книги из ГПНТБ / Штагер, Е. А. Рассеяние волн на телах сложной формы

Далее, полагаем е = 1. Тогда 7' = / 1, и искомое выра­ жение для средней ЭПР цилиндра примет вид

Если среднеквадратичное отклонение углов наблюдения уменьшается, то формула (1.31) переходит в выражение Оцмакх= kL2R. В этом легко убедиться, заменив экспо­ ненту и интеграл вероятности Ф(х) первыми двумя чле­ нами их разложений при D—>-0.

В другом предельном случае, когда kLD 1, выра­ жение, заключенное в квадратные скобки, близко к еди­ нице. Поэтому

( L 3 2 )

Гармонический закон изменения угла наблюдения

Подставляя выражение для плотности распределения углов ■б', изменяющихся по гармоническому закону, в формулу (1.16), получаем исходное выражение для вычисления средней ЭПР цилиндра

Если ^^> 1, то основной вклад в интеграл (1.35) дает интегрирование на участке вблизи х = 0. Физически это

означает, что зеркальное отражение от цилиндра вносит основной вклад в величину его средней ЭПР. Поэтому

\Г Г = X2 можно заменить его приближенным выражением, сохранив лишь члены второго порядка малости относи­

О зависимости средней ЭПР цилиндра, от длины волны

Полученные выше результаты дают возможность про­ анализировать зависимость средней ЭПР цилиндра от длины волны падающего поля как при нормальном, так и равномерном распреде­ лении вероятности углов наблюдения. Для числен­ ного анализа выберем случай нормального рас­ пределения углов наблю­ дения. Все качественные результаты будут спра­ ведливы и для равномер­ ного распределения.

Прежде всего отметим,

20

иым следующее: как только ширина основного лепестка оказывается сравнимой или меньше среднеквадратич­

ного отклонения угла наблюдения, зависимость а от X практически исчезает.

О зависимости средней ЭПР цилиндра от его размеров

Выше были получены формулы для средней ЭПР цилиндра применительно к трем распределениям углов наблюдения. Выбор этих распределений был продикто­ ван желанием вычислить сред­ нюю ЭПР для двух сильно различающихся распределений (нормальное и гармоническое)

и для распределения, зани­ мающего промежуточное поло­

чения средней ЭПР цилиндра, определяемые по формулам

(1.24), (1.32) и (1.37), разли­ чаются весьма незначительно, несмотря на существенно раз­ личный характер изменения

Характерная особенность записанных выше формул со­ стоит в том, что средняя ЭПР цилиндра оказывается пропорциональной силуэтной площади рассматриваемого

тела.

21

О зависимости средней ЭПР цилиндра от характера изменения углов наблюдения

Перепишем формулы (1.38), заменив в них Фо и ■Омане на среднеквадратичные отклонения, соответствую­ щие этим распределениям:

Индексы при величине D указывают на закон изменения угла наблюдения.

Как следует из формул (1.39), величина средней ЭПР цилиндра зависит лишь от среднеквадратичного откло­ нения угла наблюдения, хотя указанные выражения бы­ ли получены при разных законах изменения этого угла. Это обстоятельство позволяет предположить, что при иных, симметричных относительно д = 0 законах распре­ деления углов наблюдения величина средней ЭПР ци­ линдра будет пропорциональна его силуэтной площади и величине 1 ID, если k L D ^ 1.

О погрешности формул для средней ЭПР цилиндра

Выше были рассмотрены две группы формул для средней ЭПР цилиндра. В первую из' них входят фор­ мулы (1.23) и (1.31), полученные путем непосредствен­ ного интегрирования исходных выражений (1.21) и (1.25), во вторую — формулы (1.38), справедливые при

£ L D > 1 .

Основным источником погрешности формул первой группы является неточность исходного выражения ЭПР цилиндра, определенного в приближении физической оптики, которое правильно описывает явление рассеяния лишь в направлениях, близких к зеркальному. В силу этого при интегрировании ЭПР цилиндра в широком сек­ торе углов возникает определенная ошибка. Величина этой ошибки оценивалась в § 1.2 для полосы. Подобные оценки могут быть выполнены и для цилиндра, посколь­ ку уточнение приближения физической оптики примени­ тельно к рассеянию на цилиндре проводятся совершенно аналогичным образом. Так же, как и для полосы, уточ-

22

пение выражения ЭПР цилиндра можно осуществлять путем учета краевых волн от двух круговых ребер. Это уточнение будет ощутимым лишь в направлениях, дале­ ких от зеркального. Как мы уже указывали, в этих на­ правлениях уровень плотности потока отраженной энер­ гии мал, поэтому поправки за счет учета краевых волн будут небольшими. Если проделать указанные вычисле­ ния, то окажется, что погрешность выражений (1.23) и (1.31) имеет порядок величины ф0jkL, что вполне допу­ стимо в прикладных задачах.

Справедливость формулы (1.23) может быть прове­ рена путем сравнения ее с результатами численного ин­ тегрирования (на ЦВМ) выражения (1.21), выполненно­ го в работе [79]. В этой работе определена средняя ЭПР цилиндра при равномерном усреднении в секторе углов наблюдения — я/2^ Ф о ^ л /2 . При этом оказалось, что для четырех случаев, соответствующих L/X=4, 8, 16 и 32, приближенно стц=0,94ЕД Для этих же случаев зна­ чения средней ЭПР, вычисленные по формуле (1.23), оказываются равными соответственно 0,97LR\ 0,98LR;

0,99LR; LR.

