книги из ГПНТБ / Штагер, Е. А. Рассеяние волн на телах сложной формы

Покажем, что приведенные соображения хотя и прав­ доподобны, но неверны. Для упрощения изложения ма­ териала заменим отражающие элементы активными источниками. Рассмотрение будем проводить для акусти­ ческого потенциала 0. Все результаты, однако, спра­ ведливы и для произвольной компоненты электромаг­ нитного поля. Если R, # II у — полярные координаты точки наблюдения и центр координатной системы распо­

Как видно из (5.1), утверждение, что поле в дальней зоне — сферическая волна, является приближенным, так как при R = const фаза зависит от углов наблюдения О', у- Несферпчность волны приводит к отклонениям нор­ мали к фазовому фронту от единичного вектора, исходя­ щего из начала координат. Величины этих отклонений имеют порядок отношения тангенциальных и нормаль­ ных градиентов фазы:

На расстоянии R эти угловые отклонения приведут к ли­ нейным отклонениям порядка L, т. е. если считать, что нормаль к фазовому фронту исходит из мгновенного ра­ диолокационного центра, то этот центр может быть вне излучающего объема.

149

Чтобы показать ошибочность второго утверждения, надо детально проанализировать, как складываются по­ токи энергии от двух источников. Пусть поля, создавае­ мые первым и вторым источниками, соответственно равны

, иТТ о --—0IkR, R,

где R I, Ro — расстояния между источниками и наблюда­ телем. аи а2— постоянные. Найдем теперь потоки энер­ гий от этих источников.

Согласно [38], если функция U — решение уравне­

ния Гельмгольца, то плотность потока энергии S с точ­ ностью до постоянного множителя определяется формулой

к эквифазной поверхности, а модуль этого вектора про­ порционален интенсивности принимаемого сигнала.

Когда излучает только первый источник,

150

допущена в рассуждении. Неявно применялся принцип суперпозиции для потоков энергии. Однако, согласно (5.3), суммарный поток энергии от двух источников не равен сумме потоков энергии от каждого из них. Это обстоятельство существенно расширяет область допусти­

мых направлений для вектора S. Действительно, при использовании принципа суперпозиции вместо (5.3) по­ лучили бы

бы в пределах угла, образованного направлениями на источники 1 и 2. Но функции, стоящие в (5.3) в квадрат­ ных скобках, могут принимать отрицательные значения,

что эквивалентно выходу вектора S за пределы угла, образованного направлениями на источники.

Фактически, единственным ограничением является условие

Неравенство (5.4) получается непосредственно из (5.3),

если (5.3) умножить скалярно на eRl -f- eR2. Однако, как видно из (5.3), для реализации значительных отклоне­

ний 5 необходимо, чтобы а,//?! и a2/R2 были близкими

отклонения вектора S от направления на центр двух­ элементного источника, тем меньше модуль этого вектора.

5.3.Распределение плотностей потоков энергии от тела

сложной формы

Получим вероятностное распределение плотностей потоков энергии, создаваемых телом сложной формы.

151

в классических работа Рэлея и Рапса [85]. Сначала рас­ сматриваемый случайный вектор 5 выражается через

вспомогательный вектор А, распределенный по известно­ му закону. Затем методами теории вероятностей по

распределению векторов /1 определяется распределение

векторов 5.

Пусть XYZ — ортогональная система координат с на­ чалом внутри тела сложной формы и осью Z, проведен­ ной через точку наблюдения. Тогда

Я -О -- , : « / [ ! + 0 ( A ) •

где L — линейный размер тела сложной формы; Ң — рас­ стояние до него. Если пренебречь поправками порядка

L/R, плотность потока энергии 5 полностью опишется шестью вещественными функциями, представляющими

собой вещественные и мнимые части функций U, ~ U,

-J-U • Эти функции удобно представить как трехмерные

Если тело сложной формы состоит из N участков

локального отражения, то с точностью до постоянного множителя

П=1

152

где ф „— случайные независимые величины, равномерно распределенные в интервале [0, 2л].

Шестимерный вектор А является суммой большого числа случайных векторов с ограниченными первыми и вторыми моментами. Согласно центральной предельной теореме [8], ои распределен по нормальному закону

и для определения плотности вероятности \ѴЛ(А) доста­ точно вычислить его первые и вторые моменты.

Флуктуации фаз и амплитуд считаем независимыми,

поэтому

—>

ЛГ = о, АУ = 0.

Для вычисления вторых моментов вектора А примем упрощающие предположения о распределении участков локального отражения. Будем предполагать, что имеется набор случайных реализаций тела сложной формы, при­ чем для различных реализаций участки локального отра­ жения случайным образом, независимо друг от друга из­ меняют положение в пространстве, статистически одно­ родно распределяясь в моделирующем объеме V. Усред­

няя по случайным реализациям, для вторых моментов

■—

вектора А получаем:

n=1

наблюдателя.

