книги из ГПНТБ / Штагер, Е. А. Рассеяние волн на телах сложной формы

р, cp — полярные координаты радиус-вектора, проведен­ ного из начала координат до границы области т (кх, X),

полученной проектированием моделирующего объема V на плоскость переменных Xv, X .

Иногда представляет интерес статистический анализ не всех измерений, а только части их, отобранной из всего ансамбля по определенному правилу. В данном случае важно выяснить, как изменяются флуктуации уг­ ловых координат в наборе измерений, полученном из полного ансамбля в результате отбора измерений с нор­ мированной интенсивностью, большей q. Определим вероятность правильной пеленгации в этом подансамбле.

Для решения поставленной задачи сформулируем не­ сколько иначе уже полученный результат для вероятно­ сти правильной пеленгации в полном ансамбле измере­ ний. Согласно теореме Байеса, вероятность правильной пеленгации в полном ансамбле измерений равна произ­ ведению двух вероятностей, одна из которых является вероятностью попадания случайного измерения в рас­ сматриваемый подансамбль, а вторая является вероят­ ностью правильной пеленгации в выделенном подансамб­ ле измерений. Интегрируя W (/0) по /о в пределах от q до бесконечности, находим, что вероятность попадания случайного измерения в подансамбль І0> q равна е_(С Следовательно, полная вероятность правильной пеленга­ ции равна

Q - e-'/Qj,

где Qi — вероятность правильной пеленгации в подан­ самбле реализаций, удовлетворяющем условию f 0^>qr Сравнивая этот результат с (5.56), приходим к выводу,, что

Из (5.56) и (5.58) непосредственно видно,,что функ­ ции Q и Qi не зависят от ■О*, Фу. Это обстоятельство по­

169

зволяет доказать следующие общие свойства функций

Q и Qi.

1. Вероятность правильной пеленгации тела сложной формы инвариантна относительно линейных преобразо­

тяжести моделирующего объема V, а ориентация оси X выбрана из условия (5.12)).

Действительно, величины Q и Qі зависят не от вида области V в системе координат XYZ, а от вида области V в координатах Kx,Kv,kz. Но, согласно (5.46), при изме­ нении масштабов вдоль осей X, Y, Z координаты произ­ вольной точки пространства в переменных МДуДг не из­ меняются.

Как частный вывод из доказанного утверждения следует независимость функций Q и Qi от линейных размеров тела сложной формы.

Отмеченные свойства функций Q, Qі существенно упрощают анализ конкретных задач. Например, если рассматривается вероятность правильной пеленгации те­ ла сложной формы, причем моделирующий объем имеет форму эллипсоида, и наблюдатель расположен на одной из осей симметрии, не делая никаких выкладок, можно заключить, что размеры эллипсоида на величину Q не влияют. Действительно, линейным преобразованием двух координатных осей эллипсоид преобразуется в шар, а радиус шара на величину Q не влияет, так как Q не зависит от линейных размеров тела сложной формы.

Из (5.56), (5.58) также вытекает следующее свой­ ство.

2. Чем больше интенсивность плотности потока энер­ гии, тем больше вероятность правильной пеленгации.

Действительно, если принят сигнал интенсивности q, то можно утверждать, что имеется реализация из подан­ самбля, удовлетворяющего условию h ^ q . Но, как видно из (5.58), вероятность правильной пеленгации в таком подансамбле стремится к единице с ростом q. Прибли­ жение к предельному значению монотонное.

3. Чем выше пороговый уровень q, начиная с которо­ то приемная система фиксирует сигналы, тем меньше ве­ роятность правильной пеленгации. Максимальная веро­

170

ятность правильной леленгции достигается при q — О, когда измеряются все потоки энергии.

Для доказательства продифференцируем (5. 56) по q. Тогда получим

'1 e-Q.fp’

Выполняя интегрирование, можно показать, что

2я

ипоскольку функции / и р положительно определены, первый член в квадратных скобках формулы (5.49) меньше или равен единице. Таким образом,

Уменьшение величины Q с ростом q не противоречит отмечавшемуся ранее увеличению вероятности правиль­ ной пеленгации для потоков большой интенсивности. Действительно, хотя с увеличением уровня ограничения принимаемые потоки энергии реже отклоняются от на­ правления на тело сложной формы, одновременно уве­ личивается и число случаев, когда антенна вообще «не видит» объекта. Монотонное уменьшение Q означает, что второй эффект всегда сильнее первого. При доста­ точно больших значениях q имеем:

т. е. вероятность правильном пеленгации стремится к вероятности обнаружения сигнала.

В заключение приведем примеры конкретных расче­ тов на основе общих соотношений, полученных в гл. 5.

171

5.6.Примеры расчетов

Пример 1. Пеленгация объектов с простой формой моделирующего объема

Проведем расчеты для случаев, когда моделирующий объем V имеет форму эллипсоида, прямоугольника или цилиндра. Будем предполагать, что наблюдатель находится на одной из осей сим­ метрии пеленгуемого тела, так что условие (5.12) выполняется при произвольной ориентации осей X, Y. Однако, чтобы упростить ра­ счеты, ориентацию этих осей также будем выбирать вдоль осей симметрии моделирующего объема V.

Наиболее просто вычисляется вероятность правильной пеленга­

сти шара, то го-*-1, р - 2-*-3. Для моделирующего объема, имеющего іформу цилиндра (образующая вдоль оси Z), аналогичные расчеты дают значение р—2 = 6.

Согласно (5.63), полость внутри моделирующего объема при­ водит к уменьшению вероятности правильной пеленгации.