Формулы второй группы (1.38) получены из выра­ жений (1.23) и (1.31) в предположении, что kLD '^> 1. Погрешности первых двух из указанных формул, обус­ ловленные заменой интегрального синуса и функции ошибок их приближенными выражениями при большом значении аргумента этих функций

Ф (ЛГ) = 1 - » K J .*?.),

оказываются порядка величин 1 lkLbQ и \lkLD соответ­ ственно. Третье выражение из формулы (1.38) имеет погрешность относительно исходной формулы порядка

1 / ^Ш Ц аке.

. ' Выпуклый цилиндр

Полученные выше формулы для средней ЭПР кру­ гового цилиндра достаточно просто обобщаются на случай, когда контур поперечного сечения цилиндра представляет собой выпуклую гладкую кривую без из­ ломов, радиус кривизны которой значительно превосхо­

23

дит длину волны поля. В приближении физической оп­ тики ЭПР выпуклого цилиндра будет совпадать с ЭПР кругового цилиндра, если радиус цилиндра определять как радиус кривизны контура поперечного сечения. У кругового цилиндра радиус кривизны постоянен, у вы­ пуклого изменяется в функции азимутального угла. Ес­ ли усреднение производить по углам в плоскости, со­ держащей образующую цилиндра при неизменном ази­ мутальном угле, то средняя ЭПР будет одинаковой как для кругового цилиндра, так и для выпуклого, если радиусы кривизны контура поперечного сечения в срав­ ниваемых случаях совпадают. Другими словами, сред­ няя ЭПР выпуклого цилиндра может вычисляться по

Рис. 5. К определению ЭПР выпуклого цилиндра с поперечным сечением в виде овала Кассини.

94

1.4. Средняя эффективная площадь рассеяния прямоугольной пластины при различных законах изменения угла наблюдения

Для определения средней ЭПР прямоугольной пла­ стины подставим в интеграл (1.15) значение ее ЭПР, найденное в приближении физической оптики [21]. Тогда

k V b -

где № (й,у)— плотность распределения вероятности уг лов наблюдения, k — волновое чис­

ло, остальные обозначения ясны из рис. 6.

Определим среднюю ЭПР пря­ моугольной пластины при различ­ ных распределениях вероятности углов наблюдения.

Равномерный закон распределения вероятности углов наблюдения

Если функция W (■&, у) — 1/2уо, то пределы интегрирования равны

±уоПодставляя указанное значе­ ние функции W (О, у) в выражение (1.42), получаем интеграл, совпа­ дающий с точностью до постоянно­

го множителя с интегралом, определяемым выражением (1.22). Воспользовавшись результатом вычисления этого

Легко убедиться, что величины средней ЭПР пластины, определяемые по формулам (1.43) и (1.44), оказываются

25

рал (1.42) удается вычислить лишь в предположении малости углов &и у. В этом случае -sinH^H, costb^l,

ются независимыми случайными величинами. Тогда функция распределения плотности вероятности углов наблюдения принимает вид

где D\ и D* — дисперсия углов & и у соответственно.

Подставляя выражение (1.48) в формулу (1.42), приходим к интегралу, вычисление, которого возможно лишь в предположении малости углов наблюдения ■&и у. В этом случае синусы углов можно заменить их аргу­ ментами, а косинусы положить равными единице. Пос­ ле этих упрощений имеем два одинаковых интеграла

26

типа (1.26). Воспользовавшись результатом вычисления этого интеграла, получаем:

Гармонические колебания углов наблюдения

Если гармонические колебания углов наблюдения происходят независимо друг от друга, то, согласно [25], функция плотности вероятности

где &макс и Тмакс — амплитуды колебаний углов наблюде­ ния в вертикальной и горизонтальной плоскостях соот­ ветственно;

Фмакс ^ ^ м а к о Т макс Т '^ С Т м а к с ’

Подставляя выражение (1.51) в формулу (1.42), ви­ дим, что двукратный интеграл распадается на два однократных интеграла, если углы ■öMaKc и у Макс на­ столько малы, что можно заменить синусы этих углов аргументами, а косинусы — единицами. Полученные ин­ тегралы ранее вычислялись в § 1.2. Используя резуль­

27

О погрешностях результатов

Одним из источников погрешности полученных фор­ мул для средней ЭПР прямоугольной пластины являет­ ся замена в подынтегральном выражении (1.42) синусов углов наблюдения самими углами, а косинусов этих углов единицами. Этим самым мы заведомо исказили зависимость а(іЭ', у) в области углов, далеких от зер­ кального направления. В этой области исходное выра­ жение ЭПР пластины, полученное в приближении фи­ зической оптики, неверно. Однако значения ЭПР пла­ стины в этой области углов также малы, и поэтому погрешность формул для средней ЭПР пластины за счет указанных приближений будет невелика. Во вся­ ком случае эти погрешности должны быть меньше, чем погрешности из-за пренебрежения краевыми эффекта­ ми. Как было показано в § 1.2, пренебрежение краевы­ ми волнами приводит к погрешности для средней ЭПР полосы шириной «а» порядка Ф0//гя. С учетом этого можно утверждать, что погрешность формулы (1.45), связанная как с указанной заменой синусов и косину­ сов, так и с пренебрежением краевыми эффектами, со­ ставляет величину порядка у0/ka или $0/kb.

При двумерном усреднении этот порядок погрешно­ стей сохранится, поэтому погрешность формул (1.46) и (1.49) будет иметь порядок величины 1//г/г, где /г — меньшая из сторон пластины.

Точность формул (1.47), (1.50) и (1.53) будет еще ниже, поскольку при их получении были отброшены члены порядка 1 /ka^0, 1/£Z>90. Оценка погрешности этих приближений может быть выполнена точно так же, как и в предыдущем параграфе. В итоге получим, что погрешность формулы (1.47) составляет порядок 1//гау0

28