книги из ГПНТБ / Чугаевский, Ю. В. Элементы теории нелинейных и быстропеременных волновых процессов

^ 'о Pa

dtdx *

Я

0 -

14)

3 t

^

Г°

Po

3x

Дифференцируя

соотношение

(2)

no

t

, а

уравнение (4)^ по

x

я

исключая изполученных соотношений производную

^ ,

полу-

чим для

уравнение

а Л Л - +

с * Ъ

э г$

=

о

а

*огоР1

с г ~

Рр З'Гр

(5)

d t zdx*

°

з р

2Ро

1 ио —

2-Ра

аналогичное

уравнению

(13,

гл.П )

в

теории акустических

волн

в

ск ое ,

известное в

гемодинамике

как уравнение

Юнга-Кортевега-

Моенса

(выражение

для скорости

пульсовой волны

с0 , входящее в

сти стенки

Е =■ 6 Р§

[ 7 3 J ) .

Для монохроматической

волны

i(± k x

+ w i)

$ = & «

(6)

уравнение

(5) дает зависимость

к

^ к (ш )

следующего

вида

к(со) =

со / / с £ -

а с о г ,

(7)

или для с —соJк :

С (со )

= / с / -

асоя ~

со ( f

- - j - k z

) .

(8)

i

(9)

J

•

+ иг

(12)

что сделает

уравнение

(5) неоднородным:

а

. г г

<?г£ _

d t z

#oroP,

(13)

d x zd t z

°

<?хг

J°o

дхг

функции р ( х , t )

задается, как известно,

формулой

t хчсв- г )

(14)

2 с„

!/(х, t ) dxdt

0

x~cod-T)

V

= Йй (I к г ) е

i(£kx +(c>t)

yr = AJ1(ik r ) е i{tk.K + u i t )

X

о

РоЫflJc (Ckt)e i(±kx i-wt)

U 5)

P s - к

где

волновой вектор А связан с частотой ш

уравнением

■JP7 *,(£><*„) S

+CkJo ( i k % )

=

(16)

п0Г0

С точностью до вторых членов

разложения

Ja и

в ряд со о т ­

ношение (16) переписывается в виде

со Rо

/А (

Ro

со

} к г- 1

= О ,

, г _

£г°

Rg^rQ

8 шг

\

4

и>г

ZRap0

2fo

что для

скорости

с(.к)

=

■-£-

дает

с (к) «

с0

(17;

С (к ) = С0 (Г - с * к г )

,

(16)

где

коэффициент дисперсии

Гб

RoroPt

(19)

4Ро

определяется, как видно,

геометрией

трубки ( Ra , го

)

и инер­

ционными параметрами системы (ро , р г ) .

В

кровеносных

сосудах величина

оС,

вообще говоря, меняет­

ся

как

и возрастом,

так и при переходе

от крупных

сосудов

к

мелким.

Рассмотренные выкладки можно с большей или меньшей точно

оттю экстраполировать на

сосуды с толстыми стенками,

если

под

го

понимать некоторое "эффективное"

значение толщины

стенки.

§ 2 . Нелинейные осцилляции

а)

Простые волны

Рассмотрим длинные нелинейные волны, когда дисперсией мс::-

но пренебречь. Кроме того, пренебрежем

нелинейными

свойствами

трубки,

т .е . примем уравнение состояния

в линейной форме

(20)

j'paвменив диаде ния перепишется

как

d t

tfx

р0£

Эк

(21)

Зак.240

73

d i

lv_

(22)

г дк

дк

dt - г * ъ « > ( М

д х )

°

дх

Введем величину

о

размераостью скорости

C(v) =

*JL,

(23)

/>оЕ

д\/

dt,

д$

3v

смысл которой

выясняется

ниже.

Тогда,

поскольку

уравнение (21)

перепишется в виде

дх

dv

дх

-О .

(24)

Умножим это уравнение на

дь

dv

\ dt

дх J

дх

dv

’

(25)

а уравнение (22)

представим в форме

± £ J ? v .