■Формулы (5.61), (5.63), как отмечалось в предыдущем парагра­ фе, одновременно описывают вероятность правильной пеленгации

.для наблюдателя, расположенного на оси симметрии моделирующего

172

объема, который имеет форму эллипсоида с полостью, подобной его поверхности и расположенной симметрично относительно глав­ ных осей.

Если область т(л.ѵ, Л„) имеет вид квадрата со сторонами, парал­ лельными координатным осям, интеграл в (5.56) выражается через

Формула (5.64) позволяет рассчитывать максимальные вероят­ ности правильной пеленгации тел сложной формы, которые модели­ руются совокупностью точек локального отражения, распределен­ ных в объеме, имеющем форму цилиндра или параллелепипеда. Предполагая, что ость X ориентирована параллельно образующей цилиндра, согласно (5.47) имеем

а для параллелепипеда с гранями, параллельными координатным плоскостям,

вает, во сколько раз внутренняя полость меньше всего моделирую­ щего объема тела сложной формы по линейным размерам.

Значения Q(0), которые получаются из формул (5.61) н- (5.66), приведены в табл. 6 в порядке возрастания. Для четырех тел слож­ ной формы, у которых область т(А.*, Ху) имеет вид квадрата, функции Qi (г/) рассчитывались на ЦВМ по формулам (5.56), (5.57), (5.66). Соответствующие кривые приведены на рис. 41. Номера около кривых обозначают номера в первом столбце табл. 6. Как видно из рисунка, кривые не пересекаются, т. е. расположение пеленгуе­ мых объектов в порядке возрастания Q(0), приведенное в таблице, сохраняется и при q ф 0.

Для иллюстрации общих свойств функции Q(q), по графикам функций Q[(q), приведенным на рис. 41, были рассчитаны две кри­ вые Q(q). Результаты расчетов приведены на рис. 42. Обозначения кривых те же, пунктиром проведена кривая ехр(—q). Как видно из рис. 42, в полном соответствии с выводами § 5.5, функции Q{q) (кривые I и 6) монотонно убывают, стремясь к ехр(—q), производ­ ная от Q(q) обращается в нуль при q = 0.

Когда наблюдатель не расположен на оси симметрии моделирую­ щего объема, вычисления значительно усложняются. Ограничимся перечислением основных результатов, полученных в [44].

Тело сложной формы, для которого моделирующий объем имеет форму эллипсоида, оказывается в некотором смысле особым отра­ жающим объектом. Для него вероятность правильной пеленгации

173

Т а б л и ц а 6

Результаты расчетов величины Q(0) для моделирующего объема, имеющего форму параллелепипеда, приведены на рис. 43. Геометрия задачи следующая: наблюдатель находится в плоскости двух осей симметрии; при О- = 0 координатные оси XYZ совпадают с осями

174

Рис. 44. Зависимость максимальной вероятности правильной пелен­ гации 0 (0) от ориентации тела сложной формы, для которого моделирующий объем имеет форму цилиндра:

, I - $о = 0,1; 2 —£о = 1; 3 - So = 10.

когда наблюдатель находится на продолжении диагонали прямо­ угольника, полученного проектированием моделирующего объема на

Рис. 45. Зависимость вероятности правильной пеленгации при

ся к единице, независимо от формы п ориентации тела сложной

Проведенный анализ позволяет сделать вывод, что вероятность правильной пеленгации — весьма устойчивая характеристика тела сложной формы. Несмотря на различия рассмотренных форм, вели­ чина Q(0) изменялась в пределах 69 -н 85%, повороты многоэле­ ментного источника не приводят к изменениям Q(0), большим 6%.

Пример 2. Случай нескольких независимых измерений

Согласно (5.49), потоки энергии флуктуируют около направле­ ния на центр тяжести тела сложной формы. Поэтому можно значи­ тельно увеличить точность пеленгации, если использовать набор не­

зависимых измерений плотностей потока энергии S|,. S2, ..., S m . При

176

пеленгации подвижных объектов такой набор можно получить, про­

[62, 69] или за счет пространственного разноса приемников. Полу­ ченное в § 5.5 вероятностное распределение плотностей потоков энергии позволяет количественно оценить различные методы обра­

ботки выборки 5|, S2, ..., S м.

Ограничимся двумерной задачей. Будем считать, что участки локального отражения статистически равномерно распределены на отрезке, который расположен в плоскости XZ и имеет угловой раз­

мер 2fl-.v. Тогда, согласно (5.48), коэффициент формы ,ч”."2 = 3, и рас­

пределение разности угловых координат і.х — Тх имеет вид (5.52). Действительно, при выводе (5.52) предполагалось, что направле­ ние на центр тела сложной формы известно, и относительно этого направления отсчитывались углы tx. Теперь это направление предпо- —>

латается неизвестным, а іх —это полярная координата вектора S при произвольной ориентации полярной оси.

Введем безразмерный полярный угол

Тогда, обозначая, как обычно, среднее значение ч через ч, для распределения случайных параметров ч и /„ из (5.50) имеем

Задача об определении оценки, обеспечивающей максимум функции правдоподобия для выборки измерений ч, / 0, согласно [8], сводится к определению экстремума функции правдоподобия по параметру

ч. В данном случае, так как измерения независимые, функция прав­ доподобия имеет вид

минимальна. Но (5.70) представляет собой полином второй степени

где суммирование по индексу п проводится от 1 до М.

Точность определения ѵ по формуле (5.71) наиболее подробно описывается распределением отклонении ѵ0 от ѵ. Пусть

2 /o«(v« —ѵ)

Тогда вычисление плотности распределения И7 (Д0) удобно прово­

оо

Перейдем к переменной интегрирования

х п = (і + ^o) 7on-

178