книги из ГПНТБ / Штагер, Е. А. Рассеяние волн на телах сложной формы

двух классов. В первом коэффициент вариации является величиной постоянной (однопараметрические распреде­ ления). Наиболее распространенным распределением та­ кого вида являются распределения Рэлея, экспоненци­ альное и др. Второй класс — двупараметрические рас­ пределения, у которых коэффициент вариации может изменяться в широких пределах. К этому классу следу­ ет отнести распределение вероятности ЭПР тела слож­ ной формы, если относительно расположения участков локального отражения не сделаны специальные ого­ ворки.

3.4.Функция корреляции

Висходной формуле (3.2) для ЭПР тела сложной формы величины о, Л и у могут рассматриваться как случайные функции времени. Если эти функции можно считать стационарными (в широком смысле), то авто­ корреляционная функция ЭПР тела сложной формы определяется стандартным путем:

N N

Угловые скобки означают усреднение по времени, осталь­ ные обозначения такие лее, как в формуле (3.2).

Выражение (3.22) справедливо, когда расстояния (в длинах волн поля) между отдельными отражателями и проекции этих расстояний на фронт падающего поля велики. Только в этом случае эффективная площадь

рассеяния тела сложной формы может быть записана в виде суммы полей, отраженных от отдельных участ­ ков локального отражения, т. е. без учета взаимовлия­

ния этих участков. Поэтому величину | > t i | = |2fe(g' / п р ) | следует считать большим параметром задачи:

Разность фаз полей, отраженных от двух участков, воз­ растает с изменением угла наблюдения у пропорцио­ нально |х ;|. Следовательно, интервал угловой корреля­ ции отраженных полей будет в |х;| раз меньше интерва­ ла корреляции угла наблюдения у для каждой пары отражателей. В этих условиях можно полагать, что в пределах интервала корреляции отраженных полей

Как уже отмечалось ранее в гл. 2, соблюдение условия (3.23) существенно не упрощает решение задачи рассея­ ния волн от тела сложной формы. Лишь в случае декор­ реляции полей, отраженных от отдельных отражателей и их пар, удается довести расчеты до конкретных резуль­ татов. Указанные условия декорреляции записываются в форме неравенств (3.4) и (3.5). Будем полагать, что эти условия выполняются. Тогда

Полагая стационарный процесс эргодическим, можно перейти в (3.26) от усреднения во времени к статистиче­ скому усреднению. При этом каждый член суммы по п распадается на два сомножителя, так как величины Ап определяют отражающие свойства, а c o s(-)— располо­

100

жение отражателей в пространстве, причем эти две ве­ личины могут считаться независимыми. Выполняя в фор­ муле (3.26) статистическое усреднение, получим

кие по форме к ней выражения встречаются также при анализе рассеяния волн на гпдрометеорах [9, 10].

При выводе формул (3.27) и (3.28) были введены условия, которые ограничивают область применения этих формул. Во-первых, указанные выражения спра­ ведливы лишь в интервале корреляции О ^т^ткор, на котором автокорреляционная функция изменяется от максимума (при т = 0) до величины, малой по сравнению

декорреляции полей, отраженных от отдельных участков локального отражения и пар, составленных из них. Указанные условия декорреляции записываются в виде неравенств (3.4) и (3.5). Чем выше степень выполне­ ния этих неравенств, тем точнее полученные выраже­ ния для Ф(т). Для практики важно знать не степеньвыполнения этих неравенств, а погрешности результатов расчетов, выполняемых по формулам (3.27) и (3.28).

В точках т = 0 и т = тКОр интересующие нас погреш­ ности совпадают с погрешностями определения диспер­ сии и среднего значения ЭПР тела сложной формы по выражениям (3.8) и (2.28). При этом первая погреш­ ность оказывается значительно превосходящей вторую,, поэтому можно полагать, что погрешности расчетов Ф(т) по формулам (3.27) и (3.28) не превышают по­ грешности определения дисперсии ЭПР тела сложной формы по формуле (3.8).

