книги из ГПНТБ / Штагер, Е. А. Рассеяние волн на телах сложной формы

указанные операции над сигналом и из формулы (2.2), получаем

/1=1/7=1

Если совмещенная приемо-передающая антенна распо­ ложена в дальней зоне относительно рассеивающего тела, то, воспользовавшись определением эффективной площади рассеяния тела, формулу (2.3) можно перепи­ сать в виде

где а •— ЭПР тела сложной формы, оп — ЭПР п-го уча­ стка локального отражения. Предполагается, что ЭПР л-го участка локального отражения определяется в при­ ближении физической оптики. Это ограничение в форму­ ле (2.4) снимается для скалярных полей.

Если сектор углов наблюдения невелик, а значения этих углов отсчитываются от направления, разделяю­ щего сектор пополам, то с точностью до членов второго порядка малости

ными отражателями и направленный от п-го отражателя к р -щ отражателю,

n=l /1=1 p=1

где штрих при знаке двойной суммы означает отсутствие в ней членов с индексами п = р. Формула (2.6) является исходной для вычисления вероятностных характеристик ЭПР тела сложной формы.

59

При движении наблюдателя пли объекта (тела слож­ ной конфигурации) происходит изменение ориентации объекта относительно наблюдателя. Чаще всего эти из­ менения носят случайный характер, в результате чего следует полагать, что угол наблюдения у (см. формулу (2.6)) изменяется случайным образом во времени. Ха­ рактер этих изменений может быть описан путем зада­ ния вероятностных характеристик значений угла у. Та­ ким образом рассматриваемая задача рассеяния волн на теле сложной формы состоит в определении вероят­ ностных характеристик ЭПР этого тела по известным вероятностным характеристикам угла наблюдения. В математическом аспекте эта задача сводится к вычис­ лению вероятностных характеристик суммы взаимозави­ симых неслучайных функций случайного аргумента (угла наблюдения). При этом распределение вероятно­ сти значений суммы может быть весьма произвольным, что и обусловливает определенные математические труд­ ности анализа. Именно по этой причине вероятностные характеристики ЭПР тел сложной формы (см. гл. 2 и 3) получены лишь в рамках корреляционной теории.

Для того чтобы продвинуться дальше, необходимо сделать ряд дополнительных упрощений. Так, если пред­ положить, что а) фазы сигналов, отраженных от участ­ ков локального отражения, являются взаимно незави­ симыми случайными величинами, равномерно распреде­ ленными в интервале ОЧ2л; б) амплитуды этих волн одинаковы; в) число участков локального отражения ве­ лико, то мгновенные значения амплитуды отраженного поля оказываются распределенными по нормальному закону. Статистический анализ таких полей весьма пол­ но разработан, и с его помощью производятся вычисле­ ния достаточно широкого круга вероятностных характе­

шума»). Перечисленные выше упрощения были впервые сформулированы Делано, и его именем называется мо­ дель, описывающая процесс рассеяния волн на телах сложной формы. В гл. 4—6 излагаются вопросы теории рассеяния волн на телах сложной формы, рассматри­ ваемые на основе модели Делано.

60

Если W (х) симметрична относительно х = 0, то ха­ рактеристическая функция является вещественной и чет­ кой функцией своего аргумента.

4. В соответствии с теоремой Крамера [24] Ѳ(т)) стремится к нулю при неограниченном возрастании ар­ гумента г], если распределение вероятности рассматри­ ваемой случайной величины является абсолютно инте­ грируемой функцией. Последнее условие, в свою оче­ редь, служит необходимым и достаточным условием ин­ тегрируемости Ѳ(г|) на всей прямой [8], что возможно лишь при Ѳ(г|)-н>-0, когда величина ті возрастает.

В соответствии с четвертым свойством характеристи­

можно ожидать, что двойная сумма в (2.8) окажется значительно меньше первой и средняя ЭПР тела слож­ ной формы приближенно будет определяться суммой средних ЭПР участков локального отражения. Другими словами, при выполнении условия (2.9) средние ЭПР участков локального отражения становятся аддитивны­ ми величинами.

