книги из ГПНТБ / Штагер, Е. А. Рассеяние волн на телах сложной формы

формы

Рассмотрим декорреляцию ЭПР и измеряемых угло­ вых координат, обусловленную случайными вращениями тела сложной формы. Для решения этой задачи рассмот­ рим сначала неслучайные повороты тела сложной фор­ мы, а затем проведем усреднение по углам поворотов.

Пусть ось Z проходит через центр вращения источ­ ника, y(t) — угол поворота тела сложной формы в плос­ кости XZ; ß (t) — угол поворота в плоскости YZ\ I — вре­ мя, причем измерения производятся в моменты времени

упростить, используя результаты предыдущих парагра­

Согласно (6.34), при вычислениях q+, q~ можно orpaничиться следующим приближением для k(R2 — RJ:

199

Все общие свойства корреляционных функций плот­ ностей потоков энергии, которые рассматривались в пре­ дыдущем параграфе на основе анализа формулы (6.34), имеют место и в данной задаче. В частности, справедлив вывод об эквивалентности плоских и объемных распре­ делений участков локальных отражений. В дальней зоне по аналогии с (6.39) можем считать

и второй моменты времени лежат в интервалах [у,, у, + ^Ti],

и начальным координатам. Вычисления средних значений

ленное для случайных распределений участков локаль­ ного отражения в первый момент времени. Так как угловые флуктуации предполагаются малыми, то распре­ деления участков локального отражения для различных моментов времени изменяются незначительно, и функцию

/ можно считать независящей от времени. Из (6.4) по­ лучается аналогичное выражение для (7|,т;2)

Выполним теперь усреднение по случайным парамет­ рам у,, у2, &2. Если это усреднение обозначить скоб­ ками ( ) |7jв, то полное статистическое усреднение

можно представить в виде последовательного действия двух усредняющих операторов:

200

формы все нормировочные константы, которые были использованы при определении коэффициентов корреля­ ции К,, К ѵ от 7, 9 не зависят, и поэтому формула

(6.44) справедлива и для коэффициентов корреляции, т е.

довательно, оператор усреднения по параметрам 7, 9 можно упростить:

+СО

([■ ■-]>І7. о — (7!, 9j, 72 , 92) [. . .]йг71йГ91с(72аГ92 =

— со

-f- со

где W(~[v 9j,...) — вероятностная плотность распределе­ ния соответствующих параметров.

Из (6.45) (6.47) следует, что изменения поля во времени нельзя рассматривать как нормальный случайный процесс. Действительно, нормальный случайный процесс с нулевыми средними полностью описывается матрицей

вторых моментов, т. е. корреляционные функции I ХІ 2, TjjTrjjj и соответствующие коэффициенты корреляции цели­ ком определяются моментами (<?)!") [•,, о> (<7н~)|т>9. Выра­ жая, как обычно, четвертые моменты через вторые» вместо (6.45), имеем

Коэффициенты корреляции К,, К л в предположении

нормальных флуктуаций поля во времени получаются из формул (6.7), (6.28) заменами

201

так как в этом случае векторы А х, А 2 по-прежнему рас­ пределены по нормальному закону, но увеличилось число

с весовым множителем W (уд, &д). Согласно (6.49), сна­ чала функции д+ и q~ интегрируются в бесконечных

Итак, полученные в параграфе формулы позволяют рассчитывать корреляционные функции для временных флуктуаций плотностей потоков энергии как в случае хаотических, несвязных участков локального отражения (отражения от тропосферных неоднородностей, брызг), так и в случае жестко связанных участков локального отражения (модель Делано). Согласно проведенному анализу, для различных типов движений участков локального отражения корреляционные функции суще­ ственно различны.