101

Вместо функции корреляции па практике часто ис­ пользуют коэффициент корреляции К{т), получаемый из Ф(т) путем центрирования и нормировки последней:

/1=1

Выражение (3.29) достаточно просто обобщается на

•случай, когда углы наблюдения тела сложной формы изменяются независимо друг от друга в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Тогда

V

где x„ = 2k(gl.j), а bn = 2k(i~lij)\ t — единичный век­

тор, лежащий в плоскости изменения углов & и перпен­ дикулярный направлению падающего поля в момент, когда &= 0.

Ъ К

/7= 1

где

І*К (0)

_9 ___ ___

К л — к о эф ф и ц и ен т к ор р ел я ц и и у г л о в н а б л ю д ен и я ; D 2 — д и сп ер си я

у г л о в н а б л ю д ен и я .

102

В случае гармонических изменений угла наблюдения со случай­ ной начальной фазой характеристическая функция Ѳ(|) = / 0(Р£).. где £3 — угловая частота гармонических колебаний.

Подставляя выражение для характеристической функции в формулу (3.29), получаем

V

2 л« л

Укажем ряд свойств коэффициента корреляции, опре­ деляемого формулами (3.29) и (3.30). При этом будем иметь в виду, что как сами формулы, так и свойства, из

расположения участков локального отражения на по­ верхности тела, так как флуктуации ЭПР тела сложной формы при изменении угла наблюдения обусловливаются изменениями разности фаз между отраженными поля­ ми, а не абсолютными начальными значениями фаз полей.

Указанное свойство может быть рассмотрено и в дру­ гом аспекте. Уже отмечалось, что при расположении совмещенной приемо-передающей антенны в дальней зоне относительно объекта задача рассеяния волн при изменении угла наблюдения эквивалентна задаче рас­ сеяния воли от этого же объекта при неподвижной ан­ тенне и поворотах тела вокруг оси по законам изменения угла наблюдения. При рассмотрении задачи рассеяния, волн на теле, колеблющемся вокруг неподвижной осщ указанное выше свойство означает, что функция К (т) не зависит от положения оси колебаний тела.

2. Непосредственно из (3.29) следует, что коэффи­ циент корреляции зависит от одномерного распределения вероятности скорости изменения угла наблюдения. При этом функция К |т| не зависит от вида корреляционной функции угла наблюдения, а зависит лишь от одного параметра этой функции. Например, при нормальном распределении угла наблюдения коэффициент корреля­ ции ЭПР тела сложной формы (см. формулу (3.31)) зависит от параметра «т», равного второй производной

103

коэффициента корреляции углов у в точке т= 0. Особен­ ность поведения коэффициента корреляции Л'(т) оп­

ловке этого раздела. Вследствие этого случайная функ­ ция флуктуаций ЭПР тела сложной формы является дифференцируемой, и поэтому может быть легко опре­ делен коэффициент корреляции производной от функции a{t) из выражения [36]

же элементарно может быть определена статистическая связь между функциями а (t) и da(l)/dt. Согласно [36], коэффициент взаимной корреляции между этими функ­ циями равен

Коэффициент корреляции К(т) ЭПР тела сложной фор­ мы является четной функцией своего аргумента. По­ этому при т = 0 величина dK{i)/dx обращается в нуль и К2(0)=0. Следовательно, в совпадающие моменты вре­ мени (т=0) ЭПР тела сложной формы и ее производ­ ная оказываются некоррелированными величинами.

104

3.5.Интервал корреляции

Определим величину интервала корреляции ткор как половину основания прямоугольника единичной высоты, площадь которого равна площади под кривой модуля коэффициента корреляции:

сс

На основании этого определения вычислим значение ин­ тервала корреляции для нормального и гармонического (со случайной начальной фазой) распределений углов наблюдения.