2.4. Условие аддитивности средних эффективных площадей рассеяния участков локального отражения

Как было показано в предыдущем разделе, при вы­ полнении условия (2.9) средние ЭПР участков локаль­ ного отражения оказываются аддитивными, несмотря на то, что фазы полей, отраженных от этих участков, яв­ ляются линейно зависимыми величинами. Непротиворе­ чивость этого результата становится очевидной после выяснения смыслового содержания условия (2.9).

Перепишем выражение (2.1) в виде суммы волн, рассеянных участками локального отражения, сохранив в явном виде зависимость от времени,

62

где Ei — поле, отраженное от і-то участка локального от­ ражения; г, — задержка, связанная со временем рас­ пространения волны от рассматриваемого участка ло­ кального отражения до точки наблюдения.

Интенсивность отраженного поля I (t, т) определим путем усреднения во времени суммы (2.10), обозначая эту операцию угловыми скобками. Тогда

Выделяя из двойной суммы члены с одинаковыми индек­ сами і = / и принимая во внимание стационарный ха­ рактер рассматриваемого процесса, получаем

N N N

Выражение (2.12), определяющее интенсивность поля, отраженного от тела сложной формы, и выражение (2.6), определяющее среднюю ЭПР этого тела, совпа­ дают друг с другом с точностью до постоянного множи­ теля, поскольку интенсивность отраженного поля про­ порциональна ЭПР. Аддитивность средних ЭПР участ­ ков локального отражения, как следует из (2.6), будет иметь место, когда двойная сумма будет мала по срав­ нению с одинарной. В свою очередь члены двойной суммы, как следует из (2.12), являются функциями вза­ имной корреляции полей, отраженных от участков ло­ кального отражения. Таким образом оказывается, чтонеравенство (2.9), являющееся условием аддитивности средних ЭПР участков локального отражения, одновре­ менно является и условием малости взаимной корреля­ ции полей, отраженных от этих участков.

В справедливости указанного смыслового содержа­ ния условия (2.9) нетрудно убедиться и путем непосред­ ственного вычисления функции взаимной корреляции по­ лей, отраженных от двух участков тела. Будем пола­ гать, что распределение вероятности углов наблюдения

63-

у является равномерным в секторе ±уоТогда искомая функция взаимной корреляции

“ То

где сц и R 1— соответственно амплитуда поля, отражен­ ного от первого отражателя, н расстояние до него от точки наблюдения.

Проведя интегрирование в (2.13) с учетом (2.5) и усреднив полученный результат по высокой частоте со, получим

Обозначения в формуле (2.14) совпадают с принятыми в формуле (2.9), a D = To/J/З .

Из выражения (2.14) следует, что при соблюдении неравенства (2.9) корреляция между отраженными по­ лями может достигать сколь угодно малой величины, что еще раз подтверждает указанное выше смысловое содержание условия аддитивности (2.9).

Проверка на практике выполнения неравенства (2.9) возможна, если взаимное расположение участков ло­ кального отражения известно. В тех случаях, когда ин­ формация о расположении участков локального отраже­ ния отсутствует, полагают, что они располагаются слу­ чайно' по поверхности тела сложной формы. При этом условии (2.9) может выполняться с некоторой долей вероятности.

Определим вероятность выполнения неравенства (2.9) для любой пары отражателей, местоположение ко­ торых на поверхности тела является случайным. Для каждого отражателя выберем точку на его поверхности, от которой будем отсчитывать фазу отраженного поля. Положение этой точки может быть выбрано произволь­ но, поскольку отражатели случайным образом располо­ жены по контуру тела. Обозначим проекции этих точек

на прямую, направление которой совпадает с ортом g, через т]і, как показано на рис. 22. Тогда расстояния меж­

ду проекциями указанных точек вдоль прямой g ока-

64

жутся равными х,72k, а неравенство (2.9) может быть переписано в виде

где h — некоторая положительная величина, щ — слу­ чайные величины, распределенные на интервале 0 ч- L,

L — проекция длины тела на g.

Для простоты изложения сначала ограничимся рас­ смотрением двух точек (N = 2). Очевидно, что в этом случае каждая точка равновероятно может находиться

_££г

гн

в любом месте квадрата со стороной L (рис. 23). Про­ ведем в квадрате диагональ и выделим полосу шириной

равной отношению площади квадрата, за исключением площади выделенной полосы, к величине L2.

