книги из ГПНТБ / Штагер, Е. А. Рассеяние волн на телах сложной формы

- Ь ) ] ѳ [(*.„ - у./;) £>]} + 2 2 s A„Ap Re {exp [/ (<|>„ -f

// —1 p = 1

(3.3)

где штрих при двойной сумме означает отсутствие в иен членов с одинаковыми индексами; Ѳ[ • ] — характери­ стическая функция угла у; D2— дисперсия этого угла.

Характеристическая функция в формуле (3.3) может быть выражена через распределение вероятности по­ средством Фурье-преобразования. Функции распределе­ ния вероятности углов наблюдения у, реализуемые на практике, являются абсолютно интегрируемыми, харак­

все суммы выражения (3.3), кроме первой, близки к пулю. Первая сумма не зависит от взаимного распо­ ложения участков локального отражения, а при Ап — = const и от характера изменения утла наблюдения. По­ этому при выполнении условий (3.4) и (3.5) дисперсия ЭПР тела сложной формы оказывается инвариантной величиной относительно взаимного положения участков локального отражения на поверхности тела сложной формы.

Указанное свойство имеет большое практическое зна­ чение. Если рассчитывать дисперсию традиционным пу­ тем, исходя из представления ЭПР тела сложной фор­ мы в виде (3.1), то приходится вычислять фазовые со­ отношения между полями, отраженными от разных уча­ стков локального отражения. Для этого необходимо оп­ ределять фазовые диаграммы отражения и абсолютные значения фаз отраженного поля от каждого участка при

89

изменении угла наблюдения у. Однако этот расчет труд­ но провести с необходимой точностью. Поэтому свой­ ство независимости дисперсии ЭПР тела сложной формы от фазовых соотношений между полями, отраженными от участков локального отражения, обеспечивает прак­ тическую возможность расчета М2{о} приближенными методами физической теории рассеяния волн.

Указанное свойство дисперсии проявляется при соб­

тела сложной формы не зависит от взаимного располо­ жения участков локального отражения и является усло­ вием декорреляции полей, отраженных от участков ло­ кального отражения.

Для выяснения смыслового содержания неравенства (3.5), следуя [54], образуем функцию взаимной корре­ ляции между любыми двумя членами суммы по і из вы­ ражения (3.2). Для конкретности будем полагать рас­ пределение у равномерным в интервале ±уоТогда ис­ комая функция взаимной корреляции

Вычисляя интеграл и принимая во внимание условие (3.4), имеем

Как следует из выражения (3.6), при выполнении нера­ венства (3.5) взаимная корреляция между членами сум­ мы по і из (3.2) исчезает. Члены рассматриваемой сум­ мы с точностью до постоянного слагаемого являются значениями ЭПР любой пары отражателей. В свою оче­ редь величина ЭПР пропорциональна интенсивности по­ ля. Суммируя эти положения, можно утверждать, что

неравенство (3.5) является условием взаимной декор­ реляции интенсивностей полей, отраженных от любых пар участков локального отражения тела сложной формы.

Покажем, что условие (3.5) включает в себя и усло­ вие (3.4). Действительно, по определению х,-/2& — есть

90

расстояние вдоль вектора g между двумя точками, яв­ ляющимися центрами участков локального отражения (рис. 22). Если условие (3.4) записано для первого ин­ тервала xi/2/f, то эквивалентным образом оно может быть выражено через разность х3—xo/2/e. Точно так же любое значение и,72/г может быть записано посредством разности двух других расстояний, за исключением макс (х,72/г). Однако если условие (3.5) выполняется для любых пар отражателей, то тем более будет выполнять­ ся условие (3.4) для макс (х,72/г). Таким образом, ясно, что в случае выполнения неравенства (3.5) неравенство (3.4) выполняется автоматически.

В этом месте целесообразно обратить внимание на следующее обстоятельство. Как уже отмечалось, неза­ висимость средней ЭПР тела сложной формы от взаим­ ного расположения отражателей обеспечивается услови­ ем (3.4). Для обеспечения независимости дисперсии ЭПР рассматриваемого тела от тех же переменных потребо­ валось уже более жесткое условие (3.5), включающее (3.4) как частный случай. Если бы возникла необходи­ мость обосновать независимость третьего момента ЭПР тела сложной формы от взаимного расположения отра­ жателей, то, как нетрудно проверить, пришлось бы по­

Условие (3.7) включает в себя неравенства (3.4) и (3.5) как частные случаи.

Указанная тенденция усложнения условий с ростом порядка момента ЭПР тела сложной формы является прямым следствием того, что фазы полей, отраженных от отдельных участков локального отражения, являются линейно зависимыми величинами. В модели Делано принято считать фазы полей, отраженных от отдельных элементов, взаимно независимыми случайными величи­ нами, и это единственное условие обеспечивает инвари­ антность всех моментов ЭПР тела сложной формы от­ носительно взаимного положения участков локального отражения.