у. ^ .фС )+

1

о dv

= О-

(26)

dv ( dt

дх )

2

дх

Вычитание уравнения

(25)

из (26)

приводит к

соотношению

(27)

В системе координат,

движущейся со скоростью ± с 0 , урав­

нение (24) переписывается

как

ди

+ и J k

О ,

U = V + С„ .

(29)

dt

дх

Из уравнения (21) следует, что

ди

ди

1

1 L

ди

d t

+ ( "

* со) дх

А £ дх

дх '

откуда,

с точностью до произвольной функции C(i),

£

=

г Сорое а >

т .е . для $

, а значит, в силу

(20 ),

и для

р

нолучаютоя

урав­

нения типа

(2 9 ).

Это уравнение,

как

отмечалось

в главах I

и

П.

описывает простые

волны

и = / (х

-

u t)

о

вытекающим

отсюда

явлением укручения и образованием разрыва

-

ударной

волны.

Од­

нако прежде, чем образуется разрыв,

высшие

производные функций

U(x , t ) , которыми мы пренебрегли,

приняв предположение о длин­

ных волнах,

и которые

отвечают за дисперсионные

и

диссипатив­

ные свойства системы, становятся так

велики,

что бездисперсион-

ное и бездиссипативное приближения теряют

законность.

б)

Уединенные и кноидальные волны

Перецем к рассмотрению нелинейных волн с учетом

диспер­

сии, Из квадратичного закона дисперсии (18) следует,

что

в си­

стеме координат,

движущейся со скоростью

с0 , вправо

распрост­

раняющаяся

монохроматическая волна будет иметь частоту

со =

- с0 <А А 3

Другими

словами,

для

учета

дисперсии

в уравнение (29)

.

следу.г

ввести

член

сАс0

~^~т t после чего

оно превращается

в уравне­

ние Кортевега - де Вриза

ди

+ р

д3и = 0 , р = <*с0.

( з т

dt

дх 3

Очевидно, уравнения типа (30) можно написать и для <£

и

р •

Стационарные периодические (кноидальные) волны,

описывае­

мые уравнением (3 0 ),

могут

быть представлены

в виде

+2 c-(u 0 -uf) sn2 \w (t~% -)

, р ]

(31)

где

u0 - ордината

максимума

волны

(горба ),

uf ~ ордината ми-

нимума

(ямы).

Модуль

ср

имеет значение

Up-Ut

0 2 )

и,

где

Ч,г = -

U' 1 Uq

±

Т

+ ио )г~ -Ь и о (и с + “ о)~

(33)

U0> и

т и, > иг

,

ис - Зс.

Частота

и>

определяется

выражением

ш

_ _7

« о - “г

(34)

~ 2

3J3

В пределе и

—-

и

кноидальная

волна,

представляющая

цепочку периодически

следующих импульсов

(р и с .4 ,а ),

вырожда­

ется в одиночный горб -

уединенную пульсовую волну, или

"со -

липтон":

и

-

и с s e c h 2 ^ ^

J

с

3 с

(35)

^ак видно, чём больше скорость солиптояа,

тем

он выше по

ам­

плитуде и уже по ширине.

Амплитуда

скорости жидкости

в

солип-

гоне в три раза больше скорости его перемещения, т .е .

в

выб­

ранной

нами

с„-систем е

координат число Маха равно 3 .

в)

Нелинейность стенок

сосуда

£ +и>о ^

= 7Г Г Р ’ ^^canst.

(36)

'о

Если числе wiaxa М =

(

г -

скорость

стационарных нелиней­

ных волн) мало ( М

),

а

нелинейностью уравнения состояния

пренебречь нельзя ( - ^

- - 6 /

),

то уравнение. (36) можно замкнуть

на линейные гидродинамические

уравнения

( 1 ) - ( 2 ), что так же

позволяет получить стационарные нелинейные волны

кноидального

и

уединенного

типа. Действительно, в уравнении (5)

появляется

в

этом случае

нелинейный член и оно принимает форму

а

д Ч

1 1 L -

дЧ,

t- d

д г ( $ 3)

= О, о!=

> (37)

— - —

d t 1'-

дхг

дьгдкг

д х г

*Ро

что

для стационарных волн дает

Ср

~ сг

+

= о.