Если имеем три случайно расположенных точки на отрезке L, то производя указанные выше построения в кубе, получаем

' - О - т У -

Для N точек искомая вероятность, как показано в [78J, равна

Формула (2.17) дает точное выражение вероятности то­ го, что любое расстояние между соседними точками на

прямой g превосходит /г. График функции P(h) пред­

Используем выражение (2.18) для записи условия (2.9) с вероятностью его выполнения не менее 90%-Для этого сначала перепишем (2.9) в виде простого неравен­ ства, полагая достаточным десятикратное превышение единицы его левой частью

кой степенью вероятности некоррелированность полей, отраженных от разных участков поверхности тела слож­ ной формы и, как следствие этого,— свойство аддитив­ ности ЭПР указанных участков.

Как следует из неравенства (2.20), при увеличении числа участков локального отражения не удается сохра­ нить некоррелированность отраженных от них полей с требуемой степенью обеспеченности. В предельном слу­ чае, когда N оо, поля, рассеянные участками локаль­ ного отражения ограниченного тела сложной формы, согласно (2.17), становятся полностью коррелированны­ ми. Следовательно, для тела конечных размеров нельзя

66

одновременно удовлетворить условию независимости указанных полей и требованию бесконечно большего ко­ личества участков локального отражения, как это посту­ лируется в модели Делано. В действительности, поля,

отраженные от участков поверхности тела, могут быть некоррелированными лишь при вполне определенных соотношениях между размерами тела сложной формы, выраженныліи в длинах волны падающего поля, числом участков локального отражения и величиной сектора уг­ лов наблюдения в соответствии с неравенством (2.20).

2.5. О погрешности вычисления средней эффективной площади рассеяния тела сложной формы

Погрешность вычисления средней ЭПР тела сложной формы возникает из-за пренебрежений взаимным влия­ нием полей, отраженных от отдельных участков поверх­ ности тела, и фазовыми соотношениями между этими по­ лями. Учет первого фактора может быть выполнен лишь конкретно для каждого тела сложной формы. Если раз­ меры тела велики по сравнению с длиной волны, а зер­ кальные переотражения волн отсутствуют, то эффекты взаимовлияния, как правило, оказываются малыми по сравнению с полями, отраженными от отдельных участ­ ков локального отражения.

Погрешность, возникающая из-за пренебрежения фа­ зовыми соотношениями между отдельными отраженны­ ми полями, может быть весьма значительной; ее оценка возможна в общем виде, т. е. без конкретизации формы тела [52, 54]. Целесообразно оценить эту погрешность как по максимальному ее значению, так и в среднем.

Оценка максимальной погрешности

Оценка максимальной погрешности сводится к опре­ делению максимального значения двойной суммы в вы­ ражении (2.8). Для максимизации этой суммы прежде всего следует положить в каждом ее члене фП;>= 0, что соответствует случаю расположения отражателей на плоскости, параллельной фронту падающего поля.

Дальнейшие операции по максимизации двойной сум­ мы сводятся к выбору функции плотности распределения вероятности углов наблюдения у, обеспечивающей наи­ более медленное спадание характеристической функции при увеличении ее аргумента. Без претензий на матема­ тическую строгость выбор такой функции может быть осуществлен с помощью некоторых положений теории сигналов.

Действительно, характеристическая функция Ѳ(ц) выражается через плотность распределения вероятности случайной величины точно так же, как огибающая ви­ деосигнала /(/) через его спектр:

со

ѳ (tj) = j" W (JC) exp (іцх) d x,

—CO CO

f = J О (tu) exp (—шх) dt«.

- - со

Из теории сигналов известно, что спектр сигнала f(t) расширяется по мере приближения его формы к прямо­ угольной. По аналогии с этим следует ожидать, что рав­ номерное распределение вероятности углов наблюдения будет обладать наиболее медленно убывающей харак­ теристической функцией по сравнению с характеристиче­ скими функциями других распределений. В этом легко убедиться, сравнивая выражение характеристической функции равномерного распределения с выражениями характеристических функций других распределений.

сти углов у и перпендикулярный направлению падаю­ щего поля в момент, когда у = 0. Величина Іпр явля­ ется расстоянием между центрами участков локального отражения. За центр, как уже указывалось, принята точ­

68