153

Специальным выбором системы координат X Y Z можно добиться обращения в нуль трех из шести моментов

A t А„,. Действительно, если провести ось Z через центр тяжести однородно заполненного моделирующего объема

в нуль обратится A t At-

Для моделирующих объемов V с двумя ортогональ­ ными осями симметрии в плоскости X O Y условие (5.12) выполняется, если ось X ориентировать вдоль одной из осей симметрии. Обращение в нуль среднего значения

произведений векторов с различными индексами A t A t значительно упрощает вычисления, и потому все даль­ нейшее рассмотрение будет проводиться только в этой специальной системе координат.

Согласно (5.8) векторы А+ и А~ декоррелированы.

Так как случайные значения шестимерного вектора А

распределены по нормальному закону, то декорреляция

->

плотности вероятности соответствующих векторов, то

W A И ) = W A+(А+) WÄ {А-).

Эту формулу можно еще упростить, учитывая, что

Благодаря специальному выбору координатной систе­

мы, моменты A t A t с несовпадающими индексами равны нулю, и потому

Щ (л+) = Wx (At) W y (Л+) W z (At),

154

Эти параметры определяются геометрией задачи. Вычис­ ления их для простых геометрических форм моделирую­ щего объема элементарно выполняются по формулам

(5.9) и (5.10).

После определения плотности вероятности вектора А

перейдем к расчету плотности вероятности вектора S. Для этого подставим в (5.2) значения функций U и X/U,

Прежде чем приступить к расчету плотности вероят­ ности вектора 5, отметим некоторые общие статистиче­

ские свойства вектора S, вытекающие из (5.15). Усредняя (5.15) с учетом (5.14), имеем:

Таким образом, средний поток энергии исходит из центра тяжести моделирующего объема V и

Можно выразить и т2., т2у через статистические ха­

у нормально распределенного вектора четвертые моменты выражаются через вторые. В результате получим:

155

двузначно выражается через у- . Если Л Г (у ) и ЛТ (х+) — соответствующие однозначные фѵнкцпи, то согласно

(5.19)

роятностная плотность распределения векторов у-5-, у-, то

W s ( 5 ) = W., (S — у - , у - ) dv.Zdv.ydy-Z,

где интегрирование проводится по области допустимых значений у-.

156

Учитывая, что Л~ изменяется в пределах [— со, -fco], из (5.19) можно сделать вывод, что х(. и х~ изменяются

Вид функции UPx(x+, X - ) оказывается достаточно простым, так что все интегрирования в (5.20) выполня­ ются. В результате получаем выражение для плотности вероятности потоков энергии

(5.21)

Как видно из (5.21) ,

w s (Sx, S y, S') = W s ( - S x, Sy, S t) = W s (Sx - S y, S z)

при произвольном теле сложной формы, т. е. вероят­ ностное распределение плотностей потоков энергии обла­ дает симметрией независимо от формы моделирующего объема.

При выводе (5.21) на геометрию задачи накладыва­ лось лишь условие

(5.22)

т. е. при вычислении (д/дг)ІІ не учитывались поправки такого порядка. Следовательно, распределение плотно­ стей потоков энергии (5.21) имеет место и в ближней и в дальней зонах тела сложной формы. Однако угловые координаты его, отрабатываемые пеленгатором, совпа­ дают с направлением нормали к фазовому фронту поля только при условии, что поле в апертуре антенны мало отличается от плоской волны. Это условие выпол­ няется, если имеет место неравенство

157

ограничение (5.23) более жесткое, чем (5.22). Детальный анализ распределения (5.21) будет проведен в § 5.5.

5.4.Обобщение на случай электромагнитного поля

В предыдущем параграфе было получено распределе­

ние плотностей потоков энергии S для поля, удовлетво­ ряющего уравнению Гельмгольца. Рассмотрим связь этого вектора с двумя аналогичными характеристиками

электромагнитного поля: 1) с вектором S/„ модуль кото­ рого пропорционален интенсивности сигнала на зажи­ мах антенны эллиптической поляризации, а ориентация ■совпадает с угловыми координатами тела сложной фор­ мы, обрабатываемыми пеленгатором; 2) с вектором Умова-Пойитннга.

Геометрию задачи не изменяем, т. е. считаем, как и прежде, что участки локального отражения располага­ ются в моделирующем объеме V, внутри которого нахо­ дится начало ортогональной системы координат XYZ, и ось Z проходит через точку наблюдения. Но теперь пред­ полагаем, что в моделирующем объеме V расположены N участков локального отражения электромагнитных волн.

Для вектора Герца имеем

- > ^ - >

и поляризационные свойства отдельных участков ло­

Дифференцирование проводится по координатам точки наблюдения.

1 5 8