6.6.Примеры расчетов

Пример 1. Поперечная корреляция

Рассмотрим, как влияет пространственное распреде­ ление участков локального отражения на флуктуации интенсивности или ЭПР и измеряемой угловой коорди­ наты тела сложной формы, возникающие при попереч­ ном перемещении наблюдателя. Чтобы упростить вычис­ ления, предельно упростим геометрию задачи. Будем считать, что участки локального отражения расположе­ ны на отрезке 2LX, параллельном оси X, и ось Z пересе­ кает отрезок 2Lx посередине. Тогда пространственное

202

распределение участков локального отражения будет описываться функцией одного параметра Щ /х), опреде­ ленной в интервале [—Lx, L.v] . В этом разделе для не­ скольких характерных пространственных распределений участков локального отражения рассчитаем коэффи­ циенты корреляции ЭПР и измеряемой угловой коорди­ наты тела сложной формы.

Прежде чем рассматривать конкретные виды прост­ ранственных распределений участков локального отра­ жения, сделаем некоторые упрощения в общих форму­ лах § 6.2, 6.3, выполнимые благодаря упрощенной гео­ метрии задачи.

Расчеты начинаются с выяснения функциональной за­ висимости разности /?2 — R 1 от разноса между точками наблюдения и от координат элементарного объема тела сложной формы (R1— расстояние между элементом те­ ла сложной формы и первой точкой наблюдения, R2— расстояние между элементом тела сложной формы и второй точкой наблюдения). В рассматриваемом приме­ ре обе точки наблюдения находятся на оси, параллель­ ной отрезку 2L.v, причем первая точка находится иа осп симметрии отрезка 2Lx. Следовательно, разнос между точками наблюдения в пространстве целиком опреде­ ляется расстоянием х между ними, а положение элемен­ тарного объема тела сложной формы определяется ко­ ординатой элемента dlx, равной Іх. Приближенный рас­ чет функции Ro — Ru согласно (6.34), дает

k (R2— /?і) •= — k x lx/R0,

где R 0— расстояние между телом сложной формы и на­ блюдателем. Расчет ведется с точностью до слагаемых, не зависящих от Iх.

Вместо размерной переменной Іх удобно использовать безразмерную переменную

Іѵ — U L X,

определенную в интервале [ — 1, 1], а безразмерную ком­ бинацию параметров 2kxL x/R 0 удобно обозначить одной буквой:

Тогда

2k (R2 - RA = -%kx.

203

Второй этап расчетов коэффициентов корреляции состоит в вычислении вспомогательных коэффициентов

<7,Д <7,7 (п = 0, 1, 2), зависящих от функции â (/?2 —

и пространственного распределения точек локального

+і

—1

Для тел с симметричным распределением точек ло­

кального отражения имеем: £0 = 0, <77 = q t — <77 = 0. Остальные вспомогательные коэффициенты можно полу­

чить из <77 в результате дифференцирования по пара­ метру у

Существенно упрощается расчет <77 и <77 и в слу­ чае, когда тело сложной формы состоит из нескольких отрезков, в каждом из которых пространственное рас­ пределение точек локального отражения равномерное. В этом случае расчет вспомогательных коэффициентов

Яп, <7,7 сводится к вычислению интегралов типа .

/п (я, ß0) = Uахcos [30у.£/у.,

о

Л '

fn (Я, ß0) = ^й sinРоУаГу.

204

Эти интегралы выражаются через элементарные функции рекуррентными соотношениями:

Рекуррентные формулы малоэффективны при ро — О, так как содержат неопределенность типа ноль на ноль. Однако при малых ро можно непосредственно из (6.52) получить быстро сходящиеся ряды, используя разложе­ ния тригонометрических функций около точки Іх = 0.

Третий, заключительный этап расчетов коэффициен­ тов корреляции ЭПР и измеряемой угловой координаты тела сложной формы состоит в подстановке вспомога­

тели ö" в формулах (6.52) для qt, <7п можно не учи­ тывать. Действительно, в (6.7) входят только q£, q^, а

в (6.28), кроме функций от д+, д~, содержатся только

дроби, в которых числители и знаменатели пропорцио­ нальны гР .