(38)

*'■

асг 4

ас‘ 4 3

При

с г > с /

} т .е .

в случае

быстрых процессов, распространяю­

щихся со скоростями,

большими скорости линейных волн,

решением

Гг

(39)

!-2

70

2 (сг - с 0г )

(40) .

d

Если $а — *

, то

кноидальный

процесс вырождается в

куби­

ческий

солиптон

>

ь =

\ ! т Щ - ’

(4i)

который, как видно,

может

существовать

как в вйдё’ горба,

так и'

в виде

впадины, аналогично

кубическому

солифону.

г )

Влияние вязкости

Обобщением уравнения (30) на вязкие

среды

является,

оче­

видно,

уравнение

ди

ди

+ и

43

д 3и

дги

= 0 .

(42)

d t

дх

'

дх 3

дхг

[80, 8lJ

и имеет решения типа стационарных ударных волн

[18] и

нестационарные решения, асимптотически стремящиеся к

ударным

волнам

[81, 18].

Для стационарных волн

уравнение (42)

принимает вид

и

с

(43)

7 “ ‘

А и * 2fi US

= О.

и

uo ( l *

2V

ди0

и г

дх

(44)

где

и0 -

решение уравнения

(43)

без диссипативного члена. Если,

в

частности, выбрать в качестве

и 0

еслиптон

(35)

(р и с .23,а ),

то ,

имея

.в вицу характер изменения произвол-

ч

Зц0

нетрудно

видеть,

что

ной

передний

фронт

солиптона

будет

проваливаться, а

задний

-

вылуч>

ваться

(для

кривых

давления

си­

туация

обратная).

Профиль

со­

липтона,

таким

образом,

приобре­

тет характерную асимметричную фор­

му

"акульего

плавника",

с

кото­

рой мы уже ранее встречались.

Не­

симметричный характер искажения вол­

Р и с . 23

ны в

общем

случае

прослеживается

качественным

образом. На р и с.23,

б

приведены кривые изменения производных

(вязкость)

и

д3и

(дисперсия) для произвольного горба. Заштрихованы облас-

дх3

с

другом,

т .е .

ти, где вязкость и дисперсия конкурируют друг

входят в уравнение

(42) с разными знаками. Как видно, чередова­

ние этих

зон имеет

несимметричный

характер.

Как

было показано

в главе

I ,

уравнения типа (43) поиводят

к волнам

бисолитонного

типа -

квазистационарным уединенным па­

N

3 l0 w +3 w 2

9w

г2

плотность

°o

крови можно расписать как

Р =

+3(Ро ~Я) -Т0

- 6 (Ро~& )( -% )

( 4 в )

где

р0 - плотность плазмы,

рf<= ро - ( р 0 ~ р , ) N0 - невозму­

щенная плотность крови

( р 0 -

масса плазмы,

вытесненная одним

кровяным

тельцем). Вариацию плотности j ? можно,следовательно,

представить в виде

Р

* *

Р

Г .

t . f ,

°'

(4 8 )

Исключая из

гидродинамических уравнений

PL ) — Р Р

др

Эу

(49)

f i t * А at

= о

дх J

дх

замкнутых

на

уравнение

(48),

функции

р и р , получим для

у

уравнение

ранее

рассмотренного (§ 3,

гл .1)

типа

ду

Т

d5v

О-

(50)

dt

/ '

d x 2d t

“"го уравнение дает решения в виде коротких умеренной

ин­

тенсивности дисперсных

солиптонов - горба

в случае у > 0 ,

или

Р ,-р о ^

О ,

и ямы в случае

i