резуль­ таты решения 1 уравнения на ЭЦВМ «Урал-3». Из рисунка видно, что, как и следовало ожидать, более точная формула (1.306) лучше соответствует машинным решениям. Однако менее точная и более

Рис. 70. Амплитудно-частотные характеристики несимметричных колебаний нели­ нейной системы при турбулентном сопротивлении для различных F, см • сек"2:

а — в о з б у ж д е н и е F + F cos at; 6 — в о з б у ж д е н и е F + F cos 2at.

простая формула (1.307) удовлетворительно соответствует машинным решениям. Это дает основание рекомендовать ее для более сложных характеристик.

Рассмотрим случай кубической характеристики R (х) = ах + + Р*3 . Используя равенства (1.32), (1.136) и (1.149), по формуле (1.305) получаем следующее приближенное выражение для ампли­ тудно-частотных характеристик:

На рис. 70 изображены амплитудно-частотные характеристики,

1 Результаты получены Н. Г. Новиковой и Л. И. Кожуховой.

96

Из последнего равенства можно найти коэффициент п, если вос­ пользоваться какой-либо из формул для частоты Э. В частности, для а* + пг > 0, как видно из формул (1.313), можно воспользоваться известной [7, ГО, 13, 35, 36, 57, 69] формулой Дуффинга

W2 а* + — P ( W + .4)2

Сопоставляя равенства (1.314) и (1.309) при условиях (1.315), приходим к выражению (1.219), откуда следуют приближенные равенства (1.201) и (1.203). Следовательно, остаются справедливыми формулы (1.210), (1.211) и (1.212). Последние две формулы могут иметь модификации в зависимости от типа характеристики и, сле­ довательно, модуля полного эллиптического интеграла первого рода, который может оказаться мнимым или большим единицы. В част­ ности, для систем с небольшой несимметрией будут справедли­

98

(1.223) и (1.226) — для полумягких характеристик (см. рис. 9, г). Входящие в указанные формулы значения частоты свободных коле­ баний и модуля полного эллиптического интеграла следует опреде­ лять по приведенным выше точным формулам в зависимости от ха­ рактера корней уравнения (1.295).

Перейдем к изучению стационарных колебаний с частотой, от­ личной от частоты возбуждения со. Как было показано, несимметрич­ ное возбуждение эквивалентно симметричному возбуждению несим­ метричной системы, что дает право воспользоваться полученными вы­ ше результатами.

Сначала рассмотрим случай, когда отсутствует трение. Путем замен (1.3) аналогично (1.12) приведем уравнение (1.54) к виду

Используя приближенное равенство (1.15), запишем это уравнение в виде

г" (е) + г (е) = 4 " \б* + F cos - j j - s — 256,, cos 2e —

Частное решение этого уравнения, полученное аналогично приведен­ ному выше (см. § 5), имеет вид

Переходя здесь к старым переменным в соответствии с форму­ лами (1.3), (1.15) и (1.32), находим решение для стационарных