При построении графиков коэффициентов корреля­ ции ЭПР и измеряемой угловой координаты тела слож­ ной формы имеется определенный произвол в выборе аргумента коэффициентов корреляции. Наиболее про­ стой вариант-—использование безразмерного параметра ßo, естественно возникающего при расчете функции k(R2— R і). Однако этот параметр не учитывает распре­ деления точек локального отражения по объему, заня­ тому телом сложной формы. Согласно (6.51), ßo= /2A-&a;, т. е. параметр ß0 пропорционален kx и угловому размеру тела сложной формы.

Чтобы учесть неоднородную структуру тела сложной формы при выборе аргумента коэффициентов корреля­ ции, можно по аналогии с параметром ßo ввести пара­ метр ß, в котором вместо геометрического углового раз-

205

мера тела сложной формы ^ используется эффективный угловой размер тела сложной формы тЭ^ф, пропорцио­ нальный интенсивности флуктуаций измеряемой угловой координаты тела сложной формы. Определяя ФЭф фор­ мулой (6.23), для ß имеем

где А'о = Lxlо. Этот параметр и будет использоваться в дальнейшем в качестве аргумента при построении гра­ фиков коэффициентов корреляции.

ков локального отражения. Участки локального отраже­ ния распределены равномерно с одинаковой плотностью

аналитические выражения для коэффициентов корреля­ ции ЭПР и измеряемых угловых координат тела слож­ ной формы несколько громоздки, но существенно упро­ щаются для предельных размеров среднего интервала. Если £і—>-0 (однородное линейное тело сложной фор­ мы), то

(6.55)

где

Фо == sin Р0/Р0.

Если ?! —►1 (симметричное распределение точек локаль­ ного отражения в двух сравнительно малых областях), то

На рис. 48 и 49 приведены графики коэффициентов корреляции ЭПР и измеряемой угловой координаты те-

206

Рис. 48. Коэффициент корреляции ЭПР при поперечном разносе точек наблюдения для симметричных тел сложной формы:

1 — Е , = 0 ; 2 — е , = 0 , 5 ; 3 - £ , = 1 .

Рис. 49. Коэффициент корреляции измеряемой угловой коорди­ наты при поперечном разносе точек наблюдения для симметричных тел сложной формы:

1 — Е , = 0 ; 2 - е , = 0 , 5 ; 3 - £ , = 1 .

207

вые 3). Как видно из рисунков, с увеличением «просве­ та» между отражающими областями увеличивается амп­ литуда осцилляций при ß > 3. Поведение коэффициентов корреляции в области первого максимума ( ß < 3 ) прак­ тически не зависит от размеров «просвета».

2. Несимметричные, сосредоточенные в сравнительно малых областях распределения участков локального от­ ражения. Аналитически такие распределения можно опи­

Величина b определяет отношение средних ЭПР облас­ тей, в которых сосредоточены участки локального отра­ жения. Результаты расчетов коэффициентов корреляции ЭПР и измеряемых угловых координат тела сложной формы для таких распределений участков локального отражения приведены на рис. 50, 51. Кривые 1 и 2 соот­ ветствуют 0 = 0,2 и b = 1. Осцилляции кривых опреде­ ляются локализованностью отражающих элементов в пространстве.

3. Несимметричные, ступенчатые распределения уча­ стков локального отражения. Участки локального отра­ жения распределяются равномерно, с неравной плотно­ стью вероятности, в двух одинаковых по размерам об­ ластях:

Результаты расчетов коэффициентов корреляции ЭПР и измеряемой угловой координаты тела сложной формы для распределений типа (6.58) приведены на рис. 50, 51. Кривые 3 и 4 соответствуют 6 = 0,1 и 6 = 0,5. Сравне­ ние этих графиков с аналогичными кривыми для дель­ таобразного распределения участков локального отра­ жения (6.57) показывает, что корреляционные функции для ступенчатого распределения (6.58) значительно бо­ лее гладкие. Таким образом, асимметрия тел сложной формы не приводит к дополнительным осцилляциям кор-

208