91

3.2.Оценка погрешности упрощенного выражения для

дисперсии

В предыдущем параграфе было показано, что при со­ блюдении условия (3.5) выражение для дисперсии ЭПР тела сложной формы становится весьма простым:

Формула (3.8) носит приближенный характер, посколь­ ку при ее получении были отброшены три двойных сум­ мы. Ниже мы произведем оценку отброшенных сумм, что позволит определить относительную погрешность упрощенного выражения (3.8). Оценки двойных сумм будем находить по максимуму и по среднему их значе­ нию. Выберем вид характеристической функции, отве­ чающий равномерному распределению углов наблюде­ ния в секторе ±уо. так как в этом случае убывание этой функции с ростом аргумента происходило более мед­ ленно, чем при других распределениях углов у. Тогда выражение (3.3) следует переписать в виде

V V V

NU{а} = 2 2 ^ + 2 2 2 А Л Х

п — 1 п — 1 р = 1

Оценка максимальной погрешности

Оценка величины второй и третьей суммы в выра­ жении (3.9) может быть выполнена так же, как оценка аналогичных сумм в § 2.5. Действительно, сопоставляя указанную сумму с двойной суммой (2.21), легко убе-

92

диться в их идентичности. Используя эту аналогию и формулу (2.24), выпишем сразу оценку по максимуму второй суммы из выражения (3.9):

Оценка по максимуму последней суммы из выражения

Полученные выше оценки эффективны, если у0|х„ — *р|51ІІ1І

и *м„нТо значительно превосходят единицу. В этих усло­ виях оценка (3.12) по сравнению с (3.11) оказывается

9 3

Нам же предстоит оценивать суммы в (3.9), в которые входят указанные величины, зависящие от расстояний между любыми двумя отражателями, в том числе и несоседними. Поэтому, прежде чем определять среднее значение двойных сумм в формуле (3.9), необходимо их надлежащим образом преобразовать. Процедура пре­ образования сводится к расчленению двойной суммы на (N—1) одинарных, члены которых зависят лишь от рас­ стояний между соседними отражателями. Далее полу­ ченные суммы почленно интегрируются в соответствую­ щих интервалах распределения случайных величин. В итоге определяются средние значения второй, треть­ ей и четвертой сумм І>2, 53 и S.( выражения (3.9). Ука­ занные выше операции достаточно элементарны, поэтому

где L I— удвоенное произведение волнового числа на по­ перечный размер освещенной части тела сложной фор­ мы; Ь2— удвоенное произведение волнового числа на продольный размер освещенной части рассматриваемо­ го тела; N — число участков локального отражения.

При практическом использовании формулы (3.15) необходимо иметь в виду приближенный характер вели­ чины бср, обусловленный отсутствием информации о расположении отражателей.

Пример. Пусть на поверхности тела сложной формы имеется четыре одинаковых участка локального отраже-

95

ння (g„ = 0O), расположенных в одной плоскости с лрне- мо-передающей антенной. Изменение угла наблюдения происходит в этой же плоскости. Распределение вероят­ ности углов наблюдения у подчиняется равномерному закону в секторе ±уоСхематически расположение уча­ стков локального отражения показано на рис. 30. Рас-

Рпс. 30. Зависимость относительных значении дисперсии ЭПР четырехэлементного тела от величины сектора углов наблюдения при равномерном усреднении в этом секторе.

стояния, между отражателями составляют соответственно /г/і2 = 2 0 0 , £/23= 1 5 0 , £ / 34= 1 0 0 . Для указанных условий задачи зависимость относительных значений дисперсии от величины 2kLy0, определенная с помощью ЦВМ по

словливаются вкладами двойных сумм ( 3 . 9 ) . В соответ­

96

ствии с максимальной оценкой этих вкладов (3.13) в рассматриваемом случае

3.3.Коэффициент вариации

Коэффициент вариации случайной величины опреде­ ляется отношением ее среднеквадратичного значения к среднему. Для ЭПР тела сложной формы коэффициент вариации

где М 2{а}, с —дисперсия и среднее значение ЭПР рас­ сматриваемого тела.

Практическое значение представляет выяснение ин­ тервала значений коэффициента вариации. Максималь­ ную величину а можно оценить, воспользовавшись по­ ложениями из статистической теории антенн. Согласно [48], наиболее глубокую изрезанность (а следователь­ но, и наибольшее значение а) диаграммы направленно­ сти имеют антенные решетки из элементов, расположен­ ных на больших (по сравнению с длиной волны) рас­ стояниях друг от друга. Из участков локального отра­

Первое условие (3.17), как показано в § 2.5, обеспе­ чивает аддитивность средних ЭПР участков локального отражения, т. е.

Определяя дисперсию ЭПР решетки отражателей из вы­

ражения (3.3), выделим из общего числа слагаемых втоЛГ- 2

рой суммы этого выражения 2 (N — п) (N — ѣ — 1) ее

порядку величин совпадают со слагаемыми первой суммы из выражения (3.3), остальными слагаемыми в первом приближении можно пренебречь. Поэтому дисперсия ЭПР решетки отражателей

V УѴ-2

М 2{о}« 2 2 ^ 4 5 + 2 2 A„A„+l( N - n ) (N - ѣ - 1).

j= 1 И=1

(3.19)

Подставляя выражения (3.18) и (3.19) в формулу (3.16) и полагая, что ап = о0, получаем

N-2 1/2

Согласно (3.20), аМІ1кс ~ К -N, поэтому с ростом числа отражателей максимальное значение коэффициента ва­ риации возрастает.

Граница минимального значения коэффициента ва­ риации определяется сложно. Близкие к ним значения получаются при таком расположении участков локально­ го отражения, когда удовлетворяется неравенство (3.5). Тогда дисперсия определяется по формуле (3.8), а среднее значение — выражением (3.18). Если при этом ЭПР участков локального отражения одинаковы, то

Значения коэффициента вариации, определяемые по формулам (3.20) и (3.21), ограничивают интервал зна­ чений этой величины, причем верхняя граница оказы­ вается определенной достаточно точно, а нижняя завы­

шена.

Если классифицировать стандартные распределения вероятностей с позиций коэффициента вариации, то по­ давляющее их число может быть отнесено к одному из

98