Подставляя выражение (3.31) в формулу (3.35) и производя интегрирование, получаем величину интер­ вала корреляции для нормального распределения уг­ лов наблюдения

изменения угла наблюдения, остальные обозначения та­ кие, как в (3.27).

Если распределение углов наблюдения является гар­ моническим со случайной фазой, то при подстановке в

и м

1

0.8

0,6

0,4

0,2

О

Рис. 31. Аппроксимация функции Бесселя гауссо­ вой кривой.

105

формулу (3.35) выражения (3.32) приходим к интегра­ лу, который можно вычислить приближенно с помощью замены | / 0(z)| на ехр (—0,35 г2). В пределах интерва­ ла корреляции подобная замена (рис. 31) приводит к ошибкам, не превосходящим 8% по среднеквадратично­ му уровню. После осуществления указанной замены и интегрирования получим

Сравнивая выражение (3.36) с (3.37), убеждаемся, что в пределах точности их получения они совпадают между собой. Поэтому как для нормального, так и для гармо­ нического распределения углов наблюдения

______________ __ V

Выражение (3.38) справедливо для двух распределе­ ний углов наблюдения, являющихся своего рода анти­ подами (рис. 4). Большинство стандартных распределе­

других распределений углов наблюдения.

Вычислим значение суммы в выражении (3.38). Для этого разобьем ее на (N—1) сумм, в каждую из кото­ рых входят последовательно расстояния между соседни­ ми отражателями, расстояния между отражателями, рас­ положенными через один, и так далее:

J06

Подставляя выражение (3.40) в формулу (3.38), получаем

где L — проекция расстояния между крайними отража­ телями в плоскости углов наблюдения на фронт падаю­ щего поля в момент, когда у = 0.

том числа отражателей при постоянном поперечном раз­ мере L угловой интервал корреляции возрастает. К это­ му же выводу можно прийти путем несложных рассуж­ дений. Допустим для простоты, что одинаковые отража­ тели располагаются на отрезке L. Если число отража­ телей увеличивается, то расстояния между ними сокра­ тятся, а, следовательно, для любой пары отражателей наблюдается рост углового периода чередования лепест­ ков диаграммы отражения. В целом для всей группы отражателей угловой интервал корреляции ЭПР возра­ стает, что и отражено в формулах (3.41) и (3.42).

Представляет интерес сравнить интервалы угловой корреляции, определяемой по формуле (3.41), и на осно­ ве модели Делано, когда рассеянное телом сложной фор­ мы поле слагается нз волн, отраженных от большого чис­ ла независимых участков локального отражения (гл. 6). В последнем случае коэффициент корреляции ЭПР ока­ зывается равным

107

Сопоставляя результаты расчетов по формулам (3.41) и (3.44), видим (рис. 32), что рассматриваемые зависи­ мости совпадают лишь в одной точке и значительно рас­ ходятся как при малом числе участков локального от­

корреляции с ростом числа участков локального отражения означает вполне очевидный физический факт, за­ ключающийся в том, что при увеличении количества участков локального отражения сокращаются расстоя­ ния между ними, а следовательно, медленнее происходит изменение фазы между полями, отраженными от каж­ дой пары участков локального отражения. В совокупно­ сти эти изменения приводят к росту интервала корре­ ляции ЭПР. Дело в том, что при допущении взаимной независимости фаз отраженных полей изменение рас­ стояний между участками локального отражения не бу­ дет влиять на результат сложения этих полей, а следо­ вательно, и на интервал корреляций ЭПР тела сложной формы, что и отражает ход зависимости интервала кор­ реляции, рассчитанного по формуле (3.44).

В заключение получим выражение для минимального интервала угловой корреляции ЭПР тела сложной формы.

Согласно неравенству Коши-Буняковского,

В силу соотношений (3.45) сумма из ѵ членов в фор­ муле (3.39), а вместе с ней и значение Дуиор, достигают минимума, когда для соседних отражателей все кп